Помимо прямого и итерационного метода численного решения прикладных математических задач предлагается комбинация итерационного и прямого метода, когда по начальному приближению за конечное число шагов находится математически точное решение.
Начальные приближения в окончательную формулу не войдут: по ходу решения они будут сокращены.
Метод иллюстрируется на примере решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), имеющей единственное решение.
Основание.
Рассматриваем каждое из уравнений СЛАУ как (n)-мерную гиперплоскость, имеющую следующее свойства:
1. Любая точка вектора, проведенного через две произвольные точки этой гиперплоскости, также принадлежит этой гиперплоскости;
2. Если СЛАУ имеет единственное решение, то (n) гиперплоскостей пересекаются в единственной точке – решении системы.
Алгоритм.
1. Берем (n+1) точку начального приближения.
2. Проводим через них (n) векторов до пересечения с 1-й гиперплоскостью (1-го уравнения). Получим (n) точек, принадлежащих 1-му уравнению. Требование: точки не должны совпадать друг с другом.
3. Далее через эти (n) точек проводим (n-1) вектор до 2-й гиперплоскости. Получим (n-1) точек, одновременно принадлежащих как 1-й так и 2-й гиперплоскости.
И так далее, пока не дойдем до последнего уравнения и не найдем одну точку, одновременно принадлежащую всем уравнениям СЛАУ. Это и будет искомое решение.
Особенности алгоритма.
1. На каждом шаге используются точки с предыдущего приближения и только одно из уравнений СЛАУ.
2. Каждое из уравнений рассматривается только один раз и в дальнейшем не используется.
3. Алгоритм не содержит обратных прогонок.
4. Решение не будет зависить от начального приближения (координаты точек начального приближения будут сокращены).
Середа Владимир Петрович.
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать