Аналитическое решение уравнения пятой степени существует. Теория Галуа не позволяет разрешить уравнение в радикалах конечных степеней. Применение радикалов бесконечной степени даёт аналитические решения. Вычислительная техника сегодня это позволяет делать с заданной точностью. Привожу краткое изложение решения для уравнений пятой степени с действительными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение :
(x)^N+sum(a[n]*(x)^(N-n),n=1..N)=0;
где коэффициенты уравнения есть действительные числа. Как известно из теории симметрических многочленов, степенная сумма корней этого уравнения есть функция коэффициентов этого уравнения, т. е. :
sum((x[n])^(k),n=1..N)=F[{a[n],n=1...N}];
Извлекая корень k-ой степени из обеих частей этого равенства и вынося из-под радикала в левой части равенства максимальный по модулю корень, оставшийся после сокращения равных по модулю и аргументу, но противоположных по знаку корней, и при условии, что оставшийся максимальный по модулю корень есть действительное число, получим :
x[max]*(s+sum((x[n]/x[max])^k,n=1..N-s))^(1/k)=(F[{a[n],n=1...N}])^(1/k);
где "s" есть количество оставшихся равных, максимальных по модулю корней. Устремив k к бесконечности, и учитывая, что :
abs(x[n]/x[max])<1;
получим :
limit((F[{a[n],n=1...N}])^(1/k),k=infinity)=x[max];
При вычислении данной функции берутся нечётные значения k, и погрешность при вычислении максимального "x" будет :
abs(epsilon)<=abs(x[max])*(N^(1/k)-1);
Таким образом точность результата будет зависеть от мощности вашего ПК.
Теперь рассмотрим уравнение пятой степени :
(x)^5+a[1]*(x)^4+a[2]*(x)^3+a[3]*(x)^2+a[4]*x+a[5]=0;
Если :
abs(x[1])<=abs(x[2]);
abs(x[2])<=abs(x[3]);
abs(x[3])<=abs(x[4]);
abs(x[4])<=abs(x[5]);
Имеем :
x[5]=limit(((x[1])^(k)+(x[2])^(k)+(x[3])^(k)+(x[4])^(k)+(x[5])^(k))^(1/k),k=infinity);
x[3]=limit((((x[1]*x[2]*x[3])^(k)+(x[1]*x[2]*x[4])^(k)+(x[1]*x[2]*x[5])^(k)+(x[1]*x[3]*x[4])^(k)+(x[1]*x[3]*x[5])^(k)+(x[1]*x[4]*x[5])^(k)+(x[2]*x[3]*x[4])^(k)+(x[2]*x[3]*x[5])^(k)+(x[2]*x[4]*x[5])^(k)+(x[3]*x[4]*x[5])^(k))/((x[1]*x[2])^(k)+(x[1]*x[3])^(k)+(x[1]*x[4])^(k)+(x[1]*x[5])^(k)+(x[2]*x[3])^(k)+(x[2]*x[4])^(k)+(x[2]*x[5])^(k)+(x[3]*x[4])^(k)+(x[3]*x[5])^(k)+(x[4]*x[5])^(k)))^(1/k),k=infinity);
x[1]=limit(((((x[1]*x[2]*x[3]*x[4]*x[5])^(k))/((x[1]*x[2]*x[3]*x[4])^(k)+(x[1]*x[2]*x[3]*x[5])^(k)+(x[1]*x[2]*x[4]*x[5])^(k)+(x[1]*x[3]*x[4]*x[5])^(k)+(x[2]*x[3]*x[4]*x[5])^(k))))^((1)/(k)),k=infinity);
Из теории симметрических многочленов следует, что все степенные суммы данных функций есть функции от коэффициентов уравнения пятой степени.Так, как уравнение нечётной степени имеет хотя бы одно действительное решение, то один из трёх "x" будет корнем уравнения пятой степени. Далее переходим к уравнению четвёртой степени.
Аналитичность данного решения докажем на примере минимального по модулю "x", при действительном его значении. Если минимальный по модулю "x" стремится к нулю, то и последний коэффициент уравнения a[5] тоже будет стремиться к нулю. Принимая это во внимание, разложим "x" в ряд Тейлора-Маклорена по степеням коэффициента a[5]:
diff(x[1],a[5])=-((1)/(5*(x[1])^4+4*a[1]*(x[1])^3+3*a[2]*(x[1])^2+2*a[3]*x[1]+a[4]));
или :
diff(x[1],a[5])[(a[5]=0)]=-((1)/a[4]);
При a[4] не равном нулю. Далее :
diff^2(x[1],a[5]^2)=((20*(x[1])^3+12*a[1]*(x[1])^2+6*a[2]*(x[1])+2*a[3])/(5*(x[1])^4+4*a[1]*(x[1])^3+3*a[2]*(x[1])^2+2*a[3]*(x[1])+a[4])^2)*(diff(x[1],a[5]));
Или :
diff^2(x[1],a[5]^2)[a[5]=0]=-(2*a[3])/(a[4]^3);
Продолжая таким образом, получим :
x[1] = sum(sum(sum(sum([factorial(2*m-2-3*m[0]-2*m[1]-m[2])*a[1]^m[1]*a[2]^m[2]*a[3]^(m-1-4*m[0]-3*m[1]-2*m[2])/(factorial(m[0])*factorial(m[1])*factorial(m[2])*factorial(m-1-4*m[0]-3*m[1]-2*m[2])*(-a[4])^(2*m-1-3*m[0]-2*m[1]-m[2]))]*(a[5]^m/factorial(m)),m[2] = 0 .. (m-1-3*m[1]-4*m[0])/2),m[1] = 0 .. (m-1-4*m[0])/3),m[0] = 0 .. (m-1)/4),m = 1 .. infinity);
Здесь верхние пределы сумм есть целые числа, получающиеся при отбрасывании дробной составляющей при вычислении выражений над знаками суммы. Данный ряд сходится при следующих неравенствах :
abs(a[3]*a[5])<(a[4]/2)^2;
abs(a[2]*(a[5]/2)^2)<abs((a[4]/3)^3);
abs(a[1]*(a[5]/3)^3)<(a[4]/4)^4;
(a[5]/4)^4 < abs((a[4]/5)^5);
Найдём x[1] как функцию коэффициентов уравнения,выраженную радикалом бесконечной степени:
x[1]=limit((-a[5]/a[4])*{(sum(sum(sum(sum({((k*((k-sum((4-n)*m[n],n=0..3)-1))!)/((k-sum((5-n)*m[n],n=0..3))!*(m[0])!*(m[1])!*(m[2])!*(m[3])!))*((((a[5])^4)/(a[4])^5))^m[0]*(-((a[1]*(a[5])^3)/(a[4])^4))^m[1]*(((a[2]*(a[5])^2)/(a[4])^3))^m[2]*(-((a[3]*a[5])/(a[4])^2))^m[3]},m[3]=0..((k-5*m[0]-4*m[1]-3*m[2])/2)),m[2]=0..((k-5*m[0]-4*m[1])/3)),m[1]=0..((k-5*m[0])/4)),m[0]=0..((k)/5)))}^(-((1)/k)),k=infinity);
Вычисляется эта функция при нечётном значении k.
При разложении этой функции в ряд Тейлора-Маклорена по степеням коэффициента a[5] получим тот же самый ряд, что и при первом разложении:
x[1] = sum(sum(sum(sum([factorial(2*m-2-3*m[0]-2*m[1]-m[2])*a[1]^m[1]*a[2]^m[2]*a[3]^(m-1-4*m[0]-3*m[1]-2*m[2])/(factorial(m[0])*factorial(m[1])*factorial(m[2])*factorial(m-1-4*m[0]-3*m[1]-2*m[2])*(-a[4])^(2*m-1-3*m[0]-2*m[1]-m[2]))]*(a[5]^m/factorial(m)),m[2] = 0 .. (m-1-3*m[1]-4*m[0])/2),m[1] = 0 .. (m-1-4*m[0])/3),m[0] = 0 .. (m-1)/4),m = 1 .. infinity);
То есть, при действительном значении x[1], полученная функция разлагается в ряд Тейлора и является решением уравнения пятой степени.
Более расширенное применение данного метода к решению алгебраического уравнения степени n рассматривается мной в работе "Многозначная функция многих переменных, заданная алгебраическим уравнением степени N с переменными коэффициентами" , опубликованная в сборнике "Учёные записки Ульяновского государственного университета" , Серия физическая, Выпуск 1(13), Ульяновск, 2003, Ст. 46-79.
