Для тех, кто ЗНАЕТ интегральное исчисление!

spartacus

1. Вычислить интегралы.
2. К каждому интегралу написать формулу дифференцирования, однозначно соответствующую ему, как обратному процессу.
$a)\int2xdx;$

$b)\int\limits_{0}^{\sqrt{x^2+C}} 2tdt;$

$c)\int\limits_{0}^{x} xdt;$

$d)\int\limits_{0}^{x+\frac{C}{x}} xdt;$

$e)\int\limits_{0}^{x^2}dt;$

$f)\int\limits_{0}^{x^2+C}dt.$

Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать

Код: выделить все: <div style="text-align:center;">Обсудить теорию <a href="http://www.newtheory.ru/mathematics/dlya-teh-kto-znaet-integralnoe-ischislenie-t717.html">Для тех, кто ЗНАЕТ интегральное исчисление!</a> Вы можете на форуме "Новая Теория".</div>

che

$a)\int2xdx = \int d(x^2) = x^2 + Const$ по определению неопределенного интеграла

$b)\int\limits_{0}^{\sqrt{x^2+C}} 2tdt = \int\limits_{0}^{(\sqrt{x^2+C})^2}d(t^2) = x^2+C$ в соответствии с Вашей излюбленной теоремой о производной определенного интеграла по его пределу интегрирования.

$c)\int\limits_{0}^{x} xd =$ Здесь следует заметить, что х не может зависеть от t, т.к. зависимость предела интегрирования от переменной интегрирования -- нелепость. Тогда:
$= x\int\limits_{0}^{x} dt = x^2;$

$d)\int\limits_{0}^{x+\frac{C}{x}} xdt =$ Точно так же, как и "с)": $x(x +C/x) = x^2+C$

$e)\int\limits_{0}^{x^2}dt = x^2$

$f)\int\limits_{0}^{x^2+C}dt = x^2+C$

Заметим что в b)-f) "С" есть некая величина неопределенной автором формул природы, но не "постоянная интегрирования", как в a)

spartacus

Вот видите! Ведь умеете думать своими мозгами, а не мозгами составителей матанализа. Итак, в соответствии с ответами, приравниваем интегралы:

spartacus

che писал(а): $\int2xdx = x^2 + C=\int\limits_{0}^{\sqrt{x^2+C}} 2tdt=\int\limits_{0}^{x+\frac{C}{x}} xdt =\int\limits_{0}^{x^2+C}dt = x^2+C$
$\int\limits_{0}^{x} xdt =\int\limits_{0}^{x^2}dt=x^2$

, где C - константа

spartacus

Теперь вспомним, откуда взялась формула: $\int2xdx=x^2+C?$
Мне вспоминается только одно БЕЗДОКАЗАТЕЛЬНОЕ умозаключение:
Если $\frac{d(x^2+C)}{dx}=2x,$ а интегрирование - есть процесс, обратный дифференцированию, то, наверное: $\int2xdx=x^2+C!$ и ВСЁ!!!!! Вы вспомните что-нибудь ещё? Какие-нибудь другие доказательства, кроме одинакового угла наклона касательной?!

Сообщение было удалено | удалил: Алексей | 29 ноя 2010, 11:12.
Причина: Причина указана в предупреждении.

spartacus

НЕ ПОМНИТЕ! То-то и оно! "Обратность" - не доказательство, т.к. существует "строгая взаимообратность", т.е.
1. если $t=x+C$ ,
$\frac{dt}{dt}=\frac{d(x+C)}{d(x+C)}=1.$
$\int dt=\int\limits_{0}^{t}dt=t=\int d(x+C)=\int\limits_{0}^{x+C}d(x+C)=x+C=\int\limits_{0}^{x+C}dt$ .

2. Частный случай $t=x+C$ при C=0.

$\frac{dt}{dt}=\frac{dx}{dx}=1.$
$\int\limits_{0}^{t}dt=\int dx=\int\limits_{0}^{x}dx=x$ .

3. $\frac{dt}{d(t-C)}=\frac{dt}{dx}=\frac{d(x+C)}{dx}=\frac{dx}{dx}=1.$
$\int\limits_{0}^{t-C}dt=\int\limits_{0}^{x}dt=\int dx=x$ .

Ofegenia

Мне вспоминается только одно БЕЗДОКАЗАТЕЛЬНОЕ умозаключение

Интегрирование — есть процесс сопоставления функции её первообразной. Первообразная функции f — это такая функция F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F' = f. Так как производная любой функции вида x^2+C (где С - константа) равна 2x, то первообразной f=2x является любая такая функция. Что из этого бездоказательно?

spartacus

Да, да: Вы правы! Это ОНО и есть!
Во-первых, взгляните СЮДА! Если понимание смысла формул вызывает у Вас скуку или отвращение, то я объясню словами.
Берём самую определяющую выдержку из приведённого Вами определения:
Первообразная функции f — это такая функция F, производная которой (на всей области определения) равна f. То, что я выделил курсивом и есть КЛЮЧ!!!
Теперь у Вас есть выбор:
1. Или я показываю Вам истину на примере приведённой Вами функции $y=x^2+C$ , что будет чуть-чуть сложнее и потребует от Вас чуть большего умственного усилия.
2. Или - на примере функции $y=x+C$ , что гораздо проще, но это не Ваш пример, а мой, что может вызвать у Вас некое подозрение в претенциозности...
Итак, выбирайте!

Ofegenia

По большему счету мне все равно — если Вы считаете, что для f(x)=x+C объяснения будут проще — давайте рассмотрим этот пример.

PS: Интегрирование в смысле неопределенного интеграла — есть процесс сопоставления функции её первообразной. Определенный интеграл - не есть совокупность первообразных.

Для тех, кто ЗНАЕТ интегральное исчисление!

Для тех, кто ЗНАЕТ интегральное исчисление!

Для тех, кто ЗНАЕТ интегральное исчисление!

Re: Для тех, кто ЗНАЕТ интегральное исчисление!

Re: Для тех, кто ЗНАЕТ интегральное исчисление!

Re: Для тех, кто ЗНАЕТ интегральное исчисление!

Re: Для тех, кто ЗНАЕТ интегральное исчисление!

Re: Для тех, кто ЗНАЕТ интегральное исчисление!

Re: Для тех, кто ЗНАЕТ интегральное исчисление!

Re: Для тех, кто ЗНАЕТ интегральное исчисление!

Re: Для тех, кто ЗНАЕТ интегральное исчисление!

Кто сейчас на форуме