Законы самоиндукции и взаимной индукции рассмотрены в целом ряде фундаментальных работ по радиотехнике [1-3]. Однако, уточнение терминологии, используемой при этом, и систематизация самих законов пока не проведена. Такая систематизация важна по той причине, что эти законы взаимосвязаны, и рассматривать их по отдельности нельзя.
К законам самоиндукции следует отнести и законы, которые описывают реакцию таких радиотехнических элементов, как сопротивление, ёмкость и индуктивность при гальваническом их подключении к ним источников тока или напряжения. Эти законы являются основой теории электрических цепей. Результаты этой теории могут быть перенесены и на электродинамику материальных сред, т.к. такие среды могут быть представлены в виде эквивалентных схем с использованием таких элементов.
К самоиндукции следует отнести также тот случай, когда при наличии подключенного источника питания или накопленной в системе энергии могут меняться ее параметры. Такую самоиндукцию будем называть параметрической. В дальнейшем будем использовать такие понятия, как генератор тока и напряжения. Под идеальным генератором напряжения будем понимать такой источник, который обеспечивает на любой нагрузке заданное напряжение, внутреннее сопротивление у такого генератора равно нулю. Идеальных источников напряжения не бывает, но хорошим приближением такого источника является силовая сеть постоянного или переменного напряжения. Под идеальным генератором тока будем понимать такой источник, который обеспечивает в любой нагрузке заданный ток, внутреннее сопротивление у такого генератора равно бесконечности. Хорошим приближением такого генератора является генератор напряжения, который посредством дополнительного сопротивления большой величины, подключён к сопротивлению нагрузки, величина которого значительно меньше дополнительного сопротивления.
1. Резистивная самоиндукция
Резистивную самоиндукцию описывает закон Ома
который указывает на то, что при подключении к активному сопротивлению источника напряжения, ответной реакцией такого элемента будет установления в нём тока, пропорционального сопротивлению.
2. Ёмкостная самоиндукция
Если имеется емкость , и эта емкость заряжена до разности потенциалов , то заряд , накопленный в емкости, определяется соотношением:
Заряд , зависящий от величины ёмкости и от разности потенциалов на ней.
Когда речь идет об изменении заряда, определяемого соотношением (2.1), то его величина может изменяться путем изменения разности потенциалов при постоянной емкости, или изменением самой емкости при постоянной разности потенциалов, или и того и другого параметра одновременно.
Если величина емкости или разности потенциалов на ёмкости зависят от времени, то величина тока определяется соотношением:
Это выражение определяет закон ёмкостной самоиндукции. Из этого соотношения видно, что ток в цепи, содержащей ёмкость, можно получить двумя способами, изменяя напряжение на ёмкости при постоянном её значении или изменяя ёмкость при неизменном напряжении на ней, или производить изменение обоих параметров одновременно.
Для случая, когда емкость постоянна, получаем выражение для тока, текущего через неё:
В том случае, если изменяется емкость, и на ней поддерживается неизменное напряжение , имеем:
Этот случай относиться к параметрической электрической самоиндукции, поскольку наличие тока связано с изменением параметра, которым является ёмкость.
Рассмотрим следствия, вытекающие из соотношения (2.2).
Если к емкости подключить генератор постоянного тока , то напряжение на ней будет изменяться по закону:
Следовательно, емкость, подключенная к источнику постоянного тока, представляет для него активное сопротивление [4,5]
которое линейно зависит от времени.
Мощность, отдаваемая источником тока в этом случае, определяется соотношением:
Энергию, накопленную емкостью за время t, получим, проинтегрировав соотношение (2.6) по времени:
Подставляя сюда значение тока из соотношения (2.4), получаем зависимость величины накопленной в емкости энергии от текущего значения напряжения на ней:
будем поддерживать на емкости постоянное напряжение , а изменять саму ёмкость, тогда
Видно, что величина [4,5]
играет роль активного сопротивления. Этот результат тоже физически понятен, т.к. при увеличении емкости увеличивается накопленная в ней энергия, и таким образом, ёмкость отбирает у источника тока энергию, представляя для него активную нагрузку. Мощность, расходуемая при этом источником, определяется соотношением
Из соотношения (2.7) видно, что в зависимости от знака производной, расходуемая мощность может иметь разные знаки. Когда производная положительная, расходуемая источником мощность идёт на совершение внешней работы. Если производная отрицательная, то работу совершает ёмкость, отдавая свою энергию во внешние цепи.
Рассмотрим еще один процесс, который ранее к законам индукции не относили, однако, он подпадает под расширенное определение этого понятия. Если в изолированной ёмкости заряд, оставить неизменным, то напряжение на емкости можно изменять путем ее изменения. В этом случае будет выполняться соотношение:
где и - текущие значения, а и - начальные значения этих параметров, имеющие место при отключении от емкости источника питания.
Напряжение на емкости и энергия, накопленная в ней, будут при этом определяться соотношениями:
Данный процесс самоиндукции связан с изменением параметра, которым является ёмкость, и поэтому он подпадает под определение параметрической самоиндукции.
3. Индуктивная самоиндукция
Введем понятие потока индуктивной самоиндукции
Напряжение на индуктивности, равно производной потока самоиндукции от времени:
.
Рассмотрим случай, когда индуктивность постоянна, тогда
Обозначая , получаем
и проинтегрировав выражение (3.1) по времени, получим:
Таким образом, индуктивность, подключенная к источнику постоянного напряжения, представляет для него активное сопротивление [5,6]
которое уменьшается обратно пропорционально времени.
Мощность, расходуемая при этом источником питания, определится соотношением:
Эта мощность линейно зависит от времени. Проинтегрировав соотношение (3.4) по времени, получим энергию, накопленную в индуктивности
Подставив в выражение (3.5) значение напряжения из соотношения (3.2), получаем:
Эта энергия может быть возвращена из индуктивности во внешнюю цепь, если индуктивность отключить от источника питания и подключить к ней активное сопротивление.
Рассмотрим случай, когда ток , протекающий через индуктивность, постоянен, а сама индуктивность может изменяться. В этом случае получаем соотношение
Следовательно, величина [5,6]
играет роль активного сопротивления. Как и в случае электрического потока, активное сопротивление может быть (в зависимости от знака производной), как положительным, так и отрицательным. Это означает, что индуктивность может, как получать энергию извне, так и отдавать её во внешние цепи.
Если индуктивность закорочена, и выполнена из материала, не имеющего активного сопротивления, например из сверхпроводника, то действует закон сохранения потока и
Этот режим будем называть режимом замороженного тока. При этом выполняется соотношение:
где и - текущие значения соответствующих параметров.
В связи с тем, что ток в индуктивности, которая является параметром, может изменяться при ее изменении, такой процесс подпадает под определение параметрической самоиндукции. Энергия, накопленная в индуктивности, при этом будет определяться соотношением
.
4. Ёмкостная взаимная индукция
Взаимная индукция имеет место в двух или более ёмкостях, когда они связаны общими электрическими полями.
Возьмём два плоских конденсатора с одинаковым размером пластин, но с разным расстоянием между ними и вставим их друг в друга. Тогда электрические поля конденсатора с большим расстоянием между пластинами (первый конденсатор) будут пронизывать и конденсатор с меньшими размерами между ними (второй конденсатор). Если разность потенциалом между пластинами первого конденсатор составляет величину [/formula]{U_1}[/formula] , то напряженность поля между его пластинами буде равна
Но такая же напряженность поля будет и между пластинами второго конденсатора. Если расстояние между пластинами второго конденсатора равна , то разность потенциалов между его пластинами составит
Отношение потенциала второго конденсатора к потенциалу первого конденсатора и определяет коэффициент связи между конденсаторами
Заметим, что коэффициент связи всегда меньше единицы.
5. Индуктивная взаимная индукция
Взаимная индуктивность в двух или более индуктивностях имеет место в том случае, когда они связаны общими магнитными полями.
Если вблизи проводника или катушки с током расположить другой проводник или катушку, то часть магнитного потока первой катушки будет сцепляться со второй. Величина этого потока определяется геометрическими параметрами второй катушки, ее расположением относительно первой, а также магнитными свойствами окружающей среды. В этом выражении представляет ток в первом контуре, а коэффициент называется коэффициентом взаимной индукции или взаимной индуктивностью и по смыслу аналогичен индуктивности.
При изменении потока взаимной индукции во второй катушке будет наводиться ЭДС взаимной индукции
Если принять, что в первой катушке ток отсутствует, а протекает во второй, то вторая катушка создаст поток взаимной индукции связанный с ее током, и изменение этого потока будет наводить в первой катушке ЭДС
Взаимные индуктивности и всегда равны и в них можно
опустить индексы :
И законы взаимной индуктивной индукции приобретают вид:
Литература
1. С. Рамо, Дж. Уиннери. Поля и волны в современной радиотехнике. ОГИЗ: 1948, - 631 с.
2. С. Г. Калашников. Электричество, Москва, Физматлит, 2006.
3. И. С. Гоноровский. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Советское радио, 1977.
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
