(10**) dEk = C∙(k∙F / r^2)∙ γ*∙dt
Скорость в «бинарном» взаимодействии определяется соотношением «кинетических векторов» и «полной энергии» взаимодействующих пар. Для общего случая формула несколько громоздка и я не отвлекаюсь на нее. А для «точек», которые движутся строго по линии, их соединяющей, можно записать проще:
V = C∙(E2∙Ek1 + E1∙Ek2)/(E1∙E2 + Ek1∙Ek2)
Если проанализируйте – можете увидеть, что при стремлении соответствующих «кинетических векторов» к «полной энергии» для каждого компонента, скорость будет приближаться к «С», но никогда полностью ее не достигнет.
А теперь рассмотрим два варианта. Как и в предыдущей главе, вначале считаем, что одна частица «легкая», другая – очень «тяжелая». Т. е. E1 ˂˂ E2 . Кроме того, они начинают двигаться навстречу друг к другу (строго по «центральной» оси). Поскольку начальные значения Ek1 = Ek2 = 0 у нас все время соблюдается условие: Ek2 = -Ek1
Тогда можно записать: V ≈ C∙(Ek1 / E1)
Поскольку V = dr/dt можем выразить дифференциал времени (dt) через дифференциал расстояния между частицами – dr
dt = E1∙dr / (C∙Ek1)
Как я указывал уже, для данного случая:
γ* = (E1 – Ek1) / E1
Уравнение (10**) можно записать в такой форме:
(1/k∙F)∙(Ek1 /(E1 – Ek1))∙dEk1 = dr /r^2
Проинтегрировать лучше всего: левую сторону – от «0» до Ek1/E1 , правую – от r1 до r2 . Для простоты будем считать, что r1 ˃˃ r2 (то есть, смотрим результат после хорошего приближения частиц и значительной силы на конечном этапе). Получим
r2 ≈ (k∙F /E1)∙(1 / ((Ek1/E1 + Ln(1 – Ek1/E1))
Сразу можно увидеть, что при «бесконечном» приближении Ek к E логарифм растет в минус “бесконечность». Модуль «r2», соответственно, будет стремиться к «нулю».
Рассмотрим, для примера, случай приближения «точечного объекта» с параметрами электрона к «точечному объекту» с параметрами протона.
k∙F / E1 = k∙q^2 / me∙C^2 ≈ 2,815∙10-15
Нетрудно посчитать, что на расстоянии примерно 10^-15 м (то есть, на расстоянии радиуса атома водорода) величина Ek будет отличаться от E примерно как 29 от 30. То есть электрон успеет разогнаться до скорости 2,9∙10^8 м/сек. Весьма даже релятивистская скорость. Еще более интересный случай получается, когда Ek меньше E в 150 раз. То есть электрон разгонится до скорости 2∙10^6 м/сек. Это произойдет на расстоянии 1,26∙10^-10 м. Это, примерно, радиус типичной электронной орбиты. Так что вполне разумные результаты.
Теперь рассмотрим второй случай движения. Оба точечных тела (упрощенная модель элементарной частицы) имеют одинаковую «массу». То есть E1 = E2 = E и |Ek1| = |Ek2| = Ek
В данном случае будем иметь такие исходные данные:
γ* = (E – Ek)^2 / E2 dt = ((E^2 + Ek^2) / 2C∙E∙Ek)∙dr
Уравнение (10**) можно записать в такой форме:
(2E^3 /k∙F)∙(Ek /((E – Ek)^2∙(E*2 + Ek^2)))∙dEk = dr /r^2
Проинтегрируем: левую сторону – от «0» до Ek , правую – от r1 до r2 . Как и в предыдущем случае r1 ˃˃ r2 . Получим такой результат:
r2 ≈ (k∙F /E)∙(1 / (1/(1 - Ek/E) – tan-1(Ek/E) – 1))
Рассмотрим случай приближения «точечных объектов» с параметрами электрона и позитрона. Здесь уже на расстоянии радиуса атомного ядра (10^-15 м) частицы смогут разогнаться до скорости примерно 2,3∙10^8 м/сек. Близко к релятивистской, но не очень. А вот уже на расстоянии 10^-18 м частицы успеют разогнаться до скорости 2,999∙10^8 м/сек. Это уже весьма и весьма близко к предельной.
Предлагаю обратить внимание на следующий момент. Казалось бы, при взаимодействии частиц с единичным зарядом для «легкой» частицы не имеет значение «вес» другой частицы. В конкретном «такте» взаимодействия будет изменение «кинетического вектора», одинаково зависимое от расстояния. Исходные параметры положения и движения частиц у нас одинаковы как для «легкой» частицы-напарника, так и для «тяжелой». И конечное расстояние мы рассматриваем одинаковое. Откуда разница? Разница в пройденном пути «легкой» частицы. Ведь в случае двух «легких» частиц они пройдут одно и то же расстояние и, как бы, разделят путь пополам. Количество «тактов» взаимодействия уменьшится в два раза (при заданных нами ограничениях). Если рассматривать разницу между двумя формулами (для r2), то в области нерелятивистских скоростей результат как раз и будет разниться примерно в два раза. А далее уже разница будет заметно уменьшаться.
Таким образом мы видим, что параметр γ* гарантирует ограничение скорости взаимодействующих объектов даже при квадратично растущем взаимодействии между ними.
Но это – для конкретного бинарного взаимодействия. А ведь частица («точечный объект») взаимодействует последовательно с множеством объектов. Ее «кинетический вектор» складывается из целой совокупности взаимодействий. Можно показать, что чем больше растет итоговое значение Еk – тем меньше оно приближается к значению «полной энергии» Е, а суммарная скорость в каждом «бинарном» взаимодействии никогда не достигает точного значения «с».
Следует еще заметить, что в формуле (10) (второй закон Ньютона) величина ∆t крайне мала. «Элементарная» единица времени – это время, в течение которой свет в вакууме проходит «планковское» расстояние (10-^34 м). Это время примерно равно 0,33∙10^-43 секунды. То есть конкретный акт бинарного взаимодействия крайне быстр. Мал и его результат (даже при самом сильном взаимодействии). Как только при очередном взаимодействии частицы величина Еk максимально приблизится к значению Е – результат очередного взаимодействия будет мизерным. И, разумеется, модуль «кинетического вектора никогда не достигнет «Е».
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
