Аннотация. В теории чисел действия со степенями есть не изученная область, которая не вошла в теорию. И более того она отрицается. В этой работе эта неизученная область представляется.
Annotation. In the theory of numbers, there is an unexplored area that has not been included in the theory. Moreover, it is being denied. In this work, this unexplored area is presented.
Ключевые слова: основание степени; показатель степени; сложение чисел со степенями; вычитание чисел со степенями
Keywords: base of a power; exponent; addition of numbers with powers; subtraction of numbers with powers
УДК 511
Введение. Кратко напомним действия сложения и вычитания чисел со степенями:
8*a^n + 2*a^n = 10*a^n
8*a^n - 2*a^n = 6*a^n
Примем: а - основание степени, равное 7, n – показатель степени, равный 3 и проведём вычисления:
8*7^3+2*7^3 = 10*7^3
8(343) + 2(343) = 10(343) = 3430
8*a^n - 2*a^n = 6*a^n
8*7^3 - 2*7^3 = 6*7^3
8(343) - 2(343) = 6(343) = 2058
В данных примерах основания степени одинаковые и показатели степени одинаковые, поэтому такая запись правомерна:
8*a^n + 2*a^n = 10*a^n
8*a^n - 2*a^n = 6*a^n
Но если изменим основание степени или показатель степени, то вычисления сложения и вычитания могут идти только по отдельности.
Для примера примем основания а = 5 и b = 3
8*a^3 + 2*b^3 = 8*a^3 + 2*b^3
8*a^3 - 2*b^3 = 8*a^3 - 2*b^3
Тем более изменяя показатель степени.
Допустим основание степени равно а, показатели степени n и m
8*a^n + 2*a^m = 8*a^n + 2*a^m
8*a^n - 2*a^m = 8*a^n - 2*a^m
При разных основаниях и разных показателях вычисления проводятся по отдельности.
8*a^n + 2*b^m = 8*a^n + 2*b^m
8*a^n - 2*b^m = 8*a^n - 2*b^m
Изучая сложения и вычитания со степенями, возник вопрос, если вариант: «Числа возвести в степень, и сложить, и часть этих и/или другие числа сначала сложить, а затем возвести в другую степень, и можно ли между этими операциями поставить знак равно?»
В качестве опорных источников применили: [1]; [2]; [3], [4].
Рассмотрим сначала тождество Никомаха
Источник [4], показывает, что в теории такая тема была проработана, но она представляет лишь частный случай.
1^3+2^3+3^3 + … +n^3 = (1+2+3+…+n)^2
Она вызывает интерес и её хочется расширить
Актуальность поднимаемого вопроса очевидна, и при его положительном решении, получаем новый инструмент в теории чисел.
Цель работы, расширить действия сложения и вычитания со степенями.
Научная новизна заключается в том, что подобные вопросы не рассматривались и не изучались в теории чисел.
Приведём примеры тождества Никомаха.
1. 1^3 +2^3 +3^3 = (1+2+3)^2
1+8+27 = 36 = ( 6)^2
36 = 36
2. 1^3+2^3+3^3+4^3 = (1+2+3+4)^2 = 100
1+8+27+64 = 10^2 = 100
100 = 100
3. 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 = (1+2+3+4+5)^2 = 225
1+ 8+27+64+125 = 225
(1+2+3+4+5)^2 = 15^2 = 225
225 = 225
4. 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3 = (1+2+3+4+5+6)^2 = 21^2 = 441
1+ 8+27+64+125 +216 = 441
441 = 441
5. 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3 +7^3 = (1+2+3+4+5+6+7)^2 = 28^2 = 784
441+343 = 784
784 = 784
6. 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3 +7^3+8^3 = (1+2+3+4+5+6+7+8)^2 = 36^2 = 1296
784+ 512 = 1296
1296 = 1296
7. 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3 +7^3+8^3+9^3 = (1+2+3+4+5+6+7+8+9 )^2 = 36+9 = 45^2 = 2025
1296 +729 = 2025
2025 = 2025
8. 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3 +7^3+8^3+9^3 +10^3 = (1+2+3+4+5+6+7+8+9 +10)^2 = 55^2 = 3025
2025 + 1000 = 3025
3025 = 3025
9. 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3 +10^3+11^3 = (1+2+3+4+5+6+7+8+9 +10 +11)^2 = 66^2 = 4356
3025 + 11^3 = 3025 + 1331 = 4356
4356 = 4356
Такие вычисления можно продолжать бесконечно долго.
Тождество Никомаха можно преобразовать в следующий вид:
Числа натурального ряда берём только чётные.
Запишем приведённые примеры только с чётными числами.
1. 2^3 = 2*(2)^2
8 = 8
2. 2^3+4^3 = 2*(2+4)^2 = 72
8+ 64 = 72
2*36 = 72
4. 2^3+4^3+6^3 = 2*(2+4+6)^2 = 2*12^2 = 288
8+64+216 = 288
288 = 288
6. 2^3+4^3+6^3+8^3 = 2*(2+4+6+8)^2 = 2*20^2 = 800
288 + 8^3 = 288+512 = 800
800 = 800
8. 2^3+4^3+6^3+8^3+10^3 = 2*(2+4+6+8+10)^2 = 2*30^2 = 1800
800+1000 = 1800
2*30^2 = 2*900 = 1800
Заключение. Расширяем тождество Никомаха. С натурального ряда чисел берём, только чётные числа. Эти числа возводим в одну степень и складываем между собой, и приравниваем к сумме этих чисел, возведённых в другую степень, умножая на соответствующий коэффициент.
Выводы. Для чётных чисел с натурального ряда найдено решение, где каждое чётное число по порядку возводим в третью степень, и эти числа в третьей степени складываем, всё это приравниваем к сумме этих чисел, возведённых во вторую степень, умноженную на коэффициент 2. Это найденное решение расширяет теорию чисел, даёт новую формулу и новые возможности решения новых задач, и поиска новых возможностей и теорий.
Библиографический список.
1. При Сложении Степени Что Делают С Разными Степенями [Электронный ресурс] – URL:
https://zigzag-24.ru/blog/pri-slozhenii ... ndex.ru%2F / (дата обращения: 28.06.2026)
2. Когда числа складываются что происходит со степенями [Электронный ресурс] – URL:
https://tul.se-pro.ru/articles/kogda-ch ... nyami.html / (дата обращения: 28.06.2026)
3. Суммирование степеней чисел натурального ряда с помощью арифметических прогрессий с переменными разностями [Электронный ресурс] – URL:
https://cyberleninka.ru/article/n/summi ... ami/viewer / (дата обращения: 28.06.2026)
4. Тождество Никомаха — Википедия [Электронный ресурс] – URL:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Тождество_Никомаха / (дата обращения: 06.07.2026)
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать