Решение уравнения теоремы Пифагора

MIMO

Обычно уравнение теоремы Пифагора записывают следующим образом:
$a^2+b^2=c^2$ (1)
В таком виде это уравнение не имеет решения в целых числах, если не подставлять заведомо известные Пифагоровы тройки. Однако оно имеет решение в целых числах, если записать его следующим образом:
$a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)$ (2)
Здесь $a$ - заданное нечетное число.
Обозначим:
$(c-b)=d$ (3)
Отсюда:
$b=c-d$ (4)
Из уравнений (2), (3), (4) следует:
$a^2=d(c+c-d)=2cd-d^2$ (5)
Отсюда:
$c=\frac{a^2+d^2}{2d}$ (6)
Из уравнения (6) следует, что число $d$ является делителем числа $a^2$ .
Из уравнений (4), (6) следует:
$b=\frac{a^2-d^2}{2d}$ (7)
По формулам (6), (7) определяются все Пифагоровы тройки, в которые входит заданное нечетное число $a$ , за исключением той тройки, в которой число $a$ будет наибольшим.
Пример: число $3003$ входит в состав $33$ Пифагоровых троек, из которых $7$ троек со взаимно простыми числами.

Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать

Код: выделить все: <div style="text-align:center;">Обсудить теорию <a href="http://www.newtheory.ru/mathematics/reshenie-uravneniya-teoremi-pifagora-t3858.html">Решение уравнения теоремы Пифагора</a> Вы можете на форуме "Новая Теория".</div>

alexandrovod

уважаемый MIMO
Оказывается как всё просто! Ещё в школе бился над нахождение пифагоровых троек, дошел только до пятого отношения. Но так как это уже простым перебором позволяло их находить даже в уме, то дальше забросил.
С уважением Овод

MIMO

Принимаем, что число $a=km$
Здесь $k, m$ взаимно простые, простые или составные числа.
$k>m$
Тогда:
$d=m^2$
$c=\frac{(km)^2+m^4}{2m^2}=\frac{k^2+m^2}{2}$ (8)
$b=\frac{(km)^2-m^4}{2m^2}=\frac{k^2-m^2}{2}$ (9)
По этим формулам рассчитываются Пифагоровы тройки со взаимно простыми числами.

Сообщение было удалено | удалил: Administration | 10 июн 2016, 14:34.
Причина: Пункт правил 5.11

fermatik

Сотни лет математики без проблем вычисляли
первую формулу
$b_k^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)=bb_*, a+b=c,c+a=b_*$ .
Но никто не подумал, что ее нужно применять для доказательства ВТФ, при $k=2n,n>1$ .
Вторая формула - старших чётных степеней.
$b_k^{k=2n}=c^{2n}-a^{2n}=(c^n-a^n)(c^n+a^n)=b^nb_*^n$ .
Сотни лет никто не подумал, что если бы мы вычислили бы $a^n+b^n=c^n$ при натуральных, тогда бы одновременно вычислили бы и $a^n+c^n=b_*^n$ при натуральных,
также вычислили бы старшую тройку Пифагора, - формулу старшей четной степени:
$(a^2)^n+(b^2)^n=(c^2)^n=(a^n)^2+(b^n)^2=(c^n)^2$ - при натуральных.
*
Третья часть формул, - формулы взаимосвязи между $(a,b,b_*),(c,b,b_*)$ :
$b^n=c^n-a^n$ ,
$b_*^n=c^n+a^n=2a^n+b^n=2c^n-b^n$ .

$a^n=\frac{a^n+c^n}{2}-\frac{c^n-a^n}{2}=\frac{b_*^n}{2}-\frac{b^n}{2}$ ,
$c^n=\frac{a^n+c^n}{2}+\frac{c^n-a^n}{2}=\frac{b_*^n}{2}+\frac{b^n}{2}$

$b^n=\frac{b_*^n+b^n}{2}-\frac{b_*^n-b^n}{2}=c^n-a^n$ ,
$b_*^n=\frac{b_*^n+b^n}{2}+\frac{b_*^n-b^n}{2}=c^n+a^n$ .
Четвёртая часть формул, доказательство ВТФ при условии, что $(a,c)$ - нечетные натуральные, $b,b_*$ - теоретически должны быть ''чётными натуральными'', но...

$a^n=\frac{b_*^n=(2x_{b_*})^n}{2}-\frac{b^n=(2x_b)^n}{2}=2^{n-1}(x_{b_*}^n-x_b^n)$ ,
$c^n=\frac{b_*^n=(2x_{b_*})^n}{2}+\frac{b^n=(2x_b)^n}{2}=2^{n-1}(x_{b_*}^n+x_b^n)$
Вывод, при $k=2n,n>1$ вычислено равенство, которое предполагается решать при натуральных...
Но так как $(a,c)$ - нечетные натуральные,то данную формулу нельзя решить при натуральных $x_b,x_{b_*}$ .
*
Пятая формула - формула троек Пифагора:
$a^2+b^n=c^n=(q-w)^2+(2qw)^2=(q+w)^2=(zx)^2+(\frac{z^2-x^2}{2})^2=(\frac{z^2+x^2}{2})^2$ .
Вычислен важнейший признак троек Пифагора:
$(a,c),a<c$ - нечетные, $b$ - четная.
*
При $k=2n,n>1$ , при $(a,c)$ , вычислен бесконечный спуск.
Шестая часть формул для $k=2n,n>1$ , $(a,c), a<c$ - нечетные натуральные.
$b^n=2(2^{n-1})x_b^n, b_*^n=2(2^{n-1})x_{b_*}^n$ ,
$x_a^n=\frac{a^n}{2^{n-1}}, x_c^n=\frac{c^n}{2^{n-1}}$ .
*
$a^n+b^n=c^n, c^n+a^n=b_*^n$ ,
$b_*^n=2a^n+b^n, b_*^n+b^n=2c^n$ .

$x_a^n+2x_b^n=x_c^n, x_a^n+x_c^n=2x_{b_*^n}$ ,
$x_a^n+x_b^n=x_{b_*}^n, x_{b_*}^n+x_b^n=x_c^n$ .
*
http://www.ega-math.narod.ru/Books/Edvards.htm .
Метод бесконечного спуска, разработанный Пьером Ферма:
Если из предположения, согласно которому данное положительное целое обладает данным множеством свойств,следует, что существует меньшее положительное целое с тем же множеством свойств,то ни одно положительное целое не может обладать этим множеством свойств.

alexandrovod

fermatik писал(а):Вычислен важнейший признак троек Пифагора:

- ( два числа нечетные одно четное)
ну это элементарно. Нечетное число суммы-разности нечетных чисел в произвольной, кроме нуля, степенях - нечетное число, а четное количество четное. Любое количества для четных всегда четное. Поэтому условие - признак Пифагоровых чисел верно и для всех комбинаций (сумм-разностей).

fermatik

alexandrovod писал(а):ну это элементарно. Нечетное число суммы-разности нечетных чисел в произвольной, кроме нуля, степенях - нечетное число, а четное количество четное. Любое количества для четных всегда четное. Поэтому условие - признак Пифагоровых чисел верно и для всех комбинаций (сумм-разностей).

''Ну это элементарно'', да ну! Теория чисел негодуе...форум dxdy. Помните, как я недавно ругался, не понимал, что от меня там требуют: проверять $(a,b)$ - натуральные нечетные.
*
Уважаемый Овод!
Как вы думаете, ''заслуженный участник'' форума dxdy, - ''преподаватель'' дал мне подсказку - доказывать ВТФ ''от противного'', или он просто ломал доказательство...
Я ведь ВТФ прямо доказывал благодаря оценке ''старших троек Пифагора'' $k=2n,n>1$ - ''нечетные+четные'', вычислен бесконечный спуск, и прочие прелести!
Доказательство от противного, проверяем при условиях: $(k=2n,n>1), (a,c),(a,b)$ - нечетные натуральные...в любом случае видим ''суслика''(нечетное+нечетное=чётное в степени).

Уважаемый Овод! Как вы думаете, почему математики-ферматисты увидев формулу: $b_k^{2n}=c^{2n}-a^{2n}=(c^n-a^n)(c^n+a^n)=b^nb_*^n$ , не стали вычислять формулы взаимосвязи $(a,b,b_*),(c,b,b_*)$ Чтобы сделать ''безумно простой вывод'': если бы мы вычислили $a^n+b^n=c^n$ при натуральных, то мы должны также вычислить ещё две формулы при натуральных:
$a^n+c^n=b_*^n$ , сумма ''нечетное+нечетное'' в степенях $(a,c)$ ,
''старшая тройка Пифагора'' $(a^2)^n+(b^2)^n=(c^2)^n=(a^n)^2+(b^n)^2=(c^n)^2$ . Как вы думаете, к данному выводу сложно прийти? Лет триста его в упор не видели! ''Смотрим, но не видим''.

alexandrovod

fermatik писал(а):Как вы думаете, ''заслуженный участник'' форума dxdy, - ''преподаватель'' дал мне подсказку - доказывать ВТФ ''от противного'', или он просто ломал доказательство...

В физике доказательство от противного один из основных методов нахождения "нового на кончике пера" он правда называется благозвучно -"альтернативная Гипотеза" и "Мысленный эксперимент", последнее понятие ввел и довел до совершенства Галилей, в математике по видимому этот метод в обиход ввел Лобачевский.
Так, что ''заслуженный участник'' форума dxdy дал ценный совет.

fermatik писал(а):Чтобы сделать ''безумно простой вывод'': если бы мы вычислили....

Метод бесконечного спуска я не знаю и навряд ли пойму, но мне кажется это чем то сродни методу последовательного приближения (вариационный).
Предлагаю проанализировать следующие отношения троек a^2+b^2=c^2 и a^2-b^2=c'^2, тогда a^4-b^4=c^2*c'^2=c"^2, c"^0,5=d - рациональное.
есть ли первые две тройки? и есть ли в этом случае такое c"?

fermatik писал(а):''старшая тройка Пифагора''........ Как вы думаете, к данному выводу сложно прийти? Лет триста его в упор не видели!

думаю могли но отметали как ересь или считали, что доказать степенных троек невозможно.

fermatik

alexandrovod писал(а):В физике доказательство от противного один из основных методов нахождения "нового на кончике пера" он правда называется благозвучно -"альтернативная Гипотеза" и "Мысленный эксперимент", последнее понятие ввел и довел до совершенства Галилей, в математике по видимому этот метод в обиход ввел Лобачевский.
Так, что ''заслуженный участник'' форума dxdy дал ценный совет.

Уважаемый Овод! Думаю он сам не понял, что дал ценный совет.
По моему мнению, он ломал доказательство.
Я - компилятор, чем сильнее меня пинают, тем лучше я отвечаю...
Шлифовал своё доказательство, шлифовал, результаты видны!
Тупиков прошёл массу, пи...лей получил немало! :oops:

Метод бесконечного спуска я не знаю и навряд ли пойму, но мне кажется это чем то сродни методу последовательного приближения (вариационный).
Предлагаю проанализировать следующие отношения троек a^2+b^2=c^2 и a^2-b^2=c'^2, тогда a^4-b^4=c^2*c'^2=c"^2, c"^0,5=d - рациональное.
есть ли первые две тройки? и есть ли в этом случае такое c"?

Уважаемый Овод!
На форуме dxdy ''заслуженные участники'' и ''модераторы'' тоже не понимают идею Пьера Ферма о бесконечном спуске...
Вычислил, показал, - смотрели как ''баран на новые ворота''!

Проще всего сказать так, пример при $n=4$ .
Ищем-ищем решение формулы $A^4+B^4=C^4$ при натуральных, пытаемся-пытаемся вычислять условия для натуральных, бац! Вычислили надо решать $a^4+b^4=c^4$ , - словами Пьера Ферма - меньшее положительное целое с тем же свойством. Это также преобразуем-преобразуем, вычисляем ещё меньшее, потом ещё меньшее... Он и сделал вывод, если встречаем эту ситуацию, то при натуральных нерешаемо!

Бесконечный спуск при $k=2n,n>1$ , можем вычислить только оценивая
формулу взаимозависимости - прямое доказательство при $(a,c)$ - нечетные натуральные,
то $(b,b_*)$ - д/б четные натуральные, а если четные натуральные, то
$b^n=(2x_b)^n, b_*^n=(2x_{b_*})^n$ .
Вычисляем и оцениваем:
$a^n=\frac{c^n+a^n}{2}-\frac{c^n-a^n}{2}=\frac{b_*^n=(2x_{b_*})^n}{2}-\frac{b^n=(2x_b)^n}{2}=2^{n-1}(x_{b_*}^n-x_b^n)=2^{n-1}\frac{a^n}{2^{n-1}}=2^{n-1}x_a^n$ ,
$c^n=\frac{c^n+a^n}{2}+\frac{c^n-a^n}{2}=2^{n-1}(x_{b_*}^n+x_b^n)=2^{n-1}\frac{c^n}{2^{n-1}}=2^{n-1}x_c^n$ .
*
Четные натуральные, - $b^n=(2x_b)^n=2(2^{n-1})x_b^n, b_*^n=2(2^{n-1})x_{b_*}^n)$ .
Разницу между нечетными и чётными видите?

Для $k=2n,n>1$ , обе части уравнения сокращаем в $2^{n-1}$ , - меньшая в...раз формула!
$a^n+b^n=c^n, a^n+c^n=b_*^n$ ,
$x_a^n+2x_b^n=x_c^n, x_a^n+x_c^n=2x_{b_*}^n$ .

Ещё значение суммы ''нечётная+нечетная'',
$b_*^n=a^n+c^n=2a^n+b^n=2c^n-b^n$ .

$2a^n+b^n=b_*^n, b_*^n+b^n=2c^n$ .
В формуле взаимозависимости $(a,b,b_*),(c,b,b_*)$ ,
$(a,b,b_*),(x_a,x_b,x_{b_*}), x_a^n+x_b^n=x_{b_*}^n$ ,
$(c,b,b_*),(x_c^n, x_b,x_{b_*}), x_{b_*}^n+x_b^n=x_c^n$ .
*
Уважаемый Овод, заметили, обе части уравнения сокращаем в $2^{n-1}, k=2n,n>1$ раз.
*
Для троек Пифагора для чётных нет иррациональности!
$k=2n=2, n=1, 2^{n-1}=2^{1-1=0}=1$ .
Иррациональность растёт... $k=2n=4=2*2, n=2, 2^{n-1}=2^{2-1=1}=2$ .
*
Преподаватель ломал доказательство, ''бесконечный спуск'' при $(a,b)$ - нечетные, с нарушением условий для вычисления троек Пифагора, - бредовое условие...
$a^n=\frac{b*^n}{2}-\frac{b^n}{2}, 2a^n=b_*^n-b^n$ ,
$c^n=\frac{b_*^n}{2}+\frac{b^n}{2}, 2c^n=b_*^n+b^n$ .
При несуществующих при натуральных, ''нечетное+нечетное'' [b]в степенях[/b],
ничего нельзя прямо доказать!
Чётное равно сумме двух нечетных...
''Преподаватель'' пнул капитально, но я сделал финт ушами, - бац! Доказательство от противного!

Решение уравнения теоремы Пифагора

Решение уравнения теоремы Пифагора

Решение уравнения теоремы Пифагора

Re: Решение уравнения теоремы Пифагора

Расчет Пифагоровых троек со взаимно простыми числами

Взаимосвязь между тройками Пифагора и ВТФ

Re: Решение уравнения теоремы Пифагора

Re: Решение уравнения теоремы Пифагора

Re: Решение уравнения теоремы Пифагора

Re: Решение уравнения теоремы Пифагора

Кто сейчас на форуме