Аннотация. Тождество Никомаха показывает, что существуют глубинные связи между числовыми последовательностями. В предлагаемой работе найденное расширение тождества Никомаха раскрывается.
Annotation. The Nicomachus identity shows that there are deep connections between numerical sequences. In this paper, we explore an extension of the Nicomachus identity.
Ключевые слова: Тождество Никомаха; числовая последовательность; натуральные числа; суммы чисел; степени
Keywords: Nicomachus' identity; numerical sequence; natural numbers; sums of numbers; powers
УДК 511
Введение. Тождество Никомаха известно в теоретической математике, применяется в образовательном процессе, используется в качестве игр и математических головоломок.
Расширение тождества Никомаха имеет огромное значение в теории чисел, и показывает, что тождество Никомаха в теории чисел осталось малоизученной теорией. В этой теории заключена глубинная связь между числовыми последовательностями. Каждая вновь открытая глубинная связь. это путь к развитию фундаментальных наук и новый математический инструмент.
В качестве опорных источников использовади: [1]; [2]; [3], [4].
Актуальность. Любое расширение и любая практика по использованию тождества Никомаха вносит существенный вклад в теорию чисел.
Цель работы заключается в том, чтобы найти расширение для тождества Никомаха.
Научная новизна заключается в том, что тождество Никомаха рассматривается на нечётных числах натурального последовательного числового ряда.
Рассмотрим возможность применения тождества Никомаха к натуральному числовому ряду, принимая только нечётные числа.
Вариант №1.
1. 1^3+3^3 = (2*(1+3) -1)*(1+3)
1+27 = 28 = 7*4
28 = 28
2. 1^3+3^3+5^3 = (2* (1+3+5) – 1)* (1+3+5) =
1+27+125 = 153
(2* (1+3+5) – 1)* (1+3+5)
(2*9 -1) *9 = 17*9 = 153
153 = 153
3. 1^3+3^3+5^3+7^3 = (2*(1+3+5+7) – 1)* (1+3+5+7)
1+27+ 125+ 343 = 496
(2*(1+3+5+7) – 1)* (1+3+5+7)
(2*16 -1)*16 = 31*16 = 496
496 = 496
4. 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3 = (2*(1+3+5+7+9) – 1)*(1+3+5+7+9)
496 + 9^3 = 496 + 729 = 1225
(2*(1+3+5+7+9) – 1)*(1+3+5+7+9)
(2*25 – 1)* 25 = 49*25 = 1225
1225 = 1225
5. 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3 = (2*(1+3+5+7+9+11) – 1)* (1+3+5+7+9+11)
1225 +11^3 = 1225 + 1331 = 2556
(2*(1+3+5+7+9+11) – 1)* (1+3+5+7+9+11)
(2*36 – 1)* 36 = 71*36 = 2556
2556 = 2556
Общая формула:
1^3+3^3+5^3+…+n^3 = (2*(1+3+5+…+n) – 1)* (1+3+5+…+n) --- (1)
Особенности формулы (1) заключаются в том, что последовательный ряд натуральных нечётных чисел, где каждое число возводиться в третью степень, и эти числа в третей степени складываются, образуют тождество, с суммой нечётных чисел этого ряда, умноженных на 2, и минус 1. этот результат умножается на сумму этих нечётных чисел взятых для тождества.
Здесь раскрывается глубинная связь числовой нечётной последовательности , где находится сумма чисел возведённых в третью степень образуют тождество с суммами нечетных чисел этой последовательности, где суммы этих чисел выражены в 1 степени.
Показана глубинная связь нечётных чисел в последовательностях, где сумма чисел в третьей степени и сумма чисел в нечётной последовательности в 1 степени.
Вариант №2
1. 1^3+3^3 = (2*(1+3)^2)-(1+3)
1+27 = 2*16 - 4
28 = 28
2. 1^3+3^3+5^3 = (2* (1+3+5)^2) – (1+3+5)
1+27+125 = 153
(2* (1+3+5)^2) - (1+3+5)
2*81 – 9 = 153
153 = 153
3. 1^3+3^3+5^3+7^3 = (2*(1+3+5+7)^2) - (1+3+5+7)
1+27+ 125+ 343 = 496
(2*(1+3+5+7)^2) - (1+3+5+7)
(2*16^2)-16 = 2*256 – 16 = 496
496 = 496
4. 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3 = (2*(1+3+5+7+9)^2)-(1+3+5+7+9)
496 + 9^3 = 496 + 729 = 1225
(2*(1+3+5+7+9)^2) - (1+3+5+7+9)
(2*25^2) - 25 = 2*625 – 25 = 1225
1225 = 1225
5. 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3 = (2*(1+3+5+7+9+11)^2) - (1+3+5+7+9+11)
1225 +11^3 = 1225 + 1331 = 2556
(2*(1+3+5+7+9+11)^2) - (1+3+5+7+9+11)
(2*36^2) - 36 = 2*1296 -36 = 2556
2556 = 2556
Общая формула:
1^3+3^3+5^3+…+n^3 = (2*(1+3+5+…+n)^2) - (1+3+5+…+n) --- (2)
Особенности формулы (2) заключаются в том, что последовательный ряд натуральных нечётных чисел, где каждое число возводиться в третью степень, и эти числа в третей степени складываются, образуют тождество, с суммой нечётных чисел этого ряда, возведённых во вторую степень, умноженных на 2, и минус сумма этих нечётных чисел.
Здесь раскрывается глубинная связь числовой нечётной последовательности , где находится сумма чисел возведённых в третью степень образуют тождество с суммами нечетных чисел этой последовательности, где суммы этих чисел выражены во 2 и 1 степени.
Показана глубинная связь нечётных чисел в последовательностях, где сумма чисел в третьей степени и сумма чисел нечётной последовательности во 2 и 1 степени.
Кроме того, можем сравнить глубину связей последовательностей из нечётных чисел, где числа находятся в первой и первой и второй степенях.
1^3+3^3+5^3+…+n^3 = (2*(1+3+5+…+n) – 1)* (1+3+5+…+n) --- (1)
1^3+3^3+5^3+…+n^3 = (2*(1+3+5+…+n)^2) - (1+3+5+…+n) --- (2)
(2*(1+3+5+…+n) – 1)* (1+3+5+…+n) = (2*(1+3+5+…+n)^2) - (1+3+5+…+n) --- (3)
Заключение. Найдено расширение тождества Никомаха для нечётных чисел.
Выводы. Найдены три формулы, которые выражают глубинные связи в нечётных натуральных числах последовательностей. Эти найденные тождества нечётных чисел расширяют тождество Никомаха и обогащают теорию чисел.
Библиографический список.
1. Тождество Никомаха — Википедия [Электронный ресурс] – URL:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Тождество_Никомаха / (дата обращения: 06.07.2026)
2. При Сложении Степени Что Делают С Разными Степенями [Электронный ресурс] – URL:
https://zigzag-24.ru/blog/pri-slozhenii ... ndex.ru%2F / (дата обращения: 28.06.2026)
3. Когда числа складываются что происходит со степенями [Электронный ресурс] – URL:
https://tul.se-pro.ru/articles/kogda-ch ... nyami.html / (дата обращения: 28.06.2026)
4. Суммирование степеней чисел натурального ряда с помощью арифметических прогрессий с переменными разностями [Электронный ресурс] – URL:
https://cyberleninka.ru/article/n/summi ... ami/viewer / (дата обращения: 28.06.2026)
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
