Показано, что понятие «прямая» может быть определено через известные геометрические свойства окружности, которая вполне определена в основаниях геометрии. Обращено внимание, что определения сферы и окружности, принятые в современных курсах геометрии, содержат в себе не объявленное явным образом физическое предположение о существовании «идеального циркуля».
Показано, что методами коррекции и ввода поправок идеальный циркуль, а вместе с ним однородное изотропное евклидово пространство могут быть построены ВСЕГДА.
_
Большинство аксиом геометрии, как они изложены в современных учебниках, являются по существу неявными определениями точки, прямой и плоскости. Естественно, что при явном определении основных понятий прежние аксиомы становятся следствием этих определений.
Покажем, как можно доказать предложение, эквивалентное 5-му постулату Евклида:
Эквидистантная линия (ЭЛ), расположенная в одной плоскости с произвольной прямой, есть прямая и притом перпендикулярная перпендикуляру исходной прямой (ИП).
_
_
Для построения ЭЛ необходимо строить перпендикуляры к ИП (см. рис. 1) и циркулем откладывать на них заданное расстояние R, т.е., на каждом перпендикуляре строить окружность. ЭЛ не может содержать больше одной общей точки с этой окружностью, т.к., если бы она содержала ещё точку, то, проведя из неё на ИП перпендикуляр, мы получили бы, что длина полухорды, не проходящей через центр, равна длине радиуса (требование эквидистантности), что невозможно. Поэтому ЭЛ должна быть внешней касательной к этой окружности и, следовательно, она ортогональна к перпендикуляру ИП. Если мы попытаемся провести через любые три точки ЭЛ окружность, то убедимся, что это невозможно, т.к. центр искомой окружности должен находиться на пересечении прямых, ортогональных участкам ЭЛ, т.е. — на перпендикулярах к ИП, а эти перпендикуляры не пересекаются. Следовательно, ЭЛ даже на малом участке не может быть частью окружности конечного радиуса, а значит и вообще — какой-либо кривой. Единственным непротиворечивым вариантом остаётся, что ЭЛ — прямая, перпендикулярная перпендикуляру ИП и, следовательно, параллельная последней.
Благодаря свойству эквидистантности, мы можем доказать ряд других свойств расположения этих прямых, см. рис. 2.
_
_
Из равенства AC = BD (эквидистантность) и общего отрезка CD непосредственным совмещением получаем равенство треугольников ABC и DCB, а из него равенство накрест лежащих углов и равенство суммы внутренних (односторонних) углов двум прямым углам – формулировка 5-го постулата самим Евклидом.
Естественно, выполняются и другие равенства углов между секущей и параллельными линиями, в частности – равенство соответственных углов.
Как известно, из формулировки Евклида доказывается единственность прямой, параллельной ИП и проходящей через точку A.
Покажем единственность несколько другим способом, см. рис 3.
_
_
Предположим, что кроме ЭЛ существует ещё одна параллельная исходной прямой ИП – прямая AC′′. Проведём из C′′ на ЭЛ перпендикуляр C′′B′′. Из середины отрезка AB′′ проведём эквидистантную B′C′ отрезку C′′B′′ (она же – перпендикуляр к AB′′), а затем из точки C′ эквидистантную прямой ЭЛ прямую C′D′′.
Запишем: B′B′′ = AB′ по построению, C′D′′ = B′B′′ как следствие эквидистантности, угол B′AC′ равен углу D′′C′C′′ как соответственные. Отсюда следует равенство треугольников AB′C′ и C′D′′C′′ и равенство B′C′ = D′′C′′. Поскольку B′′D′′ = B′C′ (эквидистантность), то находим B′′C′′ = 2B′C′.
Последнее равенство можно было чисто интуитивно установить при первом взгляде на рис 3, однако про 5-й постулат столько наломано копий, что нам пришлось муторно доказывать то, что Евклиду казалось совсем очевидным: при продлении прямой ещё дальше вправо расстояние (d - B′′C′′) между AC′′ и ИП сокращается линейно c увеличением расстояния AB′′, пока не достигнет нуля – точки пересечения, т.е., AC′′ не параллельна ИП, и ЭЛ – единственная параллельная к ИП, проходящая через точку A.
_
То, что однородность и изотропность пространства неминуемо приводит к 5-му постулату Евклида, не является новостью, однако исторически сложилось, что длительное время, а во многих учебниках и сейчас, эта взаимосвязь остаётся в тени. Между тем исключение 5-го постулата из ОГ делает геометрию неопределённой. Ввод же предложений, альтернативных этому постулату, требует определения законов, по которым меняется метрика пространства. Формулируя эти законы, конструкторы неевклидовых геометрий неминуемо, явно или неявно, все изменения размеров циркуля отсчитывают от его первоначального раствора, т.е., используют понятия евклидовой геометрии. Поэтому Евклидова геометрия не просто одна из многих и даже не первая среди равных, а, в сущности, она является единственной основой всех геометрических построений, не теряющих, разумеется, своей полезности оттого, что могут быть сформулированы в рамках единой науки. Современные математики, собственно, и не скрывают, что под «прямой» в их пространствах может подразумеваться вовсе и не прямая, и они – эти пространства – искривлены по определению самым произвольным образом.
Что касается попыток определения кривизны реального пространства из астрономических наблюдений, то:
- базовые астрономические расстояния определены из условия равенства суммы углов треугольника двум прямым, поэтому трудно ожидать от этих наблюдений другого результата;
- если даже какими-то наблюдениями было бы обнаружено отклонение от вышеупомянутого равенства, то причину этого отклонения необходимо искать во влиянии физических факторов на инструментарий и способ измерения: кривизну траектории фотонов или других частиц, релятивистские изменения в веществе и т.п. При нахождении таких факторов ввод соответствующих поправок вернёт нас в евклидово пространство.
Не исключено, что у читателя могут появиться замечания к строгости приведённых доказательств, но тем и хорош метод рекурсии, что всегда можно вернуться к прежним доказательствам и высветить их более острым лучом новых знаний – важно лишь, чтобы эти доказательства не составляли замкнутого круга и, естественно, были не противоречивы. Можно смело утверждать, что метод рекурсии позволит не только доказать все аксиомы, но и улучшить доказательство других теорем, при этом нет никакой необходимости с самого начала “нагружать” малышей бессмысленными с их точки зрения абстрактными понятиями в угоду строгой иерархии.
_
___________________Рязанцев Виктор Иванович
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
