1. Неопределяемых понятий: точка, прямая, плоскость.
2. Аксиом, принимаемых без доказательств.
3. Определений геометрических объектов (например, сферы, окружности).
4. Теорем, доказываемых по правилам формальной логики с использованием понятий, введённых в первых 3-х пунктах, называемых основаниями геометрии (ОГ).
Концепция Гильберта принята в настоящее время в большинстве учебников. Следует заметить, что основоположник геометрии Евклид (III в. до н.э.) не вводил неопределяемых понятий, однако, как указывали некоторые учёные (Лобачевский) его определения были неточны. Например, прямая определена Евклидом как линия, все точки которой расположены одинаково относительно друг друга. Но то же самое можно сказать и об окружности.
_
Постановка вопроса о том, почему одни понятия считаются определимыми, а другие – неопределимыми, немедленно вызывает следующий вопрос: а откуда вообще берутся понятия и определения?
Если Вы, хотя бы на минуту, задумаетесь над этим последним вопросом, то сделаете для себя неожиданные открытия.
Понятия в нашем мозгу возникают вовсе не в той последовательности, которая присуща курсам геометрии. Особенно ярко это видно при анализе процесса формирования понятий у младенцев.
Вначале у младенца формируются лишь смутные образы, но, по мере усвоения новых знаний, он тысячекратно возвращается к прежним понятиям, постепенно их уточняя. Мы называем здесь этот процесс рекурсией познания. Лозунг “Практика есть критерий истины” является лишь частным случаем этого метода.
Именно таким методом человек определяет для себя все понятия, в том числе — фундаментальные и сугубо абстрактные. Разумеется, в этом процессе участвуют и знания, полученные от других людей, поэтому понимание терминов различными людьми близкой общности практически совпадает.
Самое беглое знакомство с лингвистикой убеждает, что развитые национальные языки представляют собой мощные системы взаимосвязанных понятий, каждое из которых с огромной точностью может быть определено через другие. Такое устройство языка (между прочим — стихийное!) очень адекватно окружающему нас единому взаимосвязанному миру и выгодно отличает его от иерархических построений, в которых все понятия определяются через так называемые простейшие, остающиеся, в результате, неопределимыми.
На самом деле определение “простейших” понятий отдаётся в этом случае на откуп случайных (зачастую — мистических) представлений. Недаром люди, проповедующие такие построения, до изнеможения спорят друг с другом, вместо того, чтобы выяснить, что же каждый из них понимает под тем или иным словом. Например, некоторые из них договорились даже до того, что стали отрицать как таковой сам научный метод. Интересно, что они имеют ввиду под этими словами: если свой метод, то причём здесь наука?
_
Конструкторы ОГ стремились создать полную систему предложений, на основе которых все другие зависимости получались бы как логические следствия. Нетрудно, однако, заметить, что, поскольку ОГ излагаются на конкретном национальном языке, то впереди всех аксиом геометрии, строго говоря, необходимо постулировать аксиомы известности каждой применяемой в геометрии лексической конструкции, а их количество значительно превышает количество тех высказываний, которые принято преподносить в качестве геометрических аксиом! Ясно далее, что лексические конструкции могут быть определены только через другие лексические обороты, а поскольку все понятия языка взаимосвязаны и рекурсивны, то на самом деле при изложении оснований геометрии (как и других наук) мы пользуемся весьма значительным багажом знаний, заключённых в бытовом языке, которым владеют первоклашки, когда им дают самые первые геометрические сведения. Получен этот багаж малышами с помощью рекурсии, которую так старательно избегают в дальнейших изложениях поклонники строгой иерархии.
Если мы проанализируем изложенное выше заблуждение о невозможности определения простейших понятий, то легко найдём корни этого заблуждения. Они заключаются в том, что большинство физиков и математиков рассматривают термины, не как общественно сложившиеся лексические единицы, отражающие результаты нашего анализа окружающего мира (т.е., элементы сознания), а как нечто, установленное свыше. Что интересно, философы, называющие себя материалистами, не только не избежали этого заблуждения, но и наиболее яростно его защищают – видимо, для них слова “категория сознания”, что красная тряпка для быка! Религиозные фанаты попытаются зацепить нас за слова “данные свыше”, утверждая, что так оно и есть. Однако даже церковные мыслители доказывают, что Бог дал человеку свободу выбора и разум, а знания он должен добывать себе сам.
_
Метод рекурсии познания часто непроизвольно используется преподавателями. Они сначала объясняют тему упрощённо (“на пальцах”) и лишь затем переходят к более строгому изложению. Однако жёсткие рамки учебной программы и утверждённых пособий не позволяют использовать рекурсию более эффективным образом. Суть рекурсии состоит в том, что возврат к изученному должен осуществляться на новом, более высоком уровне знаний, т.е. имеется в виду не только переход от упрощённого изложения к более строгому, но и использование, при повторном рассмотрении, знаний, полученных между этими витками изучения.
Вооружившись уверенностью, что для любых понятий можно дать определение, вернёмся к анализу оснований геометрии.
_
1. Введение однородного изотропного прост¬ранства. Определение точки, прямой и плоскости
_
__________________________________________________Нет царского пути к геометрии
____________________________________________________________________Евклид
_
Мы можем определить точку, как геометрический объект бесконечно малых размеров.
Строгие критики могут обвинить нас, что здесь используются термины, которые ещё не определены в геометрии, например, слово “размер”.
Существует много аргументов против этого обвинения. Например, мы можем пообещать определить это слово впоследствии, что часто применяется в научных публикациях и вполне вписывается в пропагандируемый здесь метод рекурсии. Нетрудно однако заметить, что, вследствие бесконечной малости объекта, геометрическое содержание термина “размер” не имеет ни малейшего значения, и нам вполне достаточно его общенаучного и даже бытового значения. В сущности, мы на современном языке повторили определение Евклида: «Точка есть то, что не имеет частей». Это определение получило столько едкой критики, что невольно приходит на ум «подвиг» Герострата: разрушив это определение и не предложив своего, математики отдали его на откуп мистическим представлениям.
Если вы захотите использовать определение точки непосредственно в школьном преподавании, то предварительно должны дать определение бесконечно малой величины или пояснить его смысл способом, соответствующим уровню знаний обучаемых.
Что даёт предложенное определение?
Первое. В любом общенациональном языке понятие “точка” весьма многозначно. После нашего определения геометрическое применение этого понятия стало вполне однозначным.
Теперь вырисовывается общая задача формулировки ОГ. Это придание однозначности всем терминам и определение чисто геометрических объектов и понятий, неизвестных вне геометрии. Понятно, что аналогичные задачи стоят в основаниях других наук.
Вторым результатом нашего определения точки является то, что, благодаря приданному ей свойству бесконечной малости, некоторые аксиомы становятся простым следствием этого свойства.
Не будем утомлять читателя определением понятий “поверхность” и “линия” — никто не сомневается в существовании этих определений.
Сфера обычно определяется как множество точек, равноудалённых от заданной.
Хотя равноудалённость в бытовом смысле не вызывает вопросов, мы все же должны указать способ построения сферы: она получается как множество положений одного из концов циркуля, если другой конец закреплён в заданной точке.
В последнем предложении, неявно подразумевается, что при любых изменениях положения циркуля его раствор не меняется, т.е., пространство однородно и изотропно.
Среди физиков (да и математиков) было много дискуссий по вопросу однородности и изотропности реального пространства. Существует, однако, одно соображение, которое делает этот вопрос неактуальным для геометрии и, вообще, математики.
Когда древние строили геометрию, они считали само собой разумеющимся, что влияние материальных объектов на геометрические свойства фигур должно быть исключено. Как потом оказалось, факторы этого влияния могут быть весьма разнообразными: температура, силовые поля, ветер, различные оптические искажения и т.д. Но, как только эти влияния становились известными, человек находил способы вносить соответствующие поправки.
Чисто теоретически можно представить себе такое устройство, которое сохраняет расстояние между двумя своими точками неизменным при любом перемещении, компенсируя изменения физических условий специальными способами, вплоть до введения расчётных поправок.
Термин “расстояние” применён здесь в общелексическом смысле. При дальнейшем его уточнении мы можем вернуться к предложенной формулировке и убедиться в её непротиворечивости.
Ясно, что таким способом можно компенсировать влияние любых полей, в том числе — вызывающих преобразования Лоренца (используемые также и теорией относительности).
Назовём описанное выше устройство идеальным циркулем. В обыденной жизни обыкновенный циркуль с огромной точностью удовлетворяет изложенным требованиям. Фактически, процедурой получения идеального циркуля, мы определили способ построения однородного изотропного пространства.
Может появиться вопрос, а что если существуют ситуации, когда раствор циркуля меняется, но никаких физических последствий это не вызывает, и, следовательно, упомянутое изменение никак не может быть обнаружено?
Чистейшая умозрительность поставленного вопроса (отсутствие физических последствий) со всей убедительностью показывает, что однородное изотропное пространство может быть введено всегда. Обратим внимание, что авторы многих учебников, ратующих за строгую иерархию доказательств, довольно безапелляционно используют неизменность раствора циркуля, не балуя обучаемых не только аксиомой, но и простым сообщением.
После изложенных замечаний, можно было бы перейти к обсуждению возможности определения понятия “плоскость”, однако из чисто методических побуждений мы рассмотрим сначала некоторые наглядные построения планиметрии, после которых упомянутое определение возникает практически само собой, как простая аналогия.
_
Слово “прямая” на общепринятом языке означает “не кривая”. Нет никакого сомнения, что именно это значение имел в виду Евклид и все древние. Вполне вероятно, что уже тогда был известен способ проверки линейки её переворачиванием, широко применяемый плотниками и слесарями до настоящего времени. Идея этого переворачивания очевидна: две кривизны, складываясь с противоположным знаком, уничтожают друг друга.
Пользуясь этой идеей, можно привести несколько способов построения прямой линии чисто геометрическими методами, без привлечения физических свойств тел (натягивания шнура, пропускания луча света и т.п.), без шаблона (линейки), одним лишь циркулем.
Первый напрашивающийся способ — это проведение линии, равноудалённой от двух дуг окружностей одинакового радиуса, но противоположной выпуклости. Здесь мы должны заметить, что окружность, в отличие от прямой, вполне чётко определена во всех учебниках геометрии.
Второй способ вытекает из первого, но проще по исполнению. Заметим, что, если центры упомянутых выше окружностей разные, то точки пересечения их дуг лежат на строимой нами равноудалённой. Меняя радиусы, но не меняя центры, найдём новую пару точек. Нетрудно убедиться, что, ввиду полной симметрии, эта новая пара точек лежит на той же равноудалённой, т.е., на той же прямой. Продолжая этот процесс, мы можем построить все точки искомой линии. Фактически этот способ известен как построение перпендикуляра через середину отрезка, концами которого в нашем случае являются центры окружностей проводимых нами дуг (см. рис.1).
_
_
Понятие “кривизна” встречается на поздних этапах изучения геометрии. Ничто, однако, не мешает ввести его в основания геометрии. Как известно, кривизной называется величина, обратная радиусу окружности, аппроксимирующей кривую в заданной точке.
Тогда прямую мы можем определить как линию нулевой кривизны. Нет никакого сомнения, что именно так интерпретировали это понятие древние и именно в таком вполне однозначном смысле слово “прямая” применяется в общепринятой норме языка.
После приведённых высказываний определение плоскости как поверхности нулевой кривизны становится почти тривиальным. Плоскость можно представить как поверхность, равноотстоящую от двух сфер одинакового радиуса. Это объясняет, между прочим, идеальную плоскостность граней чистых кристаллов.
_
Покажем доказательство некоторых аксиом на основе определений точки, прямой и плоскости.
Большинство аксиом геометрии (как они изложены, например, у Гильберта) являются по существу неявными определениями этих понятий. Естественно, что при явном определении прежние аксиомы становятся простыми их следствиями.
Непосредственно из рис. 1 видно, что ввиду симметрии построенная нами прямая является единственной между двумя засечками одинакового радиуса. Таким образом, через две точки можно провести прямую, и притом только одну. Теперь мы можем изготовить на основе рис 1 шаблон (линейку) и производить построения привычным способом.
Кроме того, как уже отмечалось, эта прямая делит отрезок O1 и O2 пополам, т.е., мы получили способ деления отрезка.
Покажем, далее, как доказывается утверждение о том, что прямая является кратчайшей линией между двумя заданными точками А и В.
Уясним сначала, как получить кратчайшую линию. Если мы будем подбирать такой раствор циркуля, чтобы проведённые им окружности a и b с центрами в точках А и В касались друг друга внешними сторонами, то точка касания С, очевидно, будет принадлежать кратчайшей линии (см. рис.2).
_
_
С другой стороны, если мы будем строить прямую через точки A и B как линию, равноотстоящую от дуг с центрами в C1 и C2, кривизна которых равна по величине, но противоположна по знаку, то убедимся, что ввиду полной симметрии эта прямая проходит через С. Повторяя этот процесс со вновь построенной и исходными точками, получим требуемый результат.
Теперь мы можем уточнить термин “расстояние”. Под этим термином понимается положительное число, показывающее, сколько раз выбранный нами в качестве единицы измерения раствор циркуля уложится вдоль кратчайшей линии (Мы не останавливаемся на технических деталях измерения дробной части).
_
На основе определения понятия «прямая» 5-й постулат Евклида, о который сломано так много копий, доказывается как простое следствие этого определения. Это доказательство планируется изложить в другом сообщении.
_
Изложенные здесь сведения опубликованы в рецензируемом сборнике «Психолого-педагогічні проблеми на рубежі тисячоліть: саморазвиток особистості, Міжнародної науково-практичної конференції», Рекурсія пізнання і обгрунтовання аксіом геометрії, м. Хмельницкий, 2001 р., однако, ввиду ограниченного информирования широкой публики, в течение долгих лет повторяется необоснованный агностицизм Гильберта.
2-й источник: «Путь к началам и решению проблем. Метод возврата» http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/pub ... 379168/0#0
_
_______________________Рязанцев Виктор Иванович
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
