Оговорюсь сразу: я не пытаюсь повторно доказать теорему, в этом нет смысла, она доказана. Я преследую очень простую цель - понять каким могло быть «чудесное» доказательство, возможную причину появления этой знаменитой записи на полях древней книги. Другими словами - произвести реконструкцию «математической» обстановки в средневековой Франции, условий, в которых эта запись появилась.
Для того, что бы реконструкция любого события прошлого была наиболее близкой к реальности, необходимо начинать свои суждения с рассмотрения имеющихся фактов, другого пути нет. Так скажет любой следователь или дознаватель. Ниже перечислены известные факты, мои выводы из их рассмотрения и сформулирована гипотеза о том, каким могло быть «чудесное» доказательство.
Первый: Дословный перевод слов средневекового ученого на полях древней книги в переводе на русский язык:
«Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень больше двух на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».
В европейской математике теорема была сформулирована таким образом впервые. Китайские, индийские, арабские и другие восточные математики древности говорили о ней задолго до Пьера Ферма. Но только эти слова великого европейского ученого вызвали нешуточные страсти среди профессионалов и любителей математики.
Существует гипотеза о том, что эти слова написаны не Пьером Ферма, а неким другим человеком. Пусть так, но и он жил в средневековой Франции. В те времена книга - вещь дорогая и редкая, ее передавали по наследству и берегли. Экземпляр книги античного математика со знаменитой записью на полях не мог попасть в чужие руки. Ее содержанием, мог интересоваться и делать какие - то пометки на полях только тот, кто занимался математикой, а не любой, умеющий читать и писать. Книга принадлежала Пьеру Ферма и его наследникам. В первой половине XVII века в городе Тулуза не было другого математика с таким же громким именем как месье Ферма. Как бы то ни было, памятники установлены Пьеру Ферма, а не «неизвестному математику». Я придерживаюсь официально принятой точки зрения - знаменитая пометка на полях древней книги выполнена рукой самого ученого, а не кем то другим.
Второй: Диофант Александрийский, «Арифметика». Издание 1621г. Идея «чудесного» доказательства возникла у Пьера Ферма при чтении этой древней книги и на ее полях появилась собственноручно выполненная ученым знаменитая запись.
Диофант Александрийский (III век) был одним из последних великих математиков античности и одним из первых создателей новой алгебры, основывающейся не на геометрии (как до него у Евклида или Архимеда), а на арифметике. Его «Арифметика» - по сути, сборник специально подобранных задач, на решении которых автор демонстрирует методы их решения. В ней применяется буквенная символика и введены отрицательные числа.
Третий: В самом начале XIII века в «Книге абака» Леонард Пизанский (Фибоначчи) (1170 - 1250 гг.) отрицательные числа трактует как долг. По всей Европе долгое время отрицательные числа называли «абсурдными» «ложными» и так далее. Только в XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа заняли свое «законное» место на числовой прямой.
Коль скоро речь идет о Пьере Ферма, то в этой связи уместно упомянуть его вклад в это дело. Его «Введение в изучение плоских и телесных мест» появилась около 1637 года, как и более известная «Геометрия» Рене Декарта (1596 – 1650 гг.), появившаяся в том же 1637 году. В частности Пьер Ферма в своей работе рассмотрел уравнения различных кривых второго порядка в прямоугольных координатах. Для упрощения вида уравнений он применял преобразования координат.
Четвертый: Позже Блез Паскаль (1623 – 1662 гг.) считал, что . «Ничто не может быть меньше чем ничто», такой была его позиция по отношению к отрицательным числам. Следовательно, такое мнение было широко распространено в 1637 году, когда Блез Паскаль был еще подростком. Возможно, Пьеру Ферма было важно наглядно показать всем, что отрицательное число - не «ничто»!
Полная и строгая теория отрицательных чисел создана только в XIX веке. Сегодня знак отрицательного числа и операция вычитания обозначаются одним и тем же символом, хотя это далеко не одно и то же. Так было не всегда.
Пятый: Итальянец Лука Пачоли (1445 – 1515 гг.) - крупнейший европейский алгебраист своего времени, изобретатель двойной бухгалтерии: «кредит» - доход, «дебит» - долг.
И сегодня, бухгалтером любого предприятия одновременно ведется два подсчета - дебит и кредит, их сравнение друг с другом позволяет наглядно оценивать эффективность работы предприятия.
Современная символика и многое другое в средневековой математике не применялась. Она распространилась в «математическом обиходе» в XVII веке. У Луки Пачоли арифметическое действие «вычитание» обозначается одним буквенным символом, число меньше ноля (дебит) другим. И число больше ноля (кредит) обозначается символом, отличным от символа сложения. В своей «Сумме арифметики, геометрии и пропорциональности» он определяет правила знаков при арифметических действиях с числами с разными знаками.
Шестой: Среднее арифметическое между несколькими числами известно с античных времен. Я воспользуюсь известной особенностью среднего арифметического между двумя числами.
Седьмой: Во времена Пьера Ферма не существовало понятия модульной или абсолютной величины. Использование абсолютных или модульных значений в математической практике предложил английский философ и математик Роджер Котс (1682 – 1716 гг.).
Я буду оперировать длинами отрезков координатной оси. Это позволит остаться в «поле» средневековой математики времен Пьера Ферма и не применять неизвестное ему понятие абсолютной или модульной величины.
Восьмой: Алгебры в современном виде не было. Арифметика была ближе и доступнее для человека времен Пьера Ферма. Современную им алгебру знали и занимались ею только люди науки, а не все грамотные люди.
Пьер Ферма стремился доказать истинность следующего утверждения: для целых чисел и равенство невозможно. Такая постановка задачи не противоречит словам средневекового ученого, она больше соответствует реалиям средневековья. Только такие, понятные всем, суждения могли быть названы «чудесными».
Девятый; Наш современник, британец Эндрю Уайлс в конце прошлого века доказал правоту Пьера Ферма, сложно и не всем доступно. Другого признанного доказательства нет.
Десятый: Известное всем Пифагорово равенство доказано многократно самыми разными способами. Оно справедливо только для Пифагоровых троек, а не для любых, произвольно взятых троек натуральных чисел.
«Троек Ферма» не существует (см. факт девятый). Я строю свои суждения на уровне бытовой европейской математики времен Пьера Ферма исходя из единственного предположения: числа в «тройке Ферма» могут быть целыми и убеждаюсь в том, что оно ошибочно. Повторение моих суждений применительно к реально существующим Пифагоровым тройкам и полученные при этом противоречия не могут быть опровержением приведенных ниже суждений.
Каким могло быть «чудесное» доказательство? Может быть таким?:
Если допустить, что равенство существует для целых чисел и , то и - целые числа.
Умножаю обе части равенства на два. Тогда среднее арифметическое между двумя четными слагаемыми в правой части равенства будет целым числом:
На координатной оси ученый обозначил точки:
Это равенство длин половинок отрезка . (Надеюсь, что набросать карандашом на листочке бумаги простенький рисунок Вам не составит труда).
Пьер Ферма в 1637 году уже пользовался преобразованиями прямоугольной системы координат. Он произвел простое преобразование координат - перенес их начало в точку . (Внесите изменения в Ваш рисунок).
В современной форме записи равенство длин половинок рассматриваемого мной отрезка координатной оси в новых координатах выглядит так:
Средневековый математик первой половины XVII века был обязан записать это равенство несколько иначе. (Я применю только символы положительных и отрицательных чисел, все остальное - современная символика):
- знак числа больше ноля (кредит), - знак числа меньше ноля (дебит).
Положительное число не может быть равно отрицательному числу. Это равенство длин половинок рассматриваемого мной отрезка, как равенство дебита и кредита в двойной бухгалтерии Луки Пачоли. Позже, во времена Исаака Ньютона (1643 - 1727 гг.), говорили бы о равенстве абсолютных или модульных величин. Но в 1637 году о них их еще не знали.
Поступаю по правилам, установленным Лукой Пачоли, убираю средневековые обозначения и получаю:
Исходное равенство можно переписать в следующем виде:
Что такое корень любой натуральной степени из двух знает каждый старшеклассник. Знал это и Пьер Ферма.
Я не утверждаю, что ученый рассуждал именно так, я предполагаю, что он мог рассуждать подобным образом.
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
