Рабочая модель двигателя Стирлинга с бесплатной доставкой по всей России. Узнать больше..

Эллипс и линия Дюрера

Обсуждение новых математических изысканий.
Правила форума
Научный форум "Математика"

Эллипс и линия Дюрера

Комментарий теории:#1  Сообщение Валентин Попов » 20 дек 2015, 08:05

ВВЕДЕНИЕ
Какую геометрическую форму имеет замкнутая кривая линия, образующаяся при пересечении плоскостью всех образующих прямого кругового конуса? Как утверждают современные энциклопедии — это центрально-симметричная фигура с равноудаленными от центра фокусами. В свое время это утверждали такие математики, как П. Ферма и Ж. Дезарг. Однако в отношении геометрической формы наклонного сечения конуса иначе высказался Альбрехт Дюрер. Так, он писал: «Первое сечение ученые называют эллипсом, оно разрезает конус наклонно, не срезая ничего от основания. Этот наклонный срез должен быть сделан с одной стороны выше, а с другой — ниже, так что с одной стороны он ближе к основанию, а с другой — дальше… Я не умею назвать эти три линии по-немецки, но мы дадим им наименования, чтобы можно было их узнавать. Эллипс я буду называть яйцевидной линией, потому что он почти подобен яйцу.» [Дюрер Альбрехт. Дневники. Письма. Трактаты. Т. 2. М., 1957 ]. В современном немецком языке яйцевидный овал называется Eierlinie (аерлиния). Кто прав: указанные математики, позицию которых разделяют и современные математики, или знаменитый художник позднего средневековья?

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ В РЕТРОСПЕКЦИИ
Первое связное учение о конических сечениях дал в III в. до Р. Х. Менехм, ученик Евдокса. Он брал три конуса — с острым, прямым и тупым углом при вершине — и пересекал их плоскостью, всегда перпендикулярной к одной из образующих. В сечения получались плоские кривые — две разомкнутые и одна замкнутая. Исследование этих кривых продолжил Аполлоний Пергский, математик Александрийской школы, и дал им названия: две первые — «парабола» (по греч. «равенство») и гипербола («избыток»), последнюю — эллипс («недостаток»). В способ получения кривых Аполлоний внес изменения: во-первых, он брал только один вид конуса — остроугольный; во-вторых, рассматривал три расположения секущей плоскости — параллельное одной из образующих конуса, параллельное его высоте и, наконец, косое, при котором секущая плоскость пересекает все образующие конуса. При этом Аполлоний не рассматривал геометрическую форму этих кривых, он анализировал их с точки зрения квадратичной зависимости, и в этом состояло зерно его математического обобщения. А именно: он составил уравнения указанных кривых, основываясь на соотношении площадей. Так, в его терминологии — это площадь квадрата со стороной у; рх — площадь прямоугольника со сторонами р и х, а далее следовали зависимости между этими геометрическими формами , описывающие «равенство», «избыток» и «недостаток». Вот эти зависимости:
(парабола)
(гипербола)
(эллипс)
Как мы видим, Аполлоний впервые применил алгебраический метод анализа, используя универсальную систему отображения геометрических форм — двухмерные прямоугольные координаты, которые в неявном виде ввел Евклид, используя понятия перпендикулярности и параллельности. После переоткрытия прямоугольных координат в новое время (сначала Орезмом в XIV в., а затем Декартом в XVII в.) предметом алгебраического исследования становятся различные фигуры и кривые. До этого в геометрии фигуры строились только с помощью циркуля и линейки (этими инструментами поддерживалась визуальная параллельность и перпендикулярность) и рассматривались как ограниченные пространственные объекты. С созданием в XVII в. аналитической геометрии все функционально зависимое становится алгебраическим и, в сущности, не требует визуализации. В наши дни вся теоретическая физика — это, в сущности, аналитическая геометрия многомерных пространств (многомерных систем координат, записанная на языке алгебраических соотношений.
Переход от традиционной (или наглядной) геометрии к аналитической — это логический переход от конкретного к абстрактному в теоретической науке. Если традиционная геометрия характеризуется тем, что в ней рассматриваются только определенные фигуры, которые можно начертить на листе ватмана, то современная аналитическая геометрия рассматривает кривые или поверхности вообще, которых как самих по себе в реальности не существует. Быть кривой или замыкаться поверхностью (любой размерности) — это лишь свойство фигур, но не их сущность. Другими словами, в отрыве от конкретного понятия «фигура как ограниченная часть пространства» не существует ни поверхности, ни протяженности, ни кривизны, как, скажем, не существует добра или зла вообще; реально существуют только добрые или злые поступки конкретных людей. В связи с этим в аналитической геометрии не существует измерений, движений, наложений фигур одна на другую и пр. Мир современной аналитической геометрии — мир абстракций, в котором можно говорить лишь об общих свойствах геометрических фигур, но не об их содержании, измеряемом отрезками, углами или кривизной.

ГЕНЕТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА
В математических справочниках и энциклопедиях эллипс, гипербола и парабола определяют по-разному. Например: эллипс, гипербола и парабола — это графики некоторых функций. Существуют и так называемые фокальные определения этих кривых. Вот они: эллипс — множество точек, сумма расстояний каждой из которых до двух точек (фокусов) одна и та же; гипербола — множество точек, разность расстояний каждой из которых до двух точек (фокусов) одна и та же; парабола — множество точек одинаково удаленных от точки (фокуса) и от не проходящей через нее прямой (директрисы). Мы здесь рассмотрим геометрическое определение эллипса, поскольку оно описывает способ построения реальной фигуры, выступающей элементом геометрического понятия «эллипс». В логике такие определения понятий называются генетическими (от греч. генезис — происхождение).
Как и окружность (допустим, мы ранее определили окружность, как замкнутую кривую, образующуюся движением на плоскости точки, сохраняющей равное расстояние от центра), эллипс — замкнутая линия, симметричная относительно центра и его главных — большой и малой — осей. Итак, геометрию эллипса задает окружность, она выступает для него родовым понятием (исходной конфигурацией), в которую дополнительным преобразованием вносятся видовые отличия. А именно, специфическую форму эллипса, т. е. его «вытянутость» относительно окружности, задает значение эксцентриситета е = с/а < 1, в то время как для окружности е = 0. Чтобы из окружности получить эллипс, ее надо соответствующим образом деформировать, если выразиться в терминах механики — растянуть относительно центра О вдоль оси Х или сжать вдоль оси У, также не изменяя ее центра. Тогда центр окружности при растяжении или сжатии переходит в себя и становится центром эллипса, а крайние точки растянутой или сжатой окружности — его вершинами. Эту ситуацию иллюстрирует следующий образ: если в исходную окружность (родовое понятие для эллипса) вписать квадрат, то после указанного преобразования он превращается в прямоугольник со сторонами 2а и 2b. Как мы видим, в генетическом определении эллипса существуют все признаки логического определения, которое со времен Платона и Аристотеля называется «определением понятия через ближайший род и видовое отличие»

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЭКСПЛИКАЦИЯ ЭЛЛИПСА.
Описанием (или экспликацией) понятия в логике называется последовательность суждений, раскрывающих его содержание. В точных науках (в отличие, например, от философии, психологии или этики) приветствуется описание, представляющее результаты соответствующих измерений, ибо только измерения отображают содержание физического понятия. Если мы говорим, поэтому, что эллипс есть множество точек М плоскости, сумма расстояний которых ( и ) до двух определенных точек этой плоскости (фокусов и , то, значит, мы располагаем этими данными и должны указать значение этой константы, а именно: она равна . Без этой конкретики аналитическое описание эллипса становится избыточно широким.
При этом мы отмечаем также, что в отличие от окружности, которая является линией, и круга, являющегося частью плоскости внутри окружности, для эллипса двух таких аналогов нет. Как сама кривая, так и часть плоскости внутри нее называется одинаково — эллипс. Таким образом, можно сказать как «длина эллипса», так и «площадь эллипса» в зависимости от того, в каком контексте применяется понятие «эллипс».
Все сказанное выше более компактно отображается в прямоугольной системе координат. Если начало координат (точка О) расположено в центре эллипса, а его фокусы располагаются на оси Ох, то алгебраическое уравнение эллипса записывается так:

где а и b — соответственно длины большой и малой полуосей эллипса, с — абсолютная величина фокусного расстояния от центра эллипса. Связь между осями эллипса и его фокусным расстоянием от центра выражается отношением:

Координаты фокусов эллипса записываются так: ; . Если эллипс «сжать» вдоль оси Ох так, что а = b, то фокусы «возвращаются » в центр. Отсюда также следует, что окружность — это вырожденный эллипс, т. е. замкнутая плоская кривая 2-го порядка, все точки которой одинаково удалены от центра. Отрезок, соединяющей центр окружности с любой ее точкой, называется радиусом (обозначается R), и уравнение вырожденного эллипса, если его центр совпадает с началом координат, принимает вид:


ТЕОРЕМА ДАНДЕЛЕНА.
«Эллипс — линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей все прямолинейные образующие одной полости этого конуса». [Мат. энцикл. словарь под ред. Ю. В. Прохорова. М., 1988. С. 649]. Под эллипсом здесь подразумевается замкнутая центрально-симметричная кривая 2-го порядка, геометрическое определение которой мы дали выше. Обоснование такого рода определения было предпринято бельгийским инженером Данделеном в 1822 г. с помощью следующей теоремы. Дано: прямой круговой конус и пересекающая все его образующие плоскость. Требуется доказать: сечение прямого конуса наклонной плоскостью есть эллипс. Для доказательства теоремы автор выполняет построения, которые, следуя его указаниям, полезно воспроизвести самостоятельно. Кому это делать лень, см. черт. в журнале «Квант». 1975 г. № 5 или прямо здесь http://kvant.mccme.ru/1975/05/obshchie_ ... heskih.htm
Пусть все образующие прямого кругового конуса пересечены наклонной плоскостью П. Впишем в конус две сферы так, чтобы они одновременно касались его боковой поверхности и плоскости сечения П. Это возможно, если большая сфера K1 будет касаться секущей плоскости снизу, а меньшая K2 — сверху. Эти сферы своими диаметрами (обозначим их соответственно k1 и k2) характеризуют изменяющуюся кривизну боковой поверхности конуса, т. е. k1 и k2 — это круги кривизны боковой поверхности конуса в данных его сечениях . Как видно, у вершины конуса кривизна боковой поверхности максимальна, а к основанию она уменьшается, поскольку кривизна характеризуется величиной 1/R, и именно эту кривизну отображают «сферы Данделена» своими диаметральными сечениями. Обозначим соответственно F1 и F2 точки касания секущей плоскости П вписанные в конус сферы. Далее, возьмем на линии сечения конуса плоскостью П произвольную точку М и проведем через нее образующую. Отметим точки пересечения этой образующей с кругами кривизны k1 и k2, обозначив их соответственно Р1 и Р2.
В результате мы получили две пары отрезков: МР1, MF1 и MP2, MF2. При этом MP1 = MF1 как касательные к сфере К1, а MP2 = MF2 как касательные к сфере К2, исходящие из одной и той же точки. Следуя аксиоме Евклида («Если к равным прибавить равное, то получим равные»), получаем следующую цепочку равенств: MF1 + MF2 = MP1 + MP2 = P1P2 = F1F2, т. е. отрезок образующей, заключенный между кругами касания сфер K1 и K2 равен отрезку прямой, лежащей на секущей плоскости и соединяющей ее точки касания с этими сферами. Проведя еще одну образующую, которая, допустим, пересечет секущую плоскость в т. М' и соответственно круги касания сфер в тт. P1' и P2; мы получаем еще одну цепочку равенств: M'F1 + M'F2 = M'P'1 + M'P'2 = P'1P'2 = F1F2.

ЧТО ДОКАЗАЛ ИНЖЕНЕР ДАНДЕЛЕН?
Отрезки P1P2, P'1P'2, P''1P''2 и т.д. суть образующие усеченного конуса, ограниченного диаметральными кругами касания вписанных сфер К1 и К2, образующимися при их касании с боковой поверхностью исходного конуса. При проведении соприкасающейся плоскости между сферами (это секущая плоскость П) получается такой же отрезок образующей, заключенный между точками касания этой плоскости с диаметрами указанных сфер, но только с другой стороны. Это точки F1 и F2 , ограничивающие отрезок F1F2. Его-то Данделен и отождествляет с фокусным расстоянием замкнутой кривой, возникающей при пересечении конуса плоскостью П. Как легко понять, отрезок F1F2 к данной кривой никакого отношения не имеет; он просто геометрически находится внутри нее, являясь элементом плоскости П. Таким образом, автор теоремы в процессе ее доказательства совершает логическую ошибку, называемую в учебниках по логике «подмена тезиса». В данном случае понятие «образующая усеченного конуса» подменяется понятием «фокусное расстояние» эллипса, будто бы возникающего при пересечении конуса плоскостью. С позиции школьной геометрии, отрезки P1P2, P'1P'2, P''1P''2 и т.д. равны отрезку F1F2 по построению, что и доказал инженер Данделен, обратившись к свойству касательных к сферам, проведенных из одной и той же точки.

О ПОНЯТИИ КРИВИЗНЫ
Еще раз повторим математическое определение эллипса, а именно: это множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух определенных точек этой плоскости (фокусов) постоянна и равна оси эллипса, на которой расположены фокусы. Это аналитическое суждение не рождается само собой, это индуктивное обобщение соответствующих измерительных процедур. Проводя геометрические измерения нескольких (в принципе, потенциально бесконечного множества) эллипсов, мы убеждаемся, что фокальные свойства этой фигуры гарантируются ее симметрией, рассматриваемой относительно ее осей — большой и малой. Обеспечивается же центрально-осевая симметрия эллипса парной тождественностью кривизны его вершин, ограничивающих в пространстве его малую и большую оси.
Кривизна линии относится к каждой ее точке, которая от точки к точке может быть как постоянной, так и переменной. Измеряется кривизна окружностью кривизны. Окружность кривизны — это реальная окружность, имеющая с измеряемой кривой в данной точке соприкосновение не ниже 2-го порядка. Центр окружности кривизны называется центром кривизны кривой в точке соприкосновения, а радиус окружности кривизны — радиусом кривизны. Величина кривизны — это величина, обратная радиусу кривизны, т. е. 1/R.
Вспомним определение конуса. Это множество прямых (образующих), соединяющих все точки некоторой линии (направляющей конуса) с данной точкой (вершиной конуса). Простейшим из конусов является прямой круговой (или круглый) конус; его направляющей служит окружность, а его вершина ортогонально проецируется в центр основания. Важной особенностью боковой поверхности конуса является его переменная кривизна (в отличие, скажем, от цилиндрической поверхности, которая везде постоянна)
Если пересечь круглый конус плоскостью, параллельной его основанию, то получим усеченный конус, сверху и снизу ограниченный двумя кругами. Эти круги своими радиусами характеризуют кривизну боковой поверхности конуса в тех местах, где они его пересекают. Как легко усмотреть теперь, кривизна боковой поверхности круглого конуса увеличивается к его вершине (вплоть до бесконечности непосредственно в вершине) и уменьшается к его основанию.

ПОЧЕМУ АЕРЛИНИЯ, НО НЕ ЭЛЛИПС?
Возьмем круглый конус и пересечем его наклонной плоскостью (как описывает А. Дюрер). Проведем две вспомогательные секущие плоскости, параллельные основанию и проходящие через верхнюю и нижнюю точки пересечения наклонной плоскости с образующими. Мы получили усеченный конус, вершина и основание которого выступают окружностями кривизны, характеризующими кривизну боковой поверхности конуса в вершинах той замкнутой кривой линии, которая получается в наклонном сечении, и имеет те же точки касания с боковой поверхностью конуса, что и секущие плоскости, параллельные его основанию. Форму наклонного сечения математики со времен Декарта называют эллипсом в смысле его генетического определения, но они фундаментально заблуждаются, и уже почти половину тысячи лет упорствуют в этом заблуждении. Ведь кривизна боковой поверхности конуса переменная, следовательно, форма этой замкнутой кривой несимметрична относительно ее малой оси, восстановленной к середине большой. Чего нельзя сказать о зеркальной симметрии относительно большой оси. Таким образом, эта замкнутая кривая линия подобна абрису яйца, «острая» вершина которого расположена ближе к вершине конуса, а «тупая» — ближе к его основанию.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Математики (в особенности «чистые») — формалисты, и реалисты их мнением, поэтому, могут пренебречь. Так поступают все мало-мальски толковые конструкторы и инженеры. Это к тому, что с мнением Дюрера относительно формы наклонного сечения конуса не соглашался даже И. Кеплер, а вслед за ним и сам сэр Ньютон. С тех пор все замкнутые траектории небесных тел в головах астрономов имеют форму эллипсов, что в реальности не так. Просто при малых наклонах секущей плоскости (или малых эксцентриситетах) их яйцевидность мало заметна (ее трудно измерить), а что касается орбит комет и астероидов, то их в сфере наблюдения подменяют разомкнутыми кривыми 2-го порядка — параболами и гиперболами, что является сильным упрощением и, следовательно, не соответствующим действительности. Но это проблемы другой темы, место которой в разделе «Физика».

Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
Код: выделить все
<div style="text-align:center;">Обсудить теорию <a href="http://www.newtheory.ru/mathematics/ellips-i-liniya-durera-t3625.html">Эллипс и линия Дюрера</a> Вы можете на форуме "Новая Теория".</div>
Валентин Попов
 
Сообщений: 186
Зарегистрирован: 16 авг 2012, 15:14
Благодарил (а): 0 раз.
Поблагодарили: 21 раз.

Эллипс и линия Дюрера

Сообщение Рекламкин » 20 дек 2015, 08:05

Двигатель Стирлинга Рабочая модель двигателя Стирлинга с бесплатной доставкой по всей России. Узнать больше..

Рекламкин

 

Вернуться в Математика

Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2