В 1938 году американский физик Ф. Бенфорд открыл «закон аномальных чисел». Начальный толчок его поискам дали библиотечные таблицы логарифмов. Бенфорд заметил, что первые несколько страниц захватаны больше, чем следующие за ними, в то время как последние страницы почти совсем чисты. «Почему студенты и инженеры чаще пользуются первыми страницами таблиц логарифмов, чем последними? – подумал Бенфорд. – Потому что им чаще приходится иметь дело с числами, начинающимися с цифры 1, чем с цифры 2; с цифры 2, чем с цифры 3; и т.д. А логарифмы каких чисел чаще всего приходится искать в таблицах? Очевидно – тех чисел, которые находятся в специальных (всевозможных) справочниках».
Бенфорд исследовал около 20 таблиц, среди которых были данные о площади поверхности 335 рек, удельной теплоемкости и молекулярном весе тысяч химических соединений и даже номера домов первых 342 лиц, указанных в биографическом справочнике американских ученных. Проанализировав около 20 тысяч содержавшихся в таблицах чисел, Бенфорд установил удивительную закономерность. Казалось бы, все девять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (из которых состоит любое мыслимое число) равноправны, и вероятность появления каждой из них в качестве первой значащей цифры должна составлять 1/9=0,111... (равновероятное распределение).
Первая значащая цифра есть у любого числа, проще всего это пояснить на примерах:
у чисел 0,0123; 0,1456; 1,789; 1957 – первая значащая цифра равна 1;
у чисел 0,0002273; 0,2372; 27,789; 290704 – первая значащая цифра равна 2;
у чисел 0,003729; 3581; 39,125; 3704 – первая значащая цифра равна 3;
……………………………………………
у чисел 0,00009667; 0,0931; 974,729; 900157 – первая значащая цифра равна 9.
Однако, обработав таблицы, Бенфорд получил, что вероятность появления в качестве первой значащей цифры единицы, оказалась почти втрое больше, чем вытекает из равновероятного распределения! А вероятность появления первой значащей цифры 9 составляет всего 0,047 – почти в 2,4 раза меньше, чем 1/9 = 0,111. Короче говоря, если таблицы логарифмов разместить на 9 страницах, то первая страница окажется почти в семь раз грязнее, чем последняя!
В итоге (огромной) проделанной работы Бенфорд установил эмпирический «закон аномальных чисел»: вероятность (Pi) того, что у некого случайного числа (скажем, указанного в некой таблице) первая значащая цифра будет равна именно i, определяется по формуле Бенфорда
Pi = log(1 + 1/i), (1)
где i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (для каждой цифры i формула даёт свою вероятность Pi).
Слово «аномальные» в названии закона появилось потому, что одни таблицы находились в лучшем соответствии с формулой, чем другие. Площади рек и случайные номера домов давали лучшее совпадение, а таблицы квадратных корней или удельной теплоемкости – худшее. Поэтому Бенфорд решил, что открытый им закон приложим только к таким – аномальным – числам, между которыми не угадывается никаких связывающих их закономерностей. Вот какой красивый (своей лаконичностью) закон на протяжении сотен лет являлся миру в виде захватанных первых страниц справочников!
Закон Бенфорда поразил меня своей красотой и загадочностью. С тех пор я никогда его не забывал, а осенью 1985 г. наконец сам догадался о причине возникновения этого закона и даже смог вывести формулу Бенфорда аналитически. Странно, что столь простые рассуждения не пришли в голову Бенфорду.
Далее см. http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr ... 2060.shtml
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать