Теперь построим определитель Вронского для уравнения . Этот определитель играет важную роль при отыскании частного решения по заданным начальным. При x=0 мы получим матрицу дискретного распределения Фурье, или таблицу характеров или матрицу перехода из одного базиса к другому.
Для матрицы дискретного распределения Фурье определитель, по методу, Вандермонда будет рассчитан по формуле , так как корни из единицы связаны формулами Муавра и Эйлера.
Так как матрица Фурье получилась из определителя Вронского то переход из одного базиса к другому, является обобщением всех начальных условий. Или что за начальные условия можно взять корни уравнения n степени.
Возьмем в качестве начальных условий корни уравнений n степени. Используя дифференциальное уравнения найдем корни любого линейного уравнения n степени. Этот метод аналогичен методу касательных
Продолжая этот процесс, приходим к формуле Ньютона
которая дает возможность шаг за шагом вычислить все более точные значения корней уравнения .
Общее решение любого линейного уравнения является линейная комбинация
Для матрицы дискретного распределения Фурье
Если заданы начальные условия, то чтобы из общего решение получить частное решение надо решить систему уравнении относительно постоянных.
Если исходное уравнение имеет k то частные решения будут равны нулю.
Пример: Пусть , тогда
То, что матрица Фурье является матрицей перехода от одного базиса к другому, где корни из единицы коэффициенты векторов разложения одного базиса по другому и связь начальных условий с частными условиями и является достаточным условием для доказательства обобщения функции . Доказательством того что эта функция является объединением всех линейных уравнений, как дифференциальных так и обычных.
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
