Формула определения количество простых чисел

Раил Зайнуллин

Количество простых чисел на интервале [1;2M] определяются формулой $\pi \left ( 2M \right )=M+\left ( n-1 \right )-\sum_{i=2}^{n}\left ( \frac{M}{P_{i}} \right )+\sum_{i=2}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\left ( \frac{M}{P_{i}P_{j}} \right )-\cdots +\left ( -1 \right )^{m}\sum_{k_{1}=i=2}^{n+1-m}\sum_{k_{2}=k_{1}+1}^{n+2-m}\cdots \sum_{k_{m-1}=k_{m-2}+1}^{n-1}\sum_{k_{m}=k_{m-1}+1}^{n}\left ( \frac{M}{\prod_{l=1}^{m}P_{k_{l}}} \right )$ где $P_{n}< \sqrt{2M}< P_{n+1}$ и начальный числовой ряд простых чисел задан до $\left ( n+1 \right )$ числа.
Таблица №1
$i == 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; \cdots k_{m}}; k_{m+1}; \cdots n ; n+1;$
$P_{i}= 3; 5; 7; 11; \cdots P_{k_{m}}}; P_{k_{m+1}}; \cdots P_{n}; P_{n+1};$
Значения k_{m} u m определяются из следующих неравенств и таблицы №1
$\frac{M}{3*5*7*11*\cdots *P_{k_{m}}}> 0.5$ ; u $\frac{M}{3*5*7*11*\cdots *P_{k_{m}}P_{k_{m+1}}}< 0.5$ ; и где $m=k_{m}-1$ . Значения в круглых скобках согласно правилу округления,округляются до целого значения и значения М принадлежит натуральному ряду цифр.

Добавлено спустя 2 дня 1 час 50 минут 11 секунд:
последняя сумма выглядит так- $\left ( -1 \right )^{m}\sum_{k_{1}=i=2}^{n+1-m}\sum_{k_{2}=k_{1}+1}^{n+2-m}\cdots \sum_{k_{m-1}=k_{m-2}+1}^{n-1}\sum_{k_{m}=k_{m-1}+1}^{n}\left ( \frac{M}{\prod_{l=1}^{m}P_{k_{l}}} \right )$

Добавлено спустя 6 дней 16 часов 23 минуты 19 секунд:
Пример определения количества простых чисел на интервале [1;288]. $2M=288;M=144; P_{n}=P_{6}=13< \sqrt{288}< 17=P_{7}=P_{n+1};\frac{144}{3*5*7*}> 0.5;\frac{M}{3*5*7*11}< 0.5;$ $P_{2}=3;P_{3}=5;P_{4=k_{m}}=7;P_{5}=11;P_{6=n}=13;m=4-1=3$ $\pi \left (288 \right )=144+\left ( 6-1 \right )-\sum_{i=2}^{6}\left ( \frac{144}{P_{i}} \right )+\sum_{i=2}^{5}\sum_{j=i+1}^{6}\left ( \frac{144}{P_{i}P_{j}} \right )-\sum_{k_{1}=i=2}^{4}\sum_{k_{2}=k_{1}+1}^{n-1=5}\sum_{k_{3}=k_{2}+1}^{n=6}\left ( \frac{144}{P_{i}P_{j}P_{k}} \right );$ $1)\sum_{i=2}^{6}\left ( \frac{144}{P_{i}} \right )=\left ( \frac{144}{3} \right )+\left ( \frac{144}{5} \right )+\left ( \frac{144}{7} \right )+\left ( \frac{144}{11} \right )+\left ( \frac{144}{13} \right )=\left ( 48 \right )+\left ( 28.8 \right )+\left ( 20.57 \right )+\left ( 13.09 \right )+\left ( 11.07 \right )=48+29+21+13+11=122;$ $2)\sum_{i=2}^{5}\sum_{j=i+1}^{6}\left ( \frac{144}{P_{i}P_{j}} \right )=\sum_{j=3}^{6}\left ( \frac{144}{3P_{j}} \right )+\sum_{j=4}^{6}\left ( \frac{144}{5P_{j}} \right )+\sum_{j=5}^{6}\left ( \frac{144}{7P_{j}} \right )+\sum_{j=6}^{6}\left ( \frac{144}{11P_{j}} \right )=\left ( \frac{144}{3*5} \right )+\left ( \frac{144}{3*7} \right )+\left ( \frac{144}{3*11} \right )+\left ( \frac{144}{3*13} \right )+\left ( \frac{144}{5*7} \right )+\left ( \frac{144}{5*11} \right )+\left ( \frac{144}{5*13} \right )+\left ( \frac{144}{7*11} \right )+\left ( \frac{144}{7*13} \right )+\left ( \frac{144}{11*13} \right )=\left ( 9.6 \right )+\left ( 6.85 \right )+\left ( 4.36 \right )+\left ( 3.69 \right )+\left ( 4.11 \right )+\left ( 2.61 \right )+\left ( 2.21 \right )+\left ( 1.87 \right )+\left ( 1.58 \right )+\left ( 1.0 \right )=10+7+4+4+4+3+2+2+2+1=39;$
$3)\sum_{k_{1}=i=2}^{4}\sum_{k_{2}=k_{1}+1}^{5}\sum_{k_{3}=k_{2}+1}^{6}\left ( \frac{144}{P_{k_{1}}P_{k_{2}}P_{k_{3}}} \right )=\sum_{k_{2}=3}^{5}\sum_{k_{3}=k_{2}+1}^{6}\left ( \frac{144}{3P_{k_{2}}P_{k_{3}}} \right )+\sum_{k_{2}=4}^{5}\sum_{k_{3}=k_{2}+1}^{6}\left ( \frac{144}{5P_{k_{2}}P_{k_{3}}} \right )+\sum_{k_{2}=5}^{5}\sum_{k_{3}=k_{2}+1}^{6}\left ( \frac{144}{7P_{k_{2}}P_{k_{3}}} \right );\sum_{k_{2}=3}^{5}\sum_{k_{3}=k_{2}+1}^{6}\left ( \frac{144}{3P_{k_{2}}P_{k_{3}}} \right )=\sum_{4}^{6}\left ( \frac{144}{3*5*P_{k_{3}}} \right )+\sum_{5}^{6}\left ( \frac{144}{3*7*P_{k_{3}}} \right )+\sum_{6}^{6}\left ( \frac{144}{3*11*P_{k_{3}}} \right )=\left ( \frac{144}{3*5*7} \right )+\left ( \frac{144}{3*5*11} \right )+\left ( \frac{144}{3*5*13} \right )+\left ( \frac{144}{3*7*11} \right )+\left ( \frac{144}{3*7*13} \right )+\left ( \frac{144}{3*11*13} \right )=$ $\left ( 1.37 \right )+\left ( 0.87 \right )+\left ( 0.73 \right )+\left ( 0.62 \right )+\left ( 0.52 \right )+\left ( 0.33 \right )=1+1+1+1+1+0=5;$ $\sum_{k_{2}=4}^{5}\sum_{k_{3}=k_{2}+1}^{6}\left ( \frac{144}{5*P_{k_{2}}*P_{k_{3}}} \right )=\sum_{5}^{6}\left ( \frac{144}{5*7*P_{k_{3}}} \right)+\sum_{6}^{6}\left ( \frac{144}{5*11*P_{k_{3}}} \right )=\left (\frac{144}{5*7*11} \right )+\left (\frac{144}{5*7*13} \right )+\left ( \frac{144}{5*11*13} \right )=\left ( 0.37 \right )+\left ( 0.31 \right )+\left ( 0.2 \right )=0+0+0=0;\sum_{k_{2}=4}^{5}\sum_{k_{3}=k_{2}+1}^{6}\left ( \frac{144}{5P_{k_{2}}P_{k_{3}}} \right )> \sum_{k_{2}=5}^{5}\sum_{k_{3}=k_{2}+1}^{6}\left ( \frac{144}{7P_{k_{2}}P_{k_{3}}} \right )=0;$
$\pi \left (288 \right )=144+\left ( 6-1 \right )-\sum_{i=2}^{6}\left ( \frac{144}{P_{i}} \right )+\sum_{i=2}^{5}\sum_{j=i+1}^{6}\left ( \frac{144}{P_{i}P_{j}} \right )-\sum_{k_{1}=i=2}^{4}\sum_{k_{2}=k_{1}+1}^{5}\sum_{k_{3}=k_{2}+1}^{6}\left ( \frac{144}{P_{i}P_{j}P_{k}} \right )=144+5-122+39-5=61$

Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать

Код: выделить все: <div style="text-align:center;">Обсудить теорию <a href="http://www.newtheory.ru/mathematics/formula-opredeleniya-kolichestvo-prostih-chisel-t4210.html">Формула определения количество простых чисел</a> Вы можете на форуме "Новая Теория".</div>

Александр I

Формула определения количества простых чисел в произвольном интервале натурального ряда чисел - следствие формулы определения простоты натурального числа.
Формула простоты числа известна.
Далее произведение чисел вычисленных по этой формуле уже являются псевдопростыми числами.
Далее из произвольного интервала исключаются эти псевдопростые числа и мы получаем точное число простых чисел в произвольном интервале.

Раил Зайнуллин

1)Все наши действия и поступки ,а также и сами являемся следствием чего-то или кого-то.
2) Данная формула получилась как следствие из суммы биномиальных коэффициентов $\left ( 1-k \right )^{n}$ ,которая равна 0 ( с учётом размещения, сочетания и т.д. и т.п., т.е. далее чисто техническое изложение). Возможно существуют и другие способы получения данной формулы или схожей с ней(так на пример, значения предельных значений простых чисел, оказалось возможно доказать и другим способом, не используя неравенство Чебышева и слабую формулу Стирлинга), но я знаком только с приближёнными (или с погрешностью) и эквивалентными значениями определения количества простых чисел. С нахождением точных значений количества простых чисел на интервалах до сего полученного результата знаком не был.
3)Данная формула это промежуточный результат одной из проблем, которая нутром чувствую, что решение где-то рядом. Возможно её решение и лежит в плоскости простаты числа. Хотя действия над простатой числа я знаком поверхностно и она как мне кажется относится больше к составлению программ для нахождения простых чисел на ПК.

Александр I

Вам наверное неизвестна формула определения натурального числа на его "простоту".
Но она очень простая и её может найти любой школьник просто в силу практической наблюдательности.
Но почему-то она неизвестна математикам.
Правда с сентября прошлого года она стала известна какому-то кругу профессиональных математиков. поскольку книгу "Философия исправления математики" запросил у меня один известный в стране доктор ФМН.
Попробуйте самостоятельно найти эту формулу. Она очень простая. Чисто практическим наблюдением за распределением простых и псевдопростых чисел в натуральном ряду.

alexandrovod

см.
Д.Цагир. Первые 50 млн простых чисел
ega-math.narod.ru›Liv/Zagier.htm

Александр I

alexandrovod писал(а):см.
Д.Цагир. Первые 50 млн простых чисел
ega-math.narod.ru›Liv/Zagier.htm

Спасибо. Но мне не надо. Зная формулу определения простоты числа мне это без надобности.
Вы попробуйте найти эту формулу.
1. Напишите натуральный ряд чисел до 100.
2. подчеркните снизу все простые числа до 100.
3. отметьте закономерность появления простых чисел в ряду.
4. запишите формулу этой закономерности.

alexandrovod

Александр I писал(а):Вы попробуйте найти эту формулу.

Увлечение математикой и тем более теорией чисел у меня прошло ещё 1965 году. Так что не буду искать. Хотя как знать, всё может случиться под Луной.

Раил Зайнуллин

Лёгкость и простата изложения элементов теории чисел Д.Цагир- завораживает. Создаётся иллюзия малой трудоёмкости (пока сам не попробуешь). Потом со времен осознаёшь, какой колоссальный труд в течении многих веков вложили математики ,чтоб затем так просто и популярно изложить наиболее острые проблемы.
Да , там предлагается точная формула определения количество простых чисел ,но как я понимаю её, при условии если гипотеза Римана верна, т.е. вещественная часть в известном уравнении равна 0,5. Так же приводится приближённые формулы определения количество простых чисел с использованием функции Римана и интегрального логарифма, который тоже не имеет явного функционального выражения (разлагается в ряд). Но сумма интегрального логарифма и интеграла от функции lnlnx (двойной логарифм от переменной) даёт законченное функциональное значение и равно (xlnlnx+c), что дало толчок мне показать аналитическую связь соседних простых чисел или их взаимосвязь, т.е всё взаимосвязано и является следствием чего то.

Александр I

alexandrovod писал(а):Увлечение математикой и тем более теорией чисел у меня прошло ещё 1965 году. Так что не буду искать. Хотя как знать, всё может случиться под Луной.

Всем участникам данной темы.
Давайте упростим задание до такой степени, что ошибиться в искомой формуле определения простоты числа просто станет невозможно.
Выкиньте всё из головы , что Вы раньше знали про поиск простоты числа. Забудьте авторитетов математики. Только сами - глядя на закономерность. Не думайте о тех сложностях , которые Вы знаете о процессе поиска простоты числа. Всё будем строить поэтапно.
Итак . Задание на Первый этап.
Дан конечный ряд простых чисел: 2 3 5 7 11 13 17 19.
Задание: напишите периодическую формулу получения простых чисел 5,7,11,13,17,19 с переменным значением периода n.

alexandrovod

уважаемый Александр I
Я изредко занимаюсь математикой только с хулиганских побуждений например: извлекаю в уме по мат.фокусу Ферма - корень нечетных степеней из 9 значного числа (если конечное число целое) или приблизительно до 2-3 знака логарифма числа, ну и по работе приходилось весьма часто искать мат-зависимости и уравнения удовлетворяющие получаемым графикам замеров. А в остальном математика (кроме мат фокусов) меня не шибко интересует.

Формула определения количество простых чисел

Формула определения количество простых чисел

Формула определения количество простых чисел

Re: Формула определения количество простых чисел

Re: Формула определения количество простых чисел

Re: Формула определения количество простых чисел

Re: Формула определения количество простых чисел

Re: Формула определения количество простых чисел

Re: Формула определения количество простых чисел

Re: Формула определения количество простых чисел

Re: Формула определения количество простых чисел

Re: Формула определения количество простых чисел

Кто сейчас на форуме