Annotation. This paper develops and presents algorithms for solving addition operations of different powers with the same base.
УДК 511
Введение. В учебной литературе нет операций сложения разных степеней с одинаковым основанием. Этот материал не изучается в школах и ВУЗах. Эта работа направлена на устранение этого пробела. В этой работе разработаны алгоритмы и выведены формулы для сложения степеней с одинаковым основанием и разными показателями.
В качестве опорных источников применили: [1]; [2]; [3],
Актуальность этой работы очевидна, так как разработанные новые алгоритмы и выведенные формулы для сложения степеней с одинаковыми основаниями и разными показателями позволят сократить время в вычислительных операциях на компьютере и развивать искусственный интеллект на более высоком уровне.
Цель работы найти алгоритмы и вывести формулы для сложения степеней с одинаковыми основаниями и разными показателями степеней.
Научная новизна заключается в том, что в настоящее время этот материал остаётся не изученным.
Вариант 1.
1. 2*2^n + 3*2^(n+1) = 2*2^(n+2)
2. 4*2^n + 3*2^(n+2) = 2*2^(n+3)
3. 8*2^n + 3*2^(n+3) = 2*2^(n+4)
4. 16*2^n + 3*2^(n+4) = 2*2^(n+5)
Вариант 2.
m = 2
m^1*2^n + 3*2^(n+1) = 2*2^(n+2)
m^2*2^n + 3*2^(n+2) = 2*2^(n+3)
m^3*2^n + 3*2^(n+3) = 2*2^(n+4)
m^4*2^n + 3*2^(n+4) = 2*2^(n+5)
Вариант 3.
2*2^n + 2^(n+1) = 2^(n+2)
4*2^n + 2^(n+2) = 2^(n+3)
8*2^n + 2^(n+3) = 2^(n+4)
16*2^n + 2^(n+4) = 2^(n+5)
Формула:
2^k*2^n + 3*2^(n+k) = 2*2^(n+(k+1))
Проверка: принимаем k = 7, n =3
Получаем:
2^7 * 2^n + 3*2^(n+7) = 2*2(n+(7+1))
2^7 * 2^3 + 3*2^(3+7) = 2*2(3+8))
128*8 + 3*1024 = 2*2^11
1024 + 3072 = 2*2048
4096 = 4096
2^k*2^n + 3*2^(n+k) = 2*2^(n+(k+1))
При любых натуральных k и n, кроме k и n = 0 равенство обеспечено.
Вариант 1.
5. 9*3^n + 3*3^(n+1) = 2*3^(n+2)
6. 27*3^n + 3*3^(n+2) = 2*3^(n+3)
7. 27*3^n + 2*3^(n+3) = 3^(n+4)
8. 81*3^n + 2*3^(n+4) = 3^(n+5)
Вариант 2.
3^2*3^n+3*3(n+1) = 2*3^(n+2)
3^3*3^n + 3*3^(n+2) = 2*3^(n+3)
3^3*3^n + 2*3^(n+3) = 3^(n+4)
3^4*3^n + 2*3^(n+4) = 3^(n+5)
Вариант 3.
3*3^n + 2*3^(n+1) = 3^(n+2)
6*3^n + 3^(n+1) = 3^(n+2)
18*3^n + 3^(n+2) = 3^(n+3)
54*3^n + 3^(n+3) = 3^(n+4)
162*3^n + 3^(n+4) = 3^(n+5)
Формула:
3^k*3^n + 2*3^(n+k) = 3^(n+k+1)
Проверка: k = 1 , n = 4
3^1*3^4 + 2*3^(4+1) = 3^(4+1+1)
3*81 + 2*243 = 729
243 + 486 = 729
729 = 729
Проверка: k = 4 , n = 5
3^k*3^n + 2*3^(n+k) = 3^(n+k+1)
3^4*3^5 + 2*3(5+4) = 3^(5+4+1)
81*243 + 2*19683 = 59049
19683 + 39366 = 59049
59049 = 59049
Вариант1.
9. 12*4^n + 5*4^(n+1) = 2*4(n+2)
10. 48*4^n + 4^(n+2) = 4^(n+3)
11. 192* 4^n + 4^(n+3) = 4^(n+4)
Вариант 2.
12*4^n + 4^(n+1) = 4^(n+2)
12*4*4^n + 4^(n+2) = 4^(n+3)
12*4^2*4^n +4^(n+3) = 4^(n+4)
Формула:
12*4^k*4^n+4^(n+k+1) = 4^(n+k+2)
Проверка: k =1, n = 2
12*4^1*4^2 +4^(2+1+1) = 4^(2+1+2)
768 + 256 = 1024
1024 = 1024
Проверка: k =3, n = 1
12*4^k*4^n+4^(n+k+1) = 4^(n+k+2)
12*4^3*4^1 + 4^(1+3+1) = 4^(1+3+2)
3072 + 1024 = 4096
4096 = 4096
Вариант 1.
9. 12*4^n + 5*4^(n+1) = 2*4(n+2)
10. 48*4^n + 4^(n+2) = 4^(n+3)
11. 192*4^n + 4^(n+3) = 4^(n+4)
Вариант 2.
12*4^n + 4^(n+1) = 4^(n+2)
12*4*4^n + 4^(n+2) = 4^(n+3)
12*4^2*4^n + 4^(n+3) = 4^(n+4)
Вариант3.
12*4^n +5*4^(n+1) = 2*4(n+2)
3*4^k*4^n +5*4^(n+k) = 2*4(n+k+1)
Формула:
12*4^k*4^n+4^(n+k+1) = 4^(n+k+2)
Проверка: k =1, n = 2
12*4^1*4^2 +4^(2+1+1) = 4^(2+1+2)
768 + 256 = 1024
1024 = 1024
Проверка: k =3, n = 1
12*4^k*4^n+4^(n+k+1) = 4^(n+k+2)
12*4^3*4^1 + 4^(1+3+1) = 4^(1+3+2)
3072 + 1024 = 4096
4096 = 4096
Формула:
3*4^k*4^n +5*4^(n+k) = 2*4(n+k+1)
Проверка k = 2, n = 2
3*4^2*4^2 +5*4^(2+2) = 2*4(2+2+1)
768 + 1280 = 2048
2048 = 2048
Вариант 1.
12. 20*5^n +5^(n+1) = 5^(n+2)
13. 100*5^n +5^(n+2) = 5^(n+3)
14. 500*5^n+ 5^(n+3) = 5^(n +4)
Формула:
4*5^k * 5^n + 5^(n+k) = 5^(n+k+1)
Вариант 1.
15. 30*6^n + 6^(n+1) = 6^(n+2)
16. 180*6^n + 6^(n+2) = 6^(n+3)
17. 1080*6^n + 6^(n+3) = 6^(n+4)
Формула:
5*6^k*6^n + 6^(n+k) = 6^(n+k+1)
18. 42*7^n +7^(n+1) = 7^(n+2)
19. 294*7^n + 7^(n+2) = 7^(n+3)
Формула:
6*7^k*7^n + 7^(n +k) = 7^(n+k+1)
20. 56*8^n +8^(n+1) = 8^(n+2)
21. 448*8^n +8^(n+2) = 8^(n+3)
Формула:
7*8^k*8^n +8^(n+k) = 8^(n+k +1)
22. 72*9^n + 9^(n+1) = 9^(n+2)
23. 648*9^n + 9^(n+2) = 9^(n+3)
Формула:
8*9^k*9^n + 9^(n+k) = 9^(n+k +1)
24. 90*10^n +10^(n+1) = 10^(n+2)
25. 900*10^n +10^(n+2) = 10^(n+3)
Формула:
9*10^k*10^n + 10^(n+k) = 10^(n+k+1)
Научная новизна заключается в том, что в настоящее время этот материал остаётся не изученным.
A^x + A^y = A^z – надо получить результат в сложении степеней с одинаковыми основаниями и разными показателями степеней. Основание степени больше 1.
Зная только A^x + A^y – очень проблематично найти ответ, то - есть показатель степени z.
Для этого выведем формулу. A^n + A^(n+k) неравно A^(n+k+1)
Для равенства этого выражения нужен коэффициент, который, запишем перед первым слагаемым степеней: (А - 1)*А^k
Формулы сложения степеней с общим основанием выглядят так:
(А - 1)*А^k*A^n + A^(n+k) = A^(n+k+1)
Для проверки подставляем любые целые натуральные числа, при А больше 1.
Проверка:
А= 9, n = 3, k = 5
(9 – 1)*9^5*9^3 + 9^(3+5) = 9^(3+5+1)
8 * 59049*729 + 43046721 = 387 420 489
344373768+43046721 = 387 420 489
387420489 = 387 420 489
Проверка, принимаем: А= 5, n = 3, k = 6
(А - 1)*А^k*A^n + A^(n+k) = A^(n+k+1)
(5 -1)* 5^6*5^3 + 5^(3+6) = 5^(3+6+1)
4*15625*125 + 1 953125 = 9 765 625
7 812500 + 1 953125 = 9 765 625
9 765 625 = 9 765 625
Проверка. Принимаем: А = 2, n = 2, k = 2
(А - 1)*А^k*A^n + A^(n+k) = A^(n+k+1)
(2 – 1)*2^2*2^2 + 2^(2+2) = 2^(2+2+1)
1*4*4 + 16 = 32
16+16 = 32
26. 2^n + 2^(n+1) = 3*2^n
27. 3^n + 3^(n+1) = 4*3^n
28. 4^n + 4^(n+1) = 5*4^n
29. 5^n + 5^(n+1) = 6*5^n
30. 6^n + 6^(n+1) = 7*6^n
31. 7^n + 7^(n+1) = 8*7^n
32. 8^n + 8^(n+1) = 9*8^n
33. 9^n + 9^(n+1) =10*9^n
34. 10^n+10^(n+1) =11*10^n
35. 11^n+11^(n+1) = 12*11^n, и т.д.
36. 2^n +2^(n+2) =5*2^n = (2^2+1)* 2^n
37. 3^n +3^(n+2) =10*3^n = (3^2+1)*3^n
38. 4^n +4^(n+2) =17*4^n = (4^2+1)*4^n
39. 5^n +5^(n+2) =26*5^n = (5^2+1)*5^n
40. 6^n +6^(n+2) =37*6^n = (6^2+1)*6^n
41. 7^n +7^(n+2) =50*7^n = (7^2+1)*7^n
42. 8^n +8^(n+2) =65*8^n = (8^2+1)*8^n
43. 9^n +9^(n+2) =82*9^n = (9^2+1)*9^n
44. 10^n +10^(n+2) =101*10^n = (10^2+1)*10^n
45. 11^n +11^(n+2) =121*11^n = (11^2+1)*11^n, и т.д.
46. 19^n +19^(n+2) =36*19^n = (19^2+1)*19^n, и т.д.
47. 2^n +2^(n+3) = 9*2^n = (2^3+1)*2^n
48. 3^n +3^(n+3) = 28*3^n = (3^3+1)*3^n
49. 4^n +4^(n+3) = 65*4^n = (4^3+1)*4^n
50. 5^n +5^(n+3) = 126*5^n = (5^3+1)*5^n
51. 6^n +6^(n+3) = 217*6^n = (6^3+1)*6^n
52. 7^n +7^(n+3) = 344*7^n = (7^3+1)*7^n
53. 8^n +8^(n+3) = 513*8^n = (8^3+1)*8^n
54. 9^n +9^(n+3) = 730*9^n = (9^3+1)*9^n
55. 10^n +10^(n+3) = 1001*10^n = (10^3+1)*10^n, и т.д.
56. 2^n + 2^(n+4) = (2^4+1)*2^n
57. 3^n +3^(n+4) = (3^4+1)*3^n
58. 4^n +4^(n+4) = (4^4+1)*4^n, и т.д.
59. 2^n + 2^(n+5) = (2^5+1)*2^n
60. 3^n +3^(n+5) = (3^5+1)*3^n
61. 4^n +4^(n+5) = (4^5+1)*4^n, и т.д.
52. 2^n + 2^(n+6) = (2^6+1)*2^n
63. 3^n +3^(n+6) = (3^6+1)*3^n
64. 4^n +4^(n+6) = (4^6+1)*4^n, и т.д.
Так можно дальше продолжать:
65. 2^n + 2^(n+9) = (2^9+1)*2^n
Формула:
А^n + А^(n+2) = (А^2+1)*А^n
А^n + А^(n+3) = (А^3+1)*А^n
А^n + А^(n+4) = (А^4+1)*А^n
А^n + А^(n+5) = (А^5+1)*А^n
2^1+2^3 = 5*2^1
2 + 8 = 10
2^2+2^4 = 5*2^2
4 + 16 = 20
2^3 + 2^5 = 5*2^3
8 + 32 = 40
2^n + 2^(n+2) = 5*2^n
2^4 + 2^5 = 3*2^4
2^5 + 2^6 = 3*2^5
2^6 + 2^7 = 3*2^6
2^7 + 2^8 = 3*2^7
2^8 + 2^9 = 3*2^8
2^9 + 2^10 = 3*2^9
2^10 + 2^11 = 3*2^10
-----------------------------
2^n + 2^(n+1) = 3*2^n
3^1 + 3^3 = 10*3^1
3 + 27 = 30
3^2 + 3^4 = 10*3^2
9 + 81 = 90
------------------------
3^n + 3^(n+2) = 10*3^n
3^3 + 3^4 = 4*3^3
3^4 + 3^5 = 4*3^4
3^5 + 3^6 = 4*3^5
3^6 + 3^7 = 4*3^7
3^7 + 3^8 = 4*3^7
3^8 + 3^9 = 4*3^8
3^9 + 3^10 = 4*3^9
3^10 + 3^11 = 4*3^10
-----------------------------
3^n + 3^(n+1) = 4*3^n
4^1 + 4^3 = 17*4^1
4 + 64 = 68
4^2 + 4^4 = 17*4^2
16 + 256 = 272
-------------------------------
4^n + 4^(n+2) = 17*4^n
5^1 + 5^3 = 26*5^1
5 + 125 = 130
5^2 + 5^4 = 26*5^2
25 + 625 = 650
-------------------------------
5^n + 5^(n+2) = 26*5^n
6^1 + 6^3 = 37*6^1
6 + 216 = 222
6^2 + 6^4 = 37*6^2
36 + 1296 = 1332
-------------------------------
6^n + 6^(n+2) = 37*6^n
7^1 + 7^3 = 50*7^1
7 + 343 = 350
7^2 + 7^4 = 50*7^2
49 + 2401 = 2450
-------------------------------
7^n + 7^(n+2) = 50*7^n
8^1 + 8^3 = 65*8^1
8 + 512 = 520
8^2 + 8^4 = 65*8^2
64 + 4096 = 4160
-------------------------------
8^n + 8^(n+2) = 65*8^n
9^1 + 9^3 = 82*9^1
9 + 729 = 738
9^2 + 9^4 = 82*9^2
81 + 6561 = 6642
-------------------------------
9^n + 9^(n+2) = 82*9^n
10^1 + 10^3 = 101*10^1
10 + 1000 = 1010
10^2 + 10^4 = 101*10^2
100 + 10000 = 10100
-------------------------------
10^n + 10^(n+2) = 101*10^n
11^1 + 11^3 = 122*11^1
11 + 1331 = 1342
11^2 + 11^4 = 122*11^2
121 + 14641 = 14762
-------------------------------
11^n + 11^(n+2) = 122*11^n
19^1 + 19^3 = 362*19^1
19 + 6859 = 6878
19^2 + 19^4 = 362*19^2
361 + 130321 = 130682
-----------------------------------
19^n + 19^(n+2) = 362*19^n
2^1+2^4 = 9*2^1
2 + 16 = 18
2^2+2^5 = 9*2^2
4 + 32 = 36
------------------------------
2^n + 2^(n+3) = 9*2^n
3^1 + 3^4 = 28*3^1
3 + 81 = 84
3^2 + 3^5 = 28*3^2
9 + 243 = 252
--------------------------
3^n + 3^(n+3) = 28*3^n
4^1 + 4^4 = 65*4^1
4 + 256 = 260
4^2 + 4^5 = 65*4^2
16 + 1024 = 1040
-------------------------------
4^n + 4^(n+3) = 65*4^n
5^1 + 5^4 = 126*5^1
5 + 625 = 630
5^2 + 5^5 = 126*5^2
25 + 3125 = 3150
-------------------------------
5^n + 5^(n+3) = 126*5^n
6^1 + 6^4 = 217*6^1
6 + 1296 = 1302
6^2 + 6^5 = 217*6^2
36 + 7776 = 7812
-------------------------------
6^n + 6^(n+3) = 217*6^n
7^1 + 7^4 = 344*7^1
7 + 2401 = 2408
7^2 + 7^5 = 344*7^2
49 + 16807 = 16856
-------------------------------
7^n + 7^(n+3) = 344*7^n
8^1 + 8^4 = 513*8^1
8 + 4096 = 4104
8^2 + 8^5 = 513*8^2
64 + 32768 = 32832
-------------------------------
8^n + 8^(n+3) = 513*8^n
9^1 + 9^4 = 730*9^1
9 + 6561 = 6570
9^2 + 9^5 = 730*9^2
81 + 59049 = 59130
-------------------------------
9^n + 9^(n+3) = 730*9^n
10^1 + 10^4 = 1001*10^1
10 + 10000 = 10010
10^2 + 10^5 = 1001*10^2
100 + 100000 = 100100
-------------------------------
10^n + 10^(n+3) = 1001*10^n
Заключение. В этой работе разработаны алгоритмы и выведены формулы сложения степеней с одинаковым основанием и разными показателями степени. Данная работа позволит сократить время на вычисление. Знакомство с этой работой расширит кругозор программистов и даст стимул к новым разработкам.
Выводы. Успех в прогрессе научно-технического развития и искусственного интеллекта в первую очередь зависит от скорого внедрения новейших разработок, которые позволяют выиграть время, что очень важно в настоящее время для нашей страны. Второй аспект заключается во внедрении в разных областях науки.
В этой работе приведены обобщающие формулы и проверочные расчёты. Данная работа может использоваться в учебном процессе.
Библиографический список.
1. При Сложении Степени Что Делают С Разными Степенями [Электронный ресурс] – URL:
https://zigzag-24.ru/blog/pri-slozhenii ... ndex.ru%2F / (дата обращения: 28.06.2026)
2. Когда числа складываются что происходит со степенями [Электронный ресурс] – URL:
https://tul.se-pro.ru/articles/kogda-ch ... nyami.html / (дата обращения: 28.06.2026)
3. Суммирование степеней чисел натурального ряда с помощью арифметических прогрессий с переменными разностями [Электронный ресурс] – URL:
https://cyberleninka.ru/article/n/summi ... ami/viewer / (дата обращения: 28.06.2026)
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
