, или
Отсюда можно составить квадратное уравнение: , положительным корнем которого будет . Отношения левой и правой частей пропорции выразятся следующим иррациональным числом:
,
Такое сечение отрезка на две неравные части Пифагор называл золотым делением и полагал, что данное отношение есть совершенная пропорция, которая выражается отношением тождества. На самом деле это не так, поскольку тождеством может быть только зеркальная симметрия относительно центральной точки фигуры, и таковой в случае деления отрезка на две части будет его сечение строго пополам, если от его центральной (нулевой) точки задать противоположные направления — влево и вправо. Такая точка фигуры, согласно современным взглядам на симметрию, называется особенной. «Точка (прямая, плоскость) фигуры (или ее части), — пишет Шубников, — называется особенной, если она совмещается с собою всеми операциями фигуры (или ее части). Особенные геометрические элементы существуют в фигурах в единственном числе» [ Шубников А. В. Об отнесении всех кристаллографических групп симметрии к группам трехмерным // «Кристалл», 1962, Т. 7, № 3, С. 491]. Центр круга, центр сферы, а также начало декартовой системы координат, заданной в изотропном и однородном пространстве — особенные точки. В современной теории симметрии существует несколько терминов, обозначающих фигуры с особенной точкой. Чаще всего их называют точечными фигурами, и о них мы более подробно скажем в другом месте.
В данном случае Пифагор имел дело с таким видом асимметрии, когда устанавливается отношение сходства между двумя иррациональными отношениями. Такие отношения не могут быть отношениями тождества в силу их иррациональности, ибо «точное» значение иррационального числа зависит от способа его вычисления. Поэтому иррациональные числа можно считать лишь сходными, задавая для этого отношения ту или иную степень точности. Можно сказать и так: золотое деление есть установление такого вида асимметрии между сторонами деления отрезка на две неравные части, когда на базе отношения сходства может быть построена некоторая частная симметрия этого отношения. В смысле данного определения еще Пифагор и его последователи применяли правило золотого деления для построения, по крайней мере, некоторых из пяти известных правильных многогранников — тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра — обладающих, по их мнению, совершенной симметрией. На самом же деле из трехмерных фигур совершенной (или абсолютной) симметрией обладает только сфера, а указанные тела, которые могут быть в нее вписаны как конечные фигуры — примеры частных симметрий, удовлетворяющих гармонии золотого деления.
Однако мы здесь ставим перед собой другую задачу: осветить проблему структурной гармонии и в ее ретроспективе и одновременно в ее генезисе. Такой методический подход помогает раскрыть принцип установления гармоничности целого в естественных природных системах и потому на иррациональность этих отношений обращать внимание мы не будем. Структурное развитие таких систем, подчиняясь соотношениям единой природы, есть, в сущности, последовательная смена структурных инвариантов, фиксирующих последовательный ряд гармоничных состояний природных систем, а в более широком смысле — количественно выражаемый закон квантовых состояний не только в микромире, но и на всех других уровнях природного мира. Таким образом, изучение метрической стороны гармонии, впервые предпринятое Пифагором, имеет своей предпосылкой такое расчленение целого на части, которое, предполагая различие этих частей, тем не менее, сохраняет их целостное единство. Все же те парные объекты, для которых типично одно лишь различие сущего (разные сущности), выпадают из поля зрения данного исследования как не удовлетворяющие принципу связности одним общим для них структурным инвариантом. В данном случае — золотым сечением, измеряемым числом Ф или обратным ему — 1/Ф. С другой же стороны, «чистое единство», свободное от каких либо внутренних противоречий, в гармонизации не нуждается, но оно при этом и не является живым, т. е. движущимся в пространстве и времени. Это вечно статичная, или замороженная структура, которая никогда не исчезает, но, значит, и не возникает. Рождение и проживание таких структур в черепных коробках некоторых математиков мы в расчет не берем.
Аристотель, будучи в большей степени исследователем природы, нежели любителем чистой мудрости (философом), отдает должное интуитивным озарениям пифагорейцев, давших, в сущности, решение проблемы измерения гармонии, которая «бывает и математической, и основанной на слуховом восприятии. В этих случаях знание того, что есть, основано на чувственном восприятии, а знание того, почему есть, — на математике» [Аристотель. «Вторая аналитика» I. 13. 79 а]. В таком контексте гармония в вещах имманентна «строю», или всеобщему порядку в «началах» мира. Она, следовательно, связана со структурными свойствами мира, выражающими логическую необходимость (логос) как меру удаленности от случайного (хаоса) и одновременно как меру, выражаемую через эти два начала. Другими словами, абсолютная симметрия, запрещающая какую бы то ни было асимметрию, — бессмысленна, она устраняет из мира движение и взаимодействие.
В этом смысле пифагорейцами был последовательно выдержан взгляд на природу вещей как на соразмерную конфигурацию качеств, по существу представляющих собой полюсы единого мира, отображенного в двухмерном пространстве состояний, который они, правда, ограничили лишь десятью парами категорий. Но здесь, во-первых, указывается на неизбежность возникновения гармонии как меры компромисса соединенных в целое внутренне поляризованного бытия посредством относительно устойчивого промежуточного их состояния. Во-вторых, в их учении о парных категориях изложена сущность общего понятия гармонии: она возможно лишь при наличии противоположностей, притом в каком-то определенном, а не случайном их сочетании. В-третьих, поскольку гармония есть единство противоположных начал, то должен существовать и закон, удовлетворяющий их единству, но не бескомпромиссной борьбы до полного уничтожения.
Сделав новый исторический шаг от эмпирического к теоретическому и далее — к абстрактному, преодолев барьер инструментализма, свойственный прикладной математике Междуречья и Древнего Египта, пифагорейцы дали импульс к развитию теоретического естествознания. Они побудили древнегреческую научную мысль не только праздно философствовать в тени смоковниц, а искать объективные начала мира и выражать их в числовой форме. Будучи уверенными в том, что мир основан на числовых отношениях, пифагорейцы, таким образом, впервые выдвинули тезис о неразрывной связи вещей и чисел, что сделало реальным возможность приложения математики к действительности, а в последующем и к практике. Как показал весь дальнейший ход развития науки, представители этой, в сущности, религиозной школы, погружаясь в абстрактные числовые отношения, на самом деле не удалялись от действительности, а, напротив, к ней приближались. Так, значительная часть «Начал» Евклида навеяна пифагорейцами и особенно велико их влияние в теории пропорций. Евклид, например, использует золотое деление для построения правильных пятиугольников, диагонали которых образуют пентаграмму — пятиугольную звезду.
Спустя много веков после времен Пифагора, Платона и Евклида, в 1202 г. вышло в свет сочинение «Liber abacci» (Книга об абаке) итальянского математика Леонардо из Пизы, известного больше под именем Фибоначчи. В этом сочинении Фибоначчи, решая задачу о размножении кроликов, получает следующую числовую последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…, которая при задается формулой: ,где — i-й член ряда. При этом отношение каждого последующего члена последовательности к предыдущему при возрастании i стремится к числу 1,618, т. е. к числу пифагорейского золотого деления. Следующим в исследовании данного ряда был И. Кеплер: он заметил, что отношение каждого предыдущего члена ряда к последующему при возрастании i стремится к обратной величине этого числа.
Ряд Фибоначчи стал служить гармоническим кодом, в котором каждое число, если его принять за единицу (целое), связано с другими числами последовательности единой математической закономерностью, выражающейся посредством одного и того же числа — инварианта. Такая система чисел с полным основанием может быть представлена как система отображения величин на основе принципа отношения, которое со временем стало называться гармоническим. Линейное увеличение или уменьшение этого ряда величин сохраняет их гармоническую пропорцию, и в соответствии с этой кодовой шкалой можно проводить количественные изменения частей какого-либо объекта, сохраняя его гармоническое единство как целого. Этот метод масштабирования и ранее широко применялся в зодчестве и ваянии, а после открытия Фибоначчи он, можно сказать, получил твердое математическое обоснование. С этой точки зрения, например, объект зодчества предстает для восприятия уже не в случайном и преходящем состоянии, а в устойчиво обрамленном идеей золотой пропорцией виде. То, что греческие ваятели и строители не только знали, но и применяли золотую пропорцию, доказывает найденный при раскопках Помпеи в мастерской скульптора мерный циркуль. Его длина 146 мм, а шарнир делит его на два плеча — 56 и 90 мм, отношение которых 56/90 = 0,62 близко к золотому сечению.
Далее было обнаружено, что применяемая в ботанике для описания видов винтового расположения листьев на побеге последовательность дробей 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, 21/55, 34/89…, во-первых, состоит из чисел ряда Фибоначчи; во-вторых, построена так, что числитель и знаменатель любой дроби ряда, начиная с третьей, равны сумме числителей и знаменателей двух предыдущих дробей; в-третьих, отношение числителя к знаменателю дроби стремится к пределу . Кроме того, было установлено, что применяемое описание спирального расположения семян в головках подсолнечника или чешуек в сосновых шишках последовательность дробей 1/1, 1/2, 2/3, 3/5/ 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 89/144… также, во-первых, составлена из чисел ряда Фибоначчи; во-вторых, построена так же, как и предыдущий ряд, только здесь знаменатель одной дроби равен числителю другой дроби, следующей непосредственно за нею; в-третьих, их отношение стремится к пределу 0,618… Причем 0,61803 = 1 – 0,38197 и 0,61803/ 0,38197 = 1/ 0,61803 = Ф.
Винтовое расположение листьев на побегах растений фактически обозначает последовательность, характеризующую винтовую ось, которая применяется в теории структурной симметрии для описания преобразования вдоль некоторого одномерного пространства (прямой) с одновременным поворотом вокруг этой прямой. Этот процесс переводит точки, лежащие на прямой, в точки, лежащие на равноугольной (или логарифмической) спирали, пересекающей под одним и тем же углом любую прямую, проходящую через точки данного направления. Поэтому эта кривая объединяет наряду с прямой и окружностью их важное свойство переходить в себя при непрерывной группе преобразований подобия.
Широко известное высказывание Якоба Бернулли о «чудесной спирали» — «Измененная, я воскресаю той же» — не что иное, как поэтический образ свойства винтовой симметрии. При этом прямую и окружность можно рассматривать как предельные случаи логарифмической спирали, которые получаются, если в комбинации — смещение вдоль оси плюс поворот — одно из этих движений оказывается равным нулю. С изумительным совершенством воспроизводят этот вид симметрии некоторые морские раковины. В них можно видеть не только непрерывную логарифмическую спираль, но и потенциально бесконечную последовательность итераций (шагов преобразования), следующих одна за другой.
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
