Abstract: This article is devoted to the search for diophantine equations that can be used to obtain the unit.
Ключевые слова: степень; сумма чисел; диофантовы уравнения; гипотеза Каталана
Keywords: degree; sum of numbers; Diophantine equations; Catalan hypothesis
УДК 511
Введение. При поиске решений гипотезы Ферма, Била, часто при составлении уравнений не хватает 1, или она лишняя. Единица уникальная цифра, при любой степени 1^n равна единице. Но часто в уравнениях она становиться лишней, или без неё не обойтись, иначе уравнение не состоится.
9^3 + 10^3 = 1^3 +12^3.
Есть гипотеза Каталана, составленная в 1844 г. и доказанная в 2002г Предой Михэйлеску, что уравнение: 3^2 - 2^3 = 1 – имеет единственное решение.
Возникает вопрос, с помощью диофантовых уравнений другими способами можно ли получить единицу.
При написании работы опирался на следующие источники: [1]; [2]; [3]; [4]; [5]; [6]; [7]; [8]; [9]; [10]; [11].
Актуальность данной работы обусловлена тем, что применение таких уравнений, способствует развитию программирования и теории чисел.
Цель и задачи работы заключаются в том, чтобы найти диофантовы уравнения, которые приводят к получению единицы.
Научная новизна этой работы заключается в том, чтобы показать, что с помощью диофантовых уравнений можно получить единицу, как при возведении чисел в одну степень, так и при возведении чисел в разные степени.
Минимальное количество чисел, для получения с помощью диофантова уравнения единицы, при возведении в одну степень, начиная со степени 2, будет не менее трёх.
9^3 - 8^3 - 6^3 = 1
729 – 512 – 216 = 1
Так как гипотеза Каталана доказана, то следует, что единицу получить с помощью разных степеней можно из чисел, составляющих уравнение, не менее трёх.
При этом возникает вопрос, из всех – ли одинаковых степеней из трёх чисел можно получить единицу? Пример: 3^4 – 5*2^4 = 1. Какой допустимый разброс разных степеней при получении единицы из трёх чисел?
А ещё возникает вопрос, может – ли считаться решением гипотезы Ферма уравнение:
А^n + B^n = C^n
1^4 + 5*2^4 = 3^4
В соответствии с источником [3] диофантовы уравнения с коэффициентами у чисел регистрируются.
Возможно, найдены решения гипотезы Била:
А^x + B^y = C^z
4^4 + 2^8 = 2^9
256 + 256 = 512
8^3 + 2^9 = 2^10
512 + 512 = 1024
8^3 + 512*1^9 = 2^10
2 – простое число.
С коэффициентами:
3*1^4 + 5^3 = 2^7
2*2^6 + 2^7 = 2^8
Гипотеза Каталана [5] имеет единственное решение и это доказано: 3^2 - 2^3 = 1
А есть ещё решения:
2^2 – 3^1 =1
3^2 – 8^1 = 1
2^3 – 7^1 = 1
4^2 – 15^1 = 1 - таких решений много. Возможно, эти решения опровергают гипотезу Каталана?
2^1 – 1^0 = 1
2^1 - 98^0 = 1
10^1 – 3^2 =1
17^1 - 4^2 =1
Гипотеза Каталана не верна, так как имеет много решений, например, числа 101 и 100 записываем в степенях:
101^1 – 10^2 = 1
Доказательства явные и это факт.
Составление таких уравнений, привело к следующему результату:
9^2 + 4^2 + 2^2 – 10^2 = 1
81 + 16 + 4 – 100 = 1
2^4 – (8^2 - 7^2) = 1
16 – (64 – 49) = 1
9^2 - 4^2 - 4^3 = 1
81 – 16 – 64 = 1
5^2 – 4^2 – 2^3 = 1
25 – 16 – 8 = 1
2^3 - (4^2 - 3^2) =1
8 - (16 – 9) = 1
2^5 - 3^3 – 2^2 = 1
32 – 27 – 4 = 1
3^4 - 2^6 - 2^4 = 1
81 – 64 – 16 = 1
10^2 – 4^3 – 3^3 - 2^3 = 1
100 – 64 – 27 – 8 = 1
3^2 – (7^2 – 5^2 – 4^2) = 1
9 – (49 – 25 – 16) = 1
2^2 – (3^3 – 2^4 - 2^3) = 1
4 – (27 – 16 – 8) = 1
2^3+ 2^2 +2^4 - 3^3 = 1
8 + 4 + 16 – 27 = 1
(3^4 – 2^4) – (9^4 – 8^4 – 7^4) = 1
Методика составления таких уравнений заключается: из большего числа, после возведения в степень, отнимаем меньшее число, после возведения в степень.
Иногда таких операций надо проделать несколько, и некоторые из них требуется заключать в скобки. В некоторых случаях большее число требует увеличения. При составлении таких уравнений применяются две арифметические операции: операция сложения и операция вычитания.
Процедура довольно затратная и продолжительная. Таких уравнений много.
Попутно попробовал получить с помощью уравнений число 11. Получилось.
8^2 - 6^2 - 3^2 – 2^3 = 11
64 - 36 - 9 – 8 = 11
Заключение. Данная работа расширяет гипотезу Каталана. При увеличении членов диофантова уравнения, можно получить единицу, работая со степенями чисел.
Выводы. Данная работа расширяет теорию чисел, увеличивает возможности программирования, увеличивает возможности диофантовых уравнений.
Все уравнения равны единице, поэтому левые части этих уравнений можно приравнивать друг к другу, получая новые диофантовые уравнения.
Опровергнута гипотеза Каталана, что уравнение: 3^2 - 2^3 = 1 – имеет единственное решение.
Библиографический список:
1. Линейное диофантово уравнение и 4 способа его решения [электронный ресурс] URL: https://urok.1sept.ru/articles/501260 (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
2. 1710.0112v3.pdf [электронный ресурс] (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
3. euler.free.fr/database.txt [электронный ресурс] URL: http://euler.free.fr/database.txt (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
4. Диофантово уравнение — Википедия [электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Диофантово_уравнение (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
5. Гипотеза Каталана — Википедия [электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Каталана (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
6. Гипотеза Пиллаи — Википедия [электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Пиллаи (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
7. Пифагорова тройка — Википедия [электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Пифагорова_тройка (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
8. Пифагорова четвёрка — Википедия [электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Пифагорова_четвёрка (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
9. Fermat–Catalan conjecture – Wikipedia [электронный ресурс] URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat–Catalan_conjecture (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
10. Double Mersenne number – Wikipedia [электронный ресурс] URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Double_Me ... er#Catalan–Mersenne_number_conjecture (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
11. Aliquot sequence – Wikipedia [электронный ресурс] URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Aliquot_sequence#Catalan–Dickson_conjecture (Дата обращения: 07.04.2025 г.)
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
