Аннотация. В этой работе рассматривается альтернативное возведение числа во вторую степень.
Annotation. This paper examines an alternative method of raising a number to the second power.
Ключевые слова: основание; показатель степени; возведение в степень; алгоритм
Keywords: base; exponent; exponentiation; algorithm
УДК 511
Введение. Возведение числа во вторую степень: а^2 = а*а, где а – основание степени, 2 – показатель степени, показывает, сколько раз основание степени берётся в качестве множителя.
Это классический вариант возведения во вторую степень. В этой работе предлагается альтернативный метод возведения во вторую степень. В нем используется больше арифметических операций, но они настолько просты, что позволяют производить возведение во вторую степень при устном счёте. В работе опирался на следующие источники: [1];[2];[3].
Актуальность данной работы заключается в том, что позволяет шифровать операции возведения во вторую степень, что не даёт возможности считать информацию ИИ - искусственному интеллекту, или имитатору разума.
Цель работы, заключается в том, чтобы создать альтернативный метод возведения во вторую степень.
Научная новизна, альтернативного метода заключается в том, что используя цифры основания степени, с помощью алгоритмов получить тождественный результат классическому методу возведения числа во вторую степень.
Предложенный альтернативный метод обогащает теорию чисел.
Возводим в квадрат двузначные числа второго десятка:
11^2 = 121 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 1^2 = 1), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 2, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 1*2 = 2 ), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 1^2 = 1)
Получаем: 11^2 = 121.
12^2 = 144 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 1^2 = 1), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 2, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 2*2 = 4 ), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 2^2 = 4)
Получаем: 12^2 = 144.
13^2 = 169 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 1^2 = 1), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 2, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 3*2 = 6 ), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 3^2 = 9)
Получаем: 13^2 = 169.
14^2 = 196 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 1^2 = 1), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 2, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 4*2 = 8 ), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 4^2 = 16; 4*2 = 8, 8 + 1= 9)
Получаем: 14^2 = 1-(8+1) -6 = 196.
15^2 = 225 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 1^2 = 1), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 2, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 5*2 = 10; 1 + 1 = 2 ), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 5^2 = 25; 5*2 = 10, 0 + 2 = 2)
Получаем: 15^2 = (1 + 1 = 2) – (0 + 2 = 2) - 5 = 225.
16^2 = 256 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 1^2 = 1), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 2, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 6*2 = 12; 1 + 1 = 2 ), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 6^2 = 36; 6*2 = 12, 2 + 3 = 5)
Получаем: 16^2 = (1 + 1 = 2) – (2 + 3 = 5) - 6 = 256.
17^2 = 289 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 1^2 = 1), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 2, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 7*2 = 14; 1 + 1 = 2 ), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 7^2 = 49; 7*2 = 14, 4 + 4 = 8)
Получаем: 17^2 = (1 + 1 = 2) – (4 + 4 = 8) - 9 = 289.
18^2 = 324 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 1^2 = 1), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 2, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 8*2 = 16; 1 + 1 = 2 ), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 8^2 = 64; 8*2 = 16, 6 + 6 = 12)
Получаем: 18^2 = (1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3) – 2 - 4 = 324.
19^2 = 361--- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 1^2 = 1), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 2, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 9*2 = 18; 1 + 1 = 2 ), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 9^2 = 81; 9*2 = 18, 8 + 8 = 16)
Получаем: 19^2 = (1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3) – 6 - 1 = 361.
20^2 = 400 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 2^2 = 4), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 2, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 0*2 = 0;), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 0^2 = 0; )
Получаем: 20^2 = 400.
На третьем десятке алгоритм меняется:
21^2 = 441 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 2^2 = 4), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 4, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 1*4 = 4;), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 1^2 = 1; )
Получаем: 21^2 = 441.
22^2 = 484 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 2^2 = 4), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 4, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 2*4 = 8;), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 2^2 = 4; )
Получаем: 22^2 = 484.
23^2 = 529 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 2^2 = 4), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 4, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 3*4 = 12; 4 + 1 = 5), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 3^2 = 9; )
Получаем: 23^2 = (4 +1 = 5) – 2 – 9 = 529.
24^2 = 576 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 2^2 = 4), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 4, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 4*4 = 16; 4 + 1 = 5), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 4^2 = 16; 6 + 1 = 7)
Получаем: 24^2 = (4 + 1 = 5) – (6 + 1= 7) - 6 = 576.
25^2 = 625 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 2^2 = 4), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 4, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 5*4 = 20; 4 + 2 = 6), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 5^2 = 25; 0 + 2 = 2)
Получаем: 25^2 = (4 + 2 = 6) – (0 + 2 = 2) - 5 = 625.
26^2 = 676 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 2^2 = 4), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 4, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 6*4 = 24; 4 + 2 = 6), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 6^2 = 36; 4 + 3 = 7)
Получаем: 26^2 = (4 + 2 = 6) – (4 + 3 = 7) - 6 = 676.
27^2 = 729 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 2^2 = 4), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 4, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 7*4 = 28; 4 + 2 = 6), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 7^2 = 49; 8 + 4 = 12)
Получаем: 27^2 = (4 + 2 = 6; 6+1 = 7) – 2 - 9 = 729.
28^2 = 784 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 2^2 = 4), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 4, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 8*4 = 32; 4 + 3 = 7), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 8^2 = 64; 2 + 6 = 8)
Получаем: 28^2 = (4 + 3 = 7) – (2 + 6 = 8) – 4 = 784.
29^2 = 841 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 2^2 = 4), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 4, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 9*4 = 36; 4 + 3 = 7), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 9^2 = 81; 6 + 8 = 14)
Получаем: 29^2 = (4 + 3 = 7; 7+1 = 8) – 4– 1 = 841.
30^2 = 900 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 3^2 = 9), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 4, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 0*4 = 0;), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 0^2 = 0)
Получаем: 30^2 = 9 - 0 – 0 = 900.
На четвёртом десятке алгоритм меняется:
31^2 = 961 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 3^2 = 9), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 6, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 1*6 = 6;), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 1^2 = 1)
Получаем: 31^2 = 9 - 6 – 1 = 961.
На пятом десятке алгоритм меняется:
41^2 = 1681 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 4^2 = 16), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 8, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 1*8 = 8;), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 1^2 = 1)
Получаем: 41^2 = 16 - 8 – 1 = 1681.
На шестом десятке алгоритм меняется:
51^2 = 2601 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 5^2 = 25), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 10, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 1*10 = 10; 25 + 1 = 26), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 1^2 = 1)
Получаем: 51^2 = 26 - 0 – 1 = 2601.
На седьмом десятке алгоритм меняется:
61^2 = 3721 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 6^2 = 36), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 12, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 1*12 = 12; 36 + 1 = 37), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 1^2 = 1)
Получаем: 61^2 = 37 – 2 – 1 = 3721.
На восьмом десятке алгоритм меняется:
71^2 = 5041 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 7^2 = 49), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 14, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 1*14 = 14; 49 + 1 = 50), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 1^2 = 1)
Получаем: 71^2 = 50 – 4 – 1 = 5041.
На девятом десятке алгоритм меняется:
81^2 = 6561 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 8^2 = 64), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 16, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 1*16 = 16; 64+ 1 = 65), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 1^2 = 1)
Получаем: 81^2 = 65 – 6 – 1 = 6561.
На десятом десятке алгоритм меняется:
91^2 = 8281 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 9^2 = 81), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 18, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 1*18 = 18; 81+ 1 = 82), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 1^2 = 1)
Получаем: 91^2 = 82 – 8 – 1 = 8281.
На одиннадцатом десятке алгоритм меняется:
101^2 = 10201 --- шаг 1: (первые две цифры возводим в квадрат – записываем сотни: 10^2 = 100), шаг 2: (третью цифру умножаем на 20, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 1*20 = 20; 100 + 2 = 102), шаг 3: (третью цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 1^2 = 1)
Получаем: 101^2 = 102 – 0 – 1 = 10201.
На двенадцатом десятке алгоритм меняется:
111^2 = 12321 --- шаг 1: (первые две цифры возводим в квадрат – записываем сотни: 11^2 = 121), шаг 2: (третью цифру умножаем на 22, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 1*22 = 22; 121 + 2 = 123), шаг 3: (третью цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 1^2 = 1)
Получаем: 111^2 = 123– 2 – 1 = 12321.
Заключение. Альтернативный метод возведения в квадрат работает надёжно, при этом имеет простой переходящий алгоритм, выбор которого создаст проблему, ИИ, так называемому искусственному интеллекту или имитатору разума. Приведём два примера, в которых показаны, как изменяется алгоритм возведения в квадрат двух чисел:
Возводим в квадрат двузначные числа второго десятка:
11^2 = 121 --- шаг 1: (первую цифру возводим в квадрат – записываем сотни: 1^2 = 1), шаг 2: (вторую цифру умножаем на 2, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 1*2 = 2 ), шаг 3: (вторую цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 1^2 = 1)
Получаем: 11^2 = 121.
На одиннадцатом десятке алгоритм меняется:
101^2 = 10201 --- шаг 1: (первые две цифры возводим в квадрат – записываем сотни: 10^2 = 100), шаг 2: (третью цифру умножаем на 20, - записываем количество десятков или количество десятков и сотен, в этом случае сотни складываем с сотнями в предыдущем вычислении: 1*20 = 20; 100 + 2 = 102), шаг 3: (третью цифру возводим в квадрат, - записываем количество единиц или единиц и десятков, в этом случае количество десятков складываем с десятками в предыдущем вычислении: 1^2 = 1)
Получаем: 101^2 = 102 – 0 – 1 = 10201.
Эти примеры показывает, что при простейших вычислениях в программу ИИ требуется заложить огромный массив данных. Что затруднит его работу, или сделать её невыполнимой. Так как существуют технологические и Государственные тайны, и ИИ применяется не в благовидных целях, то альтернативный метод возведения в степень становиться актуальным.
Выводы. Альтернативный метод заключается в том, что используя цифры основания степени, с помощью алгоритмов, даёт возможность получить тождественный результат классическому методу возведения числа во вторую степень.
Библиографический список:
1.Возведение в степень — Википедия [Электронный ресурс] -URL:https://ru.wikipedia.org/wiki/Возведение_в_степень?ysclid=muds7rfpyf342799843/ (дата обращения: 23.09.2026)
2. При Сложении Степени Что Делают С Разными Степенями [Электронный ресурс] – URL:https://zigzag-24.ru/blog/pri-slozhenii-stepeni-chto-delayut-s-raznymi-stepenyami/?utm_referrer=https%3A%2F%2Fyandex.ru%2F / (дата обращения: 23.09.2026)
3. Метод возведения во вторую степень чисел. - Математика - Новая Теория [Электронный ресурс] URL:http://www.newtheory.ru/mathematics/metod-vozvedeniya-vo-vtoruu-stepen-chisel-t8073.html/(дата обращения: 14.10.2026)
14.10. 2026 г. А.Т. Дудин.
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
