Аннотация. В представленной работе рассматриваются и исследуются найденные закономерности сложения степеней с разными основаниями и показателями степеней, что увеличивает возможности математических инструментов, как в теории чисел, решении уравнений высшего порядка, так и в программировании.
Abstract. In the presented work, the found laws of degree addition with different bases and exponents are considered and studied, which increases the capabilities of mathematical tools, both in number theory, solving higher-order equations, and in programming.
Ключевые слова: основание степени; показатель степени; сложение степеней; разные основания степеней; разные показатели степеней
Keywords: degree base; exponent; addition of degrees; different degree bases; different exponents
УДК 511
Введение. Можно ли складывать степени с разными основаниями и разными показателями? На этот вопрос отвечает автор источника [1] складывать можно, но упростить ответ до одной степени целого числа с натуральным показателем, не получиться. Складывая степени с разными основаниями и разными показателями, получаем сумму чисел. Закономерностей образования суммы чисел при сложении степеней с разными основаниями и разными показателями пока не выявлено. Нет, каких либо алгоритмов и специальных правил. Утверждается, что правильный алгоритм существует, только один, каждое число возвести в свою степень, а затем сложить.
Актуальность темы заключается в том, что по этой теме нет научных работ, следовательно, выявление закономерностей в получении результатов сложения степеней с разными основаниями и разными показателями, послужит стимулом для поиска таких закономерностей и решения многих математических проблем.
Цель работы, найти закономерности при получении результатов при сложения степеней с разными основаниями и разными показателями.
Научная новизна данной работы заключается в том, что найденные закономерности в получении результатов при сложении степеней с разными основаниями и разными показателями, даёт новые математические инструменты в решении проблем в теории простых чисел, решении уравнений высших порядков и решении 13 проблемы Гильберта[2]. Надо сразу обратить внимание, что поиск закономерностей и полученные результаты, ни в коем случае, не являются единственными, в этой работе показан первый шаг к такому возможному поиску.
Основания степеней отличаются на 1, показатели степеней отличаются на 1.
Вариант №1. У степени с меньшим основанием меньший показатель.
Показатели степеней 2 и 3.
1. 1^2+2^3 = 1+8 = 9 = 3*(1+2)+0
2. 2^2+3^3 = 4+27 = 31= 6*(2+3)+1
3. 3^2+4^3 = 9 + 64 = 73 = 10*(3+4)+3
4. 4^2+5^3 = 16+125 = 141 = 15*(4+5)+6
5. 5^2+6^3 = 25+216 = 241 = 21*(5+6)+10
6. 6^2+7^3 = 36+343 = 379 = 29*(6+7)+2
7. 7^2+8^3 = 49+512 = 561 = 37* (7+8)+6
8. 8^2+9^3 = 64+29 = 793 = 46*(8+9)+11
9. 9^2+10^3 = 81+1000 =1081 = 56*(9+10)+17
10. 10^2+11^3 =100+1331=1431= 68*(10+11)+3
11. 11^2+12^3 = 121+1728 =1849 = 80*(11+12)+9
12. 12^2+13^3 = 144+2197 = 2341 = 93*(12+13)+16
13. 13^2+14^3 = 169 +2744 = 2913 = 107*(13+14)+24
14. 14^2+15^3 = 196+3375 = 3571 = 123*(14+15)+4
15. 15^2+16^3 = 225+4096 = 4321= 139*(15+16)+12
В приведённом выше примере, который последовательно объединяет, сложение степеней с разными основаниями и показателями степеней, отличающимися на единицу, как при сложении степеней по горизонтали, так и последовательно в рядах по вертикали, что позволило выявить закономерности в этих операциях.
Из этого примера выведен алгоритм сложения степеней, где основание и показатель степени отличаются на 1, при этом у степени с меньшим основанием, меньший показатель.
Для сложения таких степеней выведена формула:
A^2 + B^3 = G *(A+B) + C --- (1),
Где А – основание степени меньшего числа, В – основание степени большего числа, G – основной коэффициент формулы, зависящий от величины оснований формулы, в данном примере можно привязать к порядковому номеру формулы, С – конечное число в формуле, приводящее данную формулу к тождеству, имеющее зависимость в арифметической прогрессии.
Все приведённые 15 примеров связаны между собой арифметическими прогрессиями.
1. 2^2+3^3 = 4+27 = 31= 6*(2+3)+1
2. 6^2+7^3 = 36+343 = 379 = 29*(6+7)+2
3. 10^2+11^3 =100+1331=1431= 68*(10+11)+3
4. 14^2+15^3 = 196+3375 = 3571 = 123*(14+15)+4
При продолжении последовательного сложения степеней, конечное число С в формуле так же последовательно будет возрастать.
Конечные числа в формуле, оканчивающиеся на С в диапазоне от 1 до 2 изменяются: 3 - 1 = 2; 6 – 3 = 3; 10 – 6 = 4.
Конечные числа в формуле, оканчивающиеся на С в диапазоне от 2 до 3 изменяются: 6 - 2 = 4;
11 – 6 = 5; 17 – 11= 6.
Конечные числа в формуле, оканчивающиеся на С в диапазоне от 3 до 4 изменяются: 9 – 3 = 6;
16 – 9 = 7; 28 – 16 = 8.
Между коэффициентом G и С существует связь и зависимость.
G = A+B+C --- (2)
1. 1^2+2^3 = 1+8 = 9 = 3*(1+2)+0 G = 1+2+0 = 3
2. 2^2+3^3 = 4+27 = 31= 6*(2+3)+1 G = 2+3+1 = 6
3. 3^2+4^3 = 9 + 64 = 73 = 10*(3+4)+3 G = 3+4+3 = 10
4. 4^2+5^3 = 16+125 = 141 = 15*(4+5)+6 G = 4+5+6 = 15
5. 5^2+6^3 = 25+216 = 241 = 21*(5+6)+10 G = 5+6+10 = 21.
Арифметические прогрессии связывают все результаты этого примера сложения степеней с разными основаниями и разными показателями.
Если рассмотреть результирующие числа от сложения степеней с разными основаниями и разными показателями, чисел на простоту, то в этом конкретном примере находим довольно хороший результат поиска простых чисел.
Простые числа: 31,73,241,379,2341,3571 – итого 6 чисел простых из 15 в процентах 40 %.
Основания степеней отличаются на 1, показатели степеней отличаются на 1.
Вариант №2. У степени с меньшим основанием больший показатель.
Показатели степеней 3 и 2.
1^3 + 2^2 = 1+4 = 5 = (1*1*2) + (1+2) = 2+3
2^3+3^2 = 8+9 = 17 = (2*2*3)+ (2+3) = 12+5
3^3+4^2 = 27 + 16 = 43 = (3*3*4)+(3+4) = 36+7
4^3+5^2 = 64+ 25 = 89 = (4*4*5)+(4+5) = 80+9
5^3+6^2 = 125 + 36 = 161 = (5*5*6) + (5+6) = 150+11
6^3+7^2 = 216 + 49 = 265 = (6*6*7) + (6+7) = 252+13
7^3+8^2 = 343 + 64 = 407 = (7*7*8) + (7+8) = 392+15
8^3+9^2 = 512 + 81 = 593 = (8*8*9) +(8+9) = 576+17
9^3+10^2 = 729 + 100 = 829 = (9*9*10) + (9+10)= 810+19
10^3+11^2 = 1000 + 121= 1121 = (10*10*11) + (10+11)= 1100+21
11^3+12^2 = 1331 + 144 = 1475 = (11*11*12) + (11+12)= 1452+23
12^3+13^2 = 1728 + 169 = 1897 = (12*12*13) + (12+13) = 1872+25
13^3+14^2 = 2197+ 196 = 2393 = (13*13*14) + (13+14) = 2366+27
14^3+15^2 = 2744+ 225 = 2969 = (14*14*15) + (14+15)= 2940+29
15^3+16^2 = 3375 + 256 = 3631 = (15*15*16) + (15+16) = 3600+31
Выводим формулу сложения степеней с разными основаниями и разными показателями, отличающимися на 1, где показатель меньшего числа равен 3, а показатель большего числа равен 2.
А^3 + B^2 = (A^2*B) + (A+B) --- (3),
А – основание степени меньшего числа, B – основание степени большего числа.
Рассматривая результирующие числа от сложения степеней с разными основаниями и разными показателями, чисел на простоту, в этом конкретном примере находим хороший результат поиска простых чисел.
Простые числа: 5,17, 43, 89,593, 829,2393, 2969, 3631. Итого 9 чисел из 15 чисел являются простыми числами, что составляет 60%.
Отметим, что диапазон поиска простых чисел в первом случае от 1 до 4321, а во втором случае диапазон поиска от 1 до 3631 и простые числа в этих диапазонах не повторяются, то эти примеры сложения степеней можно совместно использовать, как поисковые системы для простых чисел.
Заключение. В представленной работе рассматривая сложение степеней с разными основаниями и показателями степеней, отличающимися на 1, для показателей степеней 2 и 3 установили, что можно вывести одинаковые алгоритмы поиска результата, что расширяет теорию чисел, даёт новые математические инструменты для решения математических задач на более высоком уровне.
Выводы. В ходе работы, для решения задач, выведены формулы, рассмотрены подробно примеры, определены возможности поиска простых чисел, установлены закономерности и связи между однотипными примерами сложения степеней.
Библиографический список.
1. При Сложении Степени Что Делают С Разными Степенями [Электронный ресурс] – URL:https://zigzag-24.ru/blog/pri-slozhenii-stepeni-chto-delayut-s-raznymi-stepenyami/?utm_referrer=https%3A%2F%2Fyandex.ru%2F / (дата обращения: 22.08.2026)
2. Математики воскресили 13-ю проблему Гильберта / Хабр [Электронный ресурс] – URL:https://habr.com/ru/articles/544266/ (дата обращения: 22.08.2026)
22.08. 2026 г. А.Т. Дудин.
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
