Рабочая модель двигателя Стирлинга с бесплатной доставкой по всей России. Узнать больше..

Формулы для корней алгебраического уравнения пятой степени ?

Обсуждение новых математических изысканий.
Правила форума
Научный форум "Математика"

Re: Формулы для корней алгебраического уравнения пятой степе

Комментарий теории:#11  Сообщение Рутен » 24 янв 2012, 20:33

Очень интересно....???!!! Жду.....???

Добавлено спустя 16 часов 5 минут 9 секунд:
Re: Формулы для корней алгебраического уравнения пятой степени ?
Очень интересно....!!!?? С удовольствием прочитаю....

Добавлено спустя 3 дня 12 часов 19 минут 28 секунд:
Re: Формулы для корней алгебраического уравнения пятой степени ?
С интересом...ознакомлюсь.....??

Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
Код: выделить все
<div style="text-align:center;">Обсудить теорию <a href="http://www.newtheory.ru/mathematics/formuli-dlya-korney-algebraicheskogo-uravneniya-pyatoy-stepeni-t1481-10.html">Формулы для корней алгебраического уравнения пятой степени ?</a> Вы можете на форуме "Новая Теория".</div>
Рутен
 
Сообщений: 16
Зарегистрирован: 25 июл 2011, 09:47
Благодарил (а): 0 раз.
Поблагодарили: 0 раз.

Re: Формулы для корней алгебраического уравнения пятой степе

Сообщение Рекламкин » 24 янв 2012, 20:33

Двигатель Стирлинга Рабочая модель двигателя Стирлинга с бесплатной доставкой по всей России. Узнать больше..

Рекламкин

 

Re: Формулы для корней алгебраического уравнения пятой степе

Комментарий теории:#12  Сообщение Тукаев Илдар » 20 май 2012, 18:14

Аналитическое решение уравнения пятой степени существует. Теория Галуа не позволяет разрешить уравнение в радикалах конечных степеней. Применение радикалов бесконечной степени даёт аналитические решения. Вычислительная техника сегодня это позволяет делать с заданной точностью. Привожу краткое изложение решения для уравнений пятой степени с действительными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение :

(x)^N+sum(a[n]*(x)^(N-n),n=1..N)=0;


где коэффициенты уравнения есть действительные числа. Как известно из теории симметрических многочленов, степенная сумма корней этого уравнения есть функция коэффициентов этого уравнения, т. е. :

sum((x[n])^(k),n=1..N)=F[{a[n],n=1...N}];

Извлекая корень k-ой степени из обеих частей этого равенства и вынося из-под радикала в левой части равенства максимальный по модулю корень, оставшийся после сокращения равных по модулю и аргументу, но противоположных по знаку корней, и при условии, что оставшийся максимальный по модулю корень есть действительное число, получим :

x[max]*(s+sum((x[n]/x[max])^k,n=1..N-s))^(1/k)=(F[{a[n],n=1...N}])^(1/k);


где "s" есть количество оставшихся равных, максимальных по модулю корней. Устремив k к бесконечности, и учитывая, что :

abs(x[n]/x[max])<1;

получим :
limit((F[{a[n],n=1...N}])^(1/k),k=infinity)=x[max];
При вычислении данной функции берутся нечётные значения k, и погрешность при вычислении максимального "x" будет :

abs(epsilon)<=abs(x[max])*(N^(1/k)-1);
Таким образом точность результата будет зависеть от мощности вашего ПК.

Теперь рассмотрим уравнение пятой степени :

(x)^5+a[1]*(x)^4+a[2]*(x)^3+a[3]*(x)^2+a[4]*x+a[5]=0;
Если :
abs(x[1])<=abs(x[2]);
abs(x[2])<=abs(x[3]);
abs(x[3])<=abs(x[4]);
abs(x[4])<=abs(x[5]);

Имеем :

x[5]=limit(((x[1])^(k)+(x[2])^(k)+(x[3])^(k)+(x[4])^(k)+(x[5])^(k))^(1/k),k=infinity);



x[3]=limit((((x[1]*x[2]*x[3])^(k)+(x[1]*x[2]*x[4])^(k)+(x[1]*x[2]*x[5])^(k)+(x[1]*x[3]*x[4])^(k)+(x[1]*x[3]*x[5])^(k)+(x[1]*x[4]*x[5])^(k)+(x[2]*x[3]*x[4])^(k)+(x[2]*x[3]*x[5])^(k)+(x[2]*x[4]*x[5])^(k)+(x[3]*x[4]*x[5])^(k))/((x[1]*x[2])^(k)+(x[1]*x[3])^(k)+(x[1]*x[4])^(k)+(x[1]*x[5])^(k)+(x[2]*x[3])^(k)+(x[2]*x[4])^(k)+(x[2]*x[5])^(k)+(x[3]*x[4])^(k)+(x[3]*x[5])^(k)+(x[4]*x[5])^(k)))^(1/k),k=infinity);


x[1]=limit(((((x[1]*x[2]*x[3]*x[4]*x[5])^(k))/((x[1]*x[2]*x[3]*x[4])^(k)+(x[1]*x[2]*x[3]*x[5])^(k)+(x[1]*x[2]*x[4]*x[5])^(k)+(x[1]*x[3]*x[4]*x[5])^(k)+(x[2]*x[3]*x[4]*x[5])^(k))))^((1)/(k)),k=infinity);


Из теории симметрических многочленов следует, что все степенные суммы данных функций есть функции от коэффициентов уравнения пятой степени.Так, как уравнение нечётной степени имеет хотя бы одно действительное решение, то один из трёх "x" будет корнем уравнения пятой степени. Далее переходим к уравнению четвёртой степени.
Аналитичность данного решения докажем на примере минимального по модулю "x", при действительном его значении. Если минимальный по модулю "x" стремится к нулю, то и последний коэффициент уравнения a[5] тоже будет стремиться к нулю. Принимая это во внимание, разложим "x" в ряд Тейлора-Маклорена по степеням коэффициента a[5]:

diff(x[1],a[5])=-((1)/(5*(x[1])^4+4*a[1]*(x[1])^3+3*a[2]*(x[1])^2+2*a[3]*x[1]+a[4]));
или :

diff(x[1],a[5])[(a[5]=0)]=-((1)/a[4]);
При a[4] не равном нулю. Далее :

diff^2(x[1],a[5]^2)=((20*(x[1])^3+12*a[1]*(x[1])^2+6*a[2]*(x[1])+2*a[3])/(5*(x[1])^4+4*a[1]*(x[1])^3+3*a[2]*(x[1])^2+2*a[3]*(x[1])+a[4])^2)*(diff(x[1],a[5]));

Или :

diff^2(x[1],a[5]^2)[a[5]=0]=-(2*a[3])/(a[4]^3);

Продолжая таким образом, получим :

x[1] = sum(sum(sum(sum([factorial(2*m-2-3*m[0]-2*m[1]-m[2])*a[1]^m[1]*a[2]^m[2]*a[3]^(m-1-4*m[0]-3*m[1]-2*m[2])/(factorial(m[0])*factorial(m[1])*factorial(m[2])*factorial(m-1-4*m[0]-3*m[1]-2*m[2])*(-a[4])^(2*m-1-3*m[0]-2*m[1]-m[2]))]*(a[5]^m/factorial(m)),m[2] = 0 .. (m-1-3*m[1]-4*m[0])/2),m[1] = 0 .. (m-1-4*m[0])/3),m[0] = 0 .. (m-1)/4),m = 1 .. infinity);

Здесь верхние пределы сумм есть целые числа, получающиеся при отбрасывании дробной составляющей при вычислении выражений над знаками суммы. Данный ряд сходится при следующих неравенствах :
abs(a[3]*a[5])<(a[4]/2)^2;

abs(a[2]*(a[5]/2)^2)<abs((a[4]/3)^3);

abs(a[1]*(a[5]/3)^3)<(a[4]/4)^4;

(a[5]/4)^4 < abs((a[4]/5)^5);


Найдём x[1] как функцию коэффициентов уравнения,выраженную радикалом бесконечной степени:

x[1]=limit((-a[5]/a[4])*{(sum(sum(sum(sum({((k*((k-sum((4-n)*m[n],n=0..3)-1))!)/((k-sum((5-n)*m[n],n=0..3))!*(m[0])!*(m[1])!*(m[2])!*(m[3])!))*((((a[5])^4)/(a[4])^5))^m[0]*(-((a[1]*(a[5])^3)/(a[4])^4))^m[1]*(((a[2]*(a[5])^2)/(a[4])^3))^m[2]*(-((a[3]*a[5])/(a[4])^2))^m[3]},m[3]=0..((k-5*m[0]-4*m[1]-3*m[2])/2)),m[2]=0..((k-5*m[0]-4*m[1])/3)),m[1]=0..((k-5*m[0])/4)),m[0]=0..((k)/5)))}^(-((1)/k)),k=infinity);

Вычисляется эта функция при нечётном значении k.
При разложении этой функции в ряд Тейлора-Маклорена по степеням коэффициента a[5] получим тот же самый ряд, что и при первом разложении:

x[1] = sum(sum(sum(sum([factorial(2*m-2-3*m[0]-2*m[1]-m[2])*a[1]^m[1]*a[2]^m[2]*a[3]^(m-1-4*m[0]-3*m[1]-2*m[2])/(factorial(m[0])*factorial(m[1])*factorial(m[2])*factorial(m-1-4*m[0]-3*m[1]-2*m[2])*(-a[4])^(2*m-1-3*m[0]-2*m[1]-m[2]))]*(a[5]^m/factorial(m)),m[2] = 0 .. (m-1-3*m[1]-4*m[0])/2),m[1] = 0 .. (m-1-4*m[0])/3),m[0] = 0 .. (m-1)/4),m = 1 .. infinity);


То есть, при действительном значении x[1], полученная функция разлагается в ряд Тейлора и является решением уравнения пятой степени.
Более расширенное применение данного метода к решению алгебраического уравнения степени n рассматривается мной в работе "Многозначная функция многих переменных, заданная алгебраическим уравнением степени N с переменными коэффициентами" , опубликованная в сборнике "Учёные записки Ульяновского государственного университета" , Серия физическая, Выпуск 1(13), Ульяновск, 2003, Ст. 46-79.
Тукаев Илдар
 
Сообщений: 1
Зарегистрирован: 20 май 2012, 14:42
Благодарил (а): 0 раз.
Поблагодарили: 0 раз.

Re: Формулы для корней алгебраического уравнения пятой степе

Комментарий теории:#13  Сообщение Рутен » 22 май 2012, 20:26

С удовольствием ознакомлюсь.....??!!!!!

Добавлено спустя 12 минут 53 секунды:
Re: Формулы для корней алгебраического уравнения пятой степени ?
Интересная теория, однако вычисление предела полученной функции, увы, невыполнимая задача...??? И, к тому же, это условие применимо только для частного случая (Вы его выписали).....а ведь, эти формулы нужны инженерам, которые не будут вычислять пределы таких сложных функций....им необходимы простые и готовые для применения формулы наподобие тех, что получены для АУ второй, третьей и четвертой степеней....либо, хотя бы в форме рядов...но из известных функций без взятия предела, поскольку эта операция порождает совршенно новую функцию ...пока неизвестную... ???
Рутен
 
Сообщений: 16
Зарегистрирован: 25 июл 2011, 09:47
Благодарил (а): 0 раз.
Поблагодарили: 0 раз.

Re: Формулы для корней алгебраического уравнения пятой степе

Комментарий теории:#14  Сообщение Каравашкин » 23 май 2012, 17:45

Если я правильно понимаю, то когда говорят о решении уравнения степени выше четвёртой, то подразумевают именно алгебраические решения, а не приближения. Могу только здесь отметить, что для комплекса задач динамики колебательных систем задача нахождения решений для бесконечной системы дифференциальных уравнений, сводящихся, как известно к уравнению бесконечной степени, давно и надёжно решена. Решение также давно опубликовано

http://selftrans.narod.ru/archive/inclined/inclined1/inclined1rus.html

Прямые проверки показывают, что это действительно аналитические полные решения. В статье приведено решение для однородной бесконечной системы уравнений, но решена и неоднородная и и циклическая, и нелинейная, и многое другое.

Конечно, это далеко не полное решение задачи в целом, но и значительно шире существующих решений для специально подобранных коэффициентов. Главное, это решения моделирующих уравнений, открывающие возможности и новые перспективы в изучении и моделировании динамических систем как в механике, так и теории электрических цепей. :)

Так что есть дальше теории Галуа. Значительно дальше.
Каравашкин
 
Сообщений: 638
Зарегистрирован: 03 авг 2011, 17:21
Благодарил (а): 5 раз.
Поблагодарили: 14 раз.

Re: Формулы для корней алгебраического уравнения пятой степе

Комментарий теории:#15  Сообщение Рутен » 26 май 2012, 17:11

Все правильно, существуют много методов: Ньютона, Эйлера, Лобачевского.....но они (эти методы) применимы только тогда, когда заданы коэффициенты АУ, т.е. эти методы позволяют установить точное значение всех корней АУ, но проблема заключается в том, что отсутствуют формулы для случая, когда эти коэффициенты АУ - произвольные параметры.... Вот тут математическая наука и остановилась....
Рутен
 
Сообщений: 16
Зарегистрирован: 25 июл 2011, 09:47
Благодарил (а): 0 раз.
Поблагодарили: 0 раз.

Re: Формулы для корней алгебраического уравнения пятой степе

Комментарий теории:#16  Сообщение Каравашкин » 27 май 2012, 09:36

Рутен писал(а):Вот тут математическая наука и остановилась....

Люди остановились, а не наука. Я же показал, что для некоторых классов уравнений в общем виде можно получить аналитические, а не численные решения. Все делают вид, что не видят. Потому и остановились... Значит им приятно осознавать, что всё тормозится... :)
Каравашкин
 
Сообщений: 638
Зарегистрирован: 03 авг 2011, 17:21
Благодарил (а): 5 раз.
Поблагодарили: 14 раз.

Re: Формулы для корней алгебраического уравнения пятой степе

Комментарий теории:#17  Сообщение Рутен » 30 май 2012, 13:24

Интересно....!!! В чем заключается идея метода.....с удовольствием ознакомлюсь...!!!
Рутен
 
Сообщений: 16
Зарегистрирован: 25 июл 2011, 09:47
Благодарил (а): 0 раз.
Поблагодарили: 0 раз.

Re: Формулы для корней алгебраического уравнения пятой степе

Комментарий теории:#18  Сообщение Каравашкин » 31 май 2012, 10:08

Рутен писал(а):Интересно....!!! В чем заключается идея метода.....с удовольствием ознакомлюсь...!!!


Метод прост. Просто решена стандартная бесконечная система дифференциальных уравнений для динамических систем. В самой методике не ставилось целью искать сами алгебраические корни уравнения n-й степени. Решалась, как я сказал, система дифференциальных уравнений. Но это может быть пересчитано, если в этом появится необходимость. Пока у людей необходимости в этом не выявлено. Все попытки обнародовать не только результаты, но саму методику стандартными путями, встретили жёсткое сопротивление. Ну и Аллах с ними.

В действительности, даже решения уравнения четвёртой степени в аналитической форме нет. Только третьей. Для четвёртой степени нужно иметь уравнение в числах, знать, что корни действительные и подбирать значения корней, удовлетворяющие определённым условиям. Это уже не аналитическое решение. В этом можно убедиться даже на вики. Да и в пограммке для численного решения тоже. :)
Каравашкин
 
Сообщений: 638
Зарегистрирован: 03 авг 2011, 17:21
Благодарил (а): 5 раз.
Поблагодарили: 14 раз.

Пред.

Вернуться в Математика

 


  • Похожие темы
    Ответов
    Просмотров
    Последнее сообщение

Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1