Пример 2. Нахождение обратной матрицы комбинированным методом.
Дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) типа:
(1) A*X=D
, где A - известная матрица размером (nxn);
D - известная матрица-столбец размером (n);
X - неизвестная матрица-столбец размером (n).
Найдем обратную матрицу (K) к матрице (A):
(2) X=K*D.
Используя комбинированный метод, по начальному произвольному приближению (X) за конечное число шагов найдем математически точное значение элементов k(i,j) произвольной (i-й) строчки матрицы (K).
Для этого берём (n) произвольных начальных приближений x(i=1..n) элементов матрицы X и из (1) получаем (n) новых наборов коэффициентов d(i=1..n).
Подставляя эти значения в уравнение (2), находим значения коэффициентов k(i,j=1..n) любым стандартным методом решения (СЛАУ).
При этом в решении начальные приближения x(i=1..n) будут отсутствовать (сократятся).
Для остальных (i-х) строчек (i-е) коэффициенты k(i,j=1..n) искомой матрицы (K) найдутся аналогично.
Причём наборы начальных приближений x(i=1..n) можно использовать те же (коэффициенты d(i=1..n) также останутся прежними)
или задавать новые значения.
Достоинство данного метода: можно сразу найти любую неизвестную
x(i)=k(i,1)* d(1)+k(i,2)* d(2)+...+k(n)* d(n)
вне зависимости от остальных неизвестных x(p), где (p) не равно (i).
ЗАМЕЧАНИЕ.
С комбинированным методом мы все знакомы еще со школы, не подозревая об этом.
Это задача на деление отрезка пополам с помощью циркуля и линейки. Она начинается так: «Предположим, что искомое расстояние равно (R)» и делаем засечки циркулем…
Проделывая то же самое алгебраически, мы увидим, что в результате значение (R) выпадет.
Середа Владимир Петрович.
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
