Число Пи является математической константой отношения длины окружности к её радиусу. История числа Пи начинается с Древнего Египта. Невозможно представить развитие математики без числа Пи. В наше время число Пи используется во всех научных сферах и областях народного хозяйства. С использованием каждой математической константы облегчаются и упрощаются расчёты. Расширение математических констант, это новый математический инструмент, который позволит сократить время расчёта.
Введём в математику новые значения чисел Пи. Для чисел Пи в дальнейшем потребуются специальные таблицы. На примере правильных многоугольников покажем и докажем, что чисел Пи в математике должно быть много.
Возле правильного многоугольника можно вписать и описать окружность. Если сравнить отношения длин этих окружностей с периметром правильных многоугольников, то получим числа Пи, которые не зависят от размеров этих фигур. Если сравнить отношение площадей вписанных и описанных окружностей, к площадям правильных многоугольников, то получим числа Пи, которые не зависят от размеров этих фигур.
Числа Пи надо вводить и в объёмные фигуры, где шары, вписанные и описанные, внутри и около куба, цилиндра, разных конусов. Здесь так же отношения поверхностей или объёмов шаров и фигур остаются константами и не зависят от размеров. Подобного рода константы распространяются на все подобные геометрические фигуры, вписанные и описанные друг возле друга, независимо от их размеров, например: цилиндры, вписанные и описанные возле конусов или конуса, вписанные и описанные возле цилиндров. Подобие фигур и их соприкосновения с вписанными или описанными фигурами на этом не ограничивается, поэтому чисел Пи много, а определить их размеры и объёмы при переходе к другим размерам становиться очень просто. Числа Пи из отношения элементов вписанных и описанных фигур, при переносе их на подобные, всё эти приёмы упрощают расчёты в математике.
Расчёт чисел Пи ведём до шестого знака после запятой, здесь не нужна большая точность, важен принцип образования чисел Пи, для вписанных и описанных фигур.
Правильный треугольник.
а – сторона треугольника,
R – радиус, описанной окружности,
r – радиус, вписанной окружности,
P – периметр треугольника,
L – длина окружности
S (3) – площадь треугольника,
S (o) - площадь окружности,
Пи = 3,141593
Правильный треугольник, вписанный в окружность.
Находим периметр треугольника.
P = 3а = 3 R*3^1/2 = 5,196152 R
Находим длину окружности:
L = Пи *2*R
Находим Пи отношения длины описанной окружности к периметру треугольника:
Пи (о/3) = L / P = Пи *2* R / 5,196152 R = Пи *2 / 5,196152 = 1,20920
Пи (о/3) = 1,20920
Находим Пи отношения периметра треугольника к длине описанной окружности:
Пи (3/о) = P / L = 5,196152 R / Пи *2* R = 5,196152 / Пи *2 = 5,196152 / 3,141593*2 = 0,826993
Пи (3/о) = 0,826993
Находим Пи для отношений площади описанной окружности к площади треугольника.
S (o) = Пи* R^2
S (3) = R^2 *(3 *3^1/2) / 4 = 1,299038 R^2
Пи (пл.о/3) = Пи* R^2 / 1,299038 R^2 = 3,141593/1,299038 = 2,41840
Пи (пл.о/3) = 2,41840
Находим Пи для отношений площади треугольника к площади описанной окружности:
Пи (пл.3/о) = 1/ Пи (пл.о/3) = 1/ 2,41840 = 0,413497
Пи (пл.3/о) = 0,413497.
Окружность, вписанная в правильный треугольник.
Находим периметр треугольника через радиус вписанной окружности:
P = 3a = 3*2r *3^1/2 = 10,392305 r
Находим длину окружности:
L = Пи *2*r
Находим Пи отношения длины вписанной окружности к периметру треугольника:
Пи (в/3) = L / P = Пи *2* r / 10,392305 r = 3,141593*2* r / 10,392305 r = 0,60460
Пи (в/3) = 0,60460
Пи (3/в) = 1/Пи (в/3) = 1,653987
Пи (3/в) = 1,653987.
Правильный четырёхугольник.
а – сторона четырёхугольника,
R – радиус, описанной окружности,
r – радиус, вписанной окружности,
P – периметр четырёхугольника,
L – длина окружности
S (4) – площадь четырёхугольника,
S (o) - площадь окружности,
Пи = 3,141593
Правильный четырёхугольник, вписанный в окружность.
Находим периметр треугольника.
P = 4а = 4R*2^1/2 = 5,656854R
Находим длину окружности:
L = Пи *2*R
Находим Пи отношения длины описанной окружности к периметру четырёхугольника:
Пи (о/4) = L / P = Пи *2* R / 5,656854R = Пи *2 / 5,656854 = 3,141593*2 / 5,656854 = 1,110721
Пи (о/4) = 1,110721
Находим Пи отношения периметра треугольника к длине описанной окружности:
Пи (4/о) = P / L = 5,656854R / Пи *2* R = 1/ Пи (о/4) = 1/1,110721 = 0,900316
Пи (4/о) = 0,900316
Находим Пи для отношений площади описанной окружности к площади четырёхугольника.
S (o) = Пи* R^2
S (4) = 2R^2
Пи (пл.о/4) = Пи* R^2 / 2R^2 = 3,141593 / 2 = 1,570797
Пи (пл.о/4) = 1,570797
Находим Пи для отношений площади четырёхугольника к площади описанной окружности:
Пи (пл.4/о) = 1/ Пи (пл.о/4) = 1/1,570797 = 0,636620
Пи (пл.4/о) = 0,636620
Окружность, вписанная в правильный четырёхугольник.
Находим периметр четырёхугольника через радиус вписанной окружности:
P =4a = 4*2r = 8r
Находим длину окружности:
L = Пи *2*r
Находим Пи отношения длины вписанной окружности к периметру четырёхугольника:
Пи (в/4) = L / P = Пи *2* r / 8r = 3,141593*2* r / 8r = 0,785398
Пи (в/4) = 0,785398
Находим Пи отношения периметра четырёхугольника к длине вписанной окружности:
Пи (4/в) = 1/Пи (в/4) = 1,273239
Пи (4/в) = 1,273239
Находим Пи для отношений площади вписанной окружности к площади четырёхугольника.
S (в) = Пи* r^2
S (4) = 4r^2
Пи (пл.в/4) = Пи* r ^2 /4r^2 = 3,141593 / 4 = 0,785398
Пи (пл.в/4) = 0,785398
Находим Пи для отношений площади четырёхугольника к площади вписанной окружности:
Пи (пл.4/в) = 1/ Пи (пл.в/4) = 1/ 0,785398 = 1,273239
Пи (пл.4/в) = 1,273239
Правильный шестиугольник.
Р = 6а = 6R– длина периметра шестиугольника.
L (о) – длина описанной окружности.
L (о) = Пи *2 R
Пи (6/о) = Р / L (о) = 6R / Пи *2 R = 3 / Пи = 3 / 3,141593 = 0,954930
Пи(о/6) = 1/ Пи (6/о) = 1,047198
L (в) – длина вписанной окружности.
Р = 6а = 6*2r * (2^1/2 -1) = 4,970563r
L (в) = Пи 2 r
Пи (6/в) = Р / L (в) = 4,970563r / Пи 2 r = 0,791090
Пи (6/в) = 0,791090
Пи (в/6) = 1/ Пи (6/в) = 1/ 0,791090 = 1,264079
Пи (в/6) = 1,264079
Находим Пи из отношений площадей.
Находим Пи для отношений площади вписанной окружности к площади шестиугольника:
S(6) = r^2 *8 (2^1/2 -1) = 3,313708 r^2
S(в) = Пи* r^2
Пи (пл.в/6) = Пи* r^2 / 3,313708 r^2 = Пи / 3,313708 = 3,141593 / 3,313708 = 0,948060
Находим Пи для отношений площади шестиугольника к площади вписанной окружности:
Пи (пл.6/в) = 1 / Пи (пл.в/6) = 1,054786
Находим Пи для отношений площади описанной окружности к площади шестиугольника:
S(6) = R ^2 *2*2^1/2 = 2,828427 R ^2
S(в) = Пи* R ^2
Пи (пл.о/6) = Пи* R ^2 / 2,828427 R ^2 = Пи / 2,828427 = 3,141593 / 2,828427 = 1,110721
Находим Пи для отношений площади шестиугольника к площади описанной окружности:
Пи (пл.6/о) = 1 / Пи (пл.о/6) = 0,900316
Пи (пл.6/о) = 0,900316
Правильный восьмиугольник.
Пи = 3,141593
Находим Пи для правильного восьмиугольника и описанной окружности.
Р = 8а = 6,486343 R – длина периметра восьмиугольника.
L (о) – длина описанной окружности.
L (о) = Пи *2 R
Находим Пи из отношения периметра восьмиугольника и описанной окружности.
Пи (8/о) = Р / L (о) = 6,486343 R / Пи *2 R = 1,032333
Находим Пи из отношения описанной окружности и периметра восьмиугольника.
Пи (о/8) = 1/Пи(о) = 0,968680
Находим Пи для правильного восьмиугольника и вписанной окружности.
Р = 8а = 6,627417 r
L (в) – длина вписанной окружности.
L (в) = Пи 2 r
Находим Пи из отношения периметра восьмиугольника и вписанной окружности
Пи (8/в) = Р / L (в) = 6,627417 r / Пи *2 r = 1,054786
Пи (в/8) =1 / Пи(8/в) = 0,948060
Находим Пи из отношения вписанной окружности и периметра восьмиугольника
Пи (в/8) = 0,948060
Находим Пи из отношений площадей.
Пи = 3,141593
Находим площадь восьмиугольника через радиус вписанной окружности.
S = r^2 *8 (2^1/2 -1) = 3,313708 r^2
Находим Пи через отношение площади восьмиугольника к площади вписанной окружности:
Пи (пл.8/в) = 3,313708 r^2 / Пи * r^2 = 1,054786
Находим Пи через отношение площади вписанной окружности к площади
восьмиугольника:
Пи (пл.в/8) = 1/ Пи (пл.8/в) = 0,948060
Находим площадь правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:
S = R^2* 2*2^1/2 = 2,828427 R^2
Пи (пл.8/о) находим через отношение площади правильного восьмиугольника к площади описанной окружности:
Пи (пл.8/о) = 2,828427 R2 / Пи R^2 = 2,828427 / 3,141593 = 0,900316
Находим Пи через отношение площади описанной окружности к площади правильного восьмиугольника:
Пи (пл.о/8) = 1/ Пи (пл.8/о) = 1 / 0,900316 =1,110721
Выводы. Расширение математического инструмента через ввод новых констант Пи, позволит значительно упростить расчёт, как подобных фигур на плоскости, так и объёмных тел.
15.05.2018 г. А.Т. Дудин.
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
