равенства к гипотезе Пиллаи
Abstract: Having conducted research on the Pillai conjecture, numerous equalities to the Pillai conjecture were found
Ключевые слова: гипотеза Пиллаи; равенства; уравнения; степень
Keywords: Pillai conjecture; equalities; equations; degree
УДК 511
Введение. В 1931 году Суббайей Пиллаи была сформулирована теоретико - числовая гипотеза, обобщающая гипотезу Каталана, которая оставалась не решённой на 2024 год.
Согласно гипотезы Пиллаи, при натуральных числах A,B,C уравнение:
Ax^m – By^n = C
имеет лишь конечное число решений ( x,y,m,n ) в натуральных числах при (m, n) не = (2,2) и m, n > 1.
Любое натуральное число C может быть представлено лишь конечным количеством разностей совершенных степеней.
В соответствии с гипотезой Пиллаи, (m, n) могут быть: (m, n) = (3, 2) или (m, n) = (2, 3), а так как ограничения, только одновременно на степени два (m, n) не = (2,2), то других ограничений на степени нет, то есть допускается: (m, n) = (3, 3); (m, n) = (4, 4); … (m, n) = (7, 7); … и т. д.
Почему ограничения на (m, n) не = (2,2), вероятно 3^2 – 2^2 = 9 – 4 = 5, получается готовое равенство из совершенных степеней и взаимно простых чисел, да и равенство Каталана начинается со степеней: 3^2 – 2^3 = 1, где (m, n) = (2, 3).
При написании статьи использованы следующие источники: [1];[2];[3].
Цель работы, подтвердить, что данная гипотеза имеет конечное число решений или опровергнуть и доказать, что данная гипотеза имеет бесконечное число решений.
Актуальность данной работы очень высока, так как гипотеза Каталана была доказана
Предой Михэйлеску в 2002 году, а эта гипотеза является обобщением гипотезы Каталана и в 2024 году она ещё оставалась не решённой проблемой.
Научная новизна заключается в том, чтобы найти решение данной проблемы.
Так как гипотеза Пиллаи является обобщённой гипотезой Каталана, то с гипотезы
Каталана и начнём.
Равенство Каталана:
3^2 – 2^3 = 1
9 – 8 = 1
Уравнение к гипотезе Пиллаи:
Ax^m – By^n = C
Равенства к гипотезе Пиллаи:
8*2^3 – 7*3^2 = 1
8*8 – 7*9 = 1
17*8 - 15*9 = 1
26*8 - 23*9 = 1
35*8 - 31*9 = 1
44*8 - 39*9 = 1
53*8 - 47*9 = 1
44*8 - 39*9 = 1
53*8 - 47*9 = 1
----------------------
953*8 - 847*9 =1
962*8 - 855*9 =1
---------------------
9071*8 - 8063*9 =1
17*9 - 19*8 = 1
33*9 - 37*8 = 1
49*9 - 55*8 = 1
65*9 - 73*8 = 1
81*9 - 91*8 = 1
97*9 - 109*8 = 1
113*9 - 127*8 = 1
129*9 - 145*8 = 1
----------------------
289*9 - 325*8 = 1
----------------------
1889*9 - 2125*8 = 1
Из источника [2] берём пары чисел совершенных степеней и находим их разности в соответствии с уравнением к гипотезе Пиллаи:
Ax^m – By^n = C
2^2 – 3^3
4 - 27
3*27 – 20*4 = 1
7*27 – 47*4 = 1
11*27 – 74*4 = 1
15*27 – 101*4 = 1
34*4 - 5*27 = 1
2^4 – 3^2
16 – 9
4*16 - 7*9 = 1
40*16 - 71*9 = 1
2^4 – 3^3
4^2 – 3^3
16 - 27
49*16 - 29*27 = 1
832*16 - 493*27 = 1
7^2 – 2^4
49 – 16
17*49 – 52*16 = 1
289*49 – 885*16 = 1
5^2 – 2^5
25 – 32
9*25 - 7*32 = 1
105*25 – 82*32 = 1
201*25 – 157*32 = 1
18*32 - 23*25 = 1
43*32 – 55*25 = 1
3^3 – 2^5
27- 32
11*32 - 13*27 = 1
19*27 - 16*32 = 1
3^3 – 2^6
3^3 – 8^2
27 - 64
19*64 – 45*27 = 1
532*64 - 1261*27 = 1
2^5 – 7^2
32 - 49
17 *49 - 26*32 = 1
561*49 - 859*32 =1
7^2 - 2^5
49 - 64
17*49 - 13*64 = 1
849*49 - 650*64 = 1
2^6 – 9^2
8^2 – 3^4
2^6 – 3^4
64 – 81
19*64 – 15*81 = 1
1234*64 – 975*81 = 1
10^2 – 3^4
100 – 81
21*81 - 17*100 = 1
1721*81 - 1394*100 = 1
11^2 – 3^4
121 - 81
3*81 - 2*121 = 1
366*81 - 245*121 = 1
9^2 – 2^9
9^2 – 8^3
3^4 - 2^9
3^4 - 8^3
81 - 512
689*81 - 109*512 = 1
1201*81 - 190*512 = 1
53*512 - 335*81 = 1
Равенство Каталана и равенства к гипотезе Пиллаи в степенях (m, n) = (2,3) или (m, n) = (3,2), степени могут быть и другими, что расширяет количество равенств к гипотезе Пиллаи.
3^2 – 2^3 = 1
9 – 8 = 1
Возведём 9 и 8 соответственно: (m, n) = (2,3):
9^2 – 8^3
177*9^2 – 28*8^3 = 1
177*81 - 28*512 =1
689*81 - 109*512 = 1
53*8^3 – 335*9^2 = 1
53*512 - 335*81 = 1
При x = y =1; m = n = (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,7)… и т.д. будет бесчисленное множество равенств в соответствии с гипотезой Пиллаи:
20*1^3 – 19*1^3 = 1
200*1^4 – 199*1^4 = 1
2000*1^7 - 1999*1^7 = 1
100*1^9 - 99*1^9 = 1
3000*1^5 - 2999*1^5 = 1
При x = y =1, и m не равно n, - будет бесчисленное множество равенств в соответствии с гипотезой Пиллаи:
59*1^7 - 58*1^3 = 1
77*1^6 -76*1^4 = 1
Заключение. Проведя исследование гипотезы Пиллаи, убеждаемся, что равенств к гипотезе Пиллаи бесчисленное множество. В данном случае ограничивались С = 1, так как этот результат расширяет гипотезу Каталана.
Гипотеза Пиллаи предполагает С равному любому положительному числу, это ещё раз подтверждает, что равенств к гипотезе Пиллаи бесчисленное множество.
Выводы. Любое натуральное число C может быть представлено бесконечным количеством разностей совершенных степеней.
Гипотеза Пиллаи обобщает гипотезу Каталана, обогащает теорию чисел, гипотезу АBC и вносит вклад в диофантовы уравнения.
Библиографический список:
1. Гипотеза Пиллаи — Википедия [электронный ресурс]
https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипотеза_Пиллаи (Дата обращения: 14.05.2025 г.)
2. Совершенная степень — Википедия [электронный ресурс]
https://ru.wikipedia.org/wiki/Совершенная_степень (Дата обращения: 14.05.2025 г.)
3. Дудин А.Т. Получение единицы с помощью диофантовых уравнений и гипотеза Каталана [электронный ресурс] https://sci-article.ru/stat.php?i=1744880626 (Дата обращения: 14.05.2025 г.)
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
