Сходимость, пределы, полнота

СХОДИМОСТЬ, ПРЕДЕЛЫ, ПОЛНОТА.

Фактически любые вычисления – будь то суммы ряда, интеграла, в поисках собственных векторов какого-то неограниченного оператора, все мы, так или иначе, сталкиваемся с вопросами, вынесенными в заголовок. Но мало кто обращает внимание на то, что решение этих вопросов упирается в вопрос о топологии того пространства, в котором мы работаем.

Пример 1. Многие функции не интегрируемы не то что по-Риману, но и по-Лебегу. Однако они интегрируемы по –Стильтьесу. Положив, к примеру, d[g(x)] = exp(-x)d[x] мы резко расширяем класс интегрируемых на вещественной полуоси функций. Причина простая – сомножителем exp(-x) мы меняем естественную топологию вещественной оси в нужную для нас сторону.

Пример 2. Рассмотрим ряд: 1, -1, 1, -1,…. Чему равна его сумма? В стандартном понимании вопрос не имеет смысла. А если суммировать попарно? То получим 0. А если по тройке членов и начиная с какого-то номера? Можно получить и 1, и -1. Но если каждый n-тый член ряда умножить на exp(-an), где a какое-то положительное число, то ряд суммируется явно к сложной функции от а. Причина простая – мы изменили топологию вещественной оси и, как следствие, и целых чисел. И если в полученной функции параметр а устремить к нулю, то получим сумму ряда 1, -1, 1, -1,…. равной 1/2!

Пример 3. Казалось бы невозможным даже ставить вопрос о сходимости рядов, частные суммы которых ведут себя как S[n] = n*k (n в степени k), где k – какое-то целое число. Опять-таки заблуждение. Существует топология вещественных чисел (сложность формального ее выражения не позволяет мне ее тут представить), в которой для таких рядов выполняется критерий сходимости Коши. Но тогда возникает вопрос о существовании предела, а значит и вопрос о полноте вещественных чисел в этой топологии. Для расширенной оси вещественных чисел он разрешим. Предел существует, он один для всех подобных рядов.

И тогда возникает главный вопрос, ради которого эта заметка и была написана: какова топология того пространства, в ко-тором мы живем? Ведь наши «линейные» представления о нем не единственно возможные?

Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать

Код: выделить все

<div style="text-align:center;">Обсудить теорию <a href="http://www.newtheory.ru/mathematics/shodimost-predeli-polnota-t525.html">Сходимость, пределы, полнота</a> Вы можете на форуме "Новая Теория".</div>


какова топология того пространства, в ко-тором мы живем? Ведь наши «линейные» представления о нем не единственно возможные?

Для начала нужно ответить на вопрос как различать топологию реальную и топологию которая может быть теоретически.
Тот же вопрос для n-мерного пространства, и для многих теоретических результатов. Это вопрос реальности и теории. Всё ли существует в мире, что можно получить путём правильных расчётов, правильных формул, правильных логических выводов? Нет и нет. Какой тогда смысл в теориях вселенского масштаба, из которых нельзя вычленить маленькую практическую проблему и попробовать решить её.

Сергей. Ели придерживаться мысли Пуанкаре о познавательной сущности науки - "то, что она может постичь не суть вещи, как думают наивные догматики, а лишь отношения между вещами", то и физика, химия да и вообще любой раздел естествознания изучают отношения. А математика это и есть теория отношений, как умозрительных, так и тех, которые реализуются в природе. В этом плане каждому явлению в природе существует своя математическая модель. Найдем ли мы ее, нет - вопрос второй. Далее, математика изучает умозрительные миры. Имеют ли они отношение к реальности, нет - неведомо. Жизнь расставляет все по своим местам.

Всё вами сказанное правильно, но это общее место. Топология пространства есть отношение между чем и чем? Очень интересно.

Отношения между точками. Например, a-окрестностью точки x является все множество точек y таких, что |y - x| < a

Представьте себе такую картинку. Существует мир, в котором те же самые 1,2,3,... Но оказавшись в нашем мире они с удивлением обнаруживают, что их 1 соответствует нашей 10, а наша 100 отвечает их 2. И зеленый их человечек всего то ростом 100 не будет помещаться на нашей планете.

vem писал(а):каждому явлению в природе существует своя математическая модель

Я бы сказал: может быть сопоставлена хотя бы одна модель. Сущность Разума -- построение моделей. Да почему Разума: все живое пытается худо-бедно приспособиться к динамичному внешнему Миру, а единственный способ -- это построить модель, которая позволит прогнозировать. Самая простая -- завтра будет то же что и сегодня -- и не самая худшая! Но разуму порой удается и кое-что покруче. Пространство, топология, непрерывность -- все это блоки из которых строятся модели. Можно моделировать Реальность непрерывными, континуальными множествами, а дискретные, конечно-разностные методы рассматривать как приближенные. Но можно моделировать действительность как множество дискретное и при том конечное. А понятия непрерывности и бесконечности рассматривать как приближенные, позволяющие не перебирать все конечное, но о-о-о-очень большое множество, а после двух шагов сказать: "И т.д., до бесконечности."

Уважаемый che. Вы подняли вопрос, обсуждению которого пытаются избежать. Но не потому, что лень, а потому, что неразрешим. Простой пример. Как я могу узнать, является ли некоторое не целое число X иррациональным или рациональным? Нам говорят - возьмите его, для простоты, двоичное представление и проверьте, с какого разряда начинают периодически повторяться его комбинации из нулей и единиц. Если никогда - то иррациональное, если существует N-тый разряд, с которого начинаются повторения, то рациональное. Но в том то и дело, что это N может быть столь большим, что превышает возможности его обозреть. Поэтому непрерывность - философский абсолют

vem писал(а):Но в том то и дело, что это N может быть столь большим, что превышает возможности его обозреть

В том то и дело! Нафига загромождать сознание всякими абсоллютами от которых никакого толку: нельзя даже обозреть не то что использовать в деле. Всякие числа -- действительные-мнимые а также функции-операторы, группы-алгебры -- все это не самостоятельные сущности. Они существуют только постольку поскольку являются моделями явлений Реальности. А модель отображает моделируемое всегда приближенно...

Давно известен тезис Канта о синтетическом характере математических истин. А чего стоят обобщения на основе таких истин? Модели математические и мир, конечно полного совпадения быть не может. Но где грань допустимого, за которой химеры.
Но мы отвлеклись от вопроса заданного в первом сообщении

какова топология того пространства, в ко-тором мы живем?

Для начала выясним на основании чего можно судить о топологии пространства, кроме конечно математических моделей, которые не отличают реальность от химер. Можно ли судить о топологии пространства по форме объектов в пространстве? Может у кого есть ещё какие варианты определения топологии пространства в котором мы живём.