Количество разлажений чётных значений на сумму двух простых

Раил Зайнуллин

Р.Ф. ЗАЙНУЛЛИН КОЛИЧЕСТВО РАЗЛОЖЕНИЙ ЧЁТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ НА СУММУ ДВУХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ Количество пар простых чисел, на которые раскладывается значение 2М, равно сумме пар составных не чётных чисел, на которые раскладывается чётное значение 2М и сумме всех простых чисел ,за вычетом половины не чётных чисел на данном интервале[1;2М]
$R=G+\pi \left ( 2M \right )-\frac{M^{\cdot }}{2}$ (1) Где ${M^{\cdot }}$ =М-если М чётное значение: ${M^{\cdot }}$ =М+1 - если М составное не чётное; ${M^{\cdot }}$ =М-1-если М простое не чётное значение;u М∈N; R –количество пар простых чисел, на интервалe [1;2М] G –количество пар составных не чётных чисел, сумма которых равно2М; π(2M)- количество простых чисел на интервале[1;2М], определяемые по таблицам или по формуле предложенной на форуме от27.03.2017г.
СЛЕДСТВИЕ: ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК СУЩЕСТВОВАНИЯ РАЗЛОЖЕНИЯ ЧЁТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ НА СУММУ ДВУХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ. Для того чтоб любое чётное число 2М разлагалось на сумму двух простых чисел достаточно, чтоб вычисленные промежуточные суммы составных пар нечётных чисел 〖 G〗^*, превысили разность между половиной не чётных чисел, сумма которых равна 2М, и количеством простых чисел на интервале [1;2М],
$G\geq G^{\cdot }> \frac{M^{\cdot }}{2}-\pi \left ( 2M \right )$ (2)

Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать

Код: выделить все: <div style="text-align:center;">Обсудить теорию <a href="http://www.newtheory.ru/mathematics/kolichestvo-razlajeniy-chetnih-znacheniy-na-summu-dvuh-prostih-t4745.html">Количество разлажений чётных значений на сумму двух простых</a> Вы можете на форуме "Новая Теория".</div>

Раил Зайнуллин

Пример1) $2M=924=4*3*7*11;M=462,P_{1}=3.P_{2}=7.P_{3}=11.\pi \left ( 2M \right )=157.$ Определим количество пар составных чисел сумма которых равна 2M=924 и имеющих в своём значении произведения числа $P_{1}=3.P_{2}=7.P_{3}=11. G^{\cdot }=\sum_{i=1}^{3}\left ( \frac{M}{2P_{i}} -1 \right )-\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=i+1}^{3}\frac{M}{2P_{i}P_{j}}+\sum_{i=1}^{1}\sum_{j=2}^{2}\sum_{k=3}^{3}\frac{M}{2P_{_{i}}P_{j}P_{k}}=\frac{462}{2*3}-1+\frac{462}{2*7}-1\frac{462}{2*11}-1-\frac{462}{2*3*7}-\frac{462}{2*3*11}-\frac{462}{2*7*11}+\frac{462}{2*3*7*11}=77-1+33-1+21-1-11-7-3+1=108> \frac{M}{2}-\pi \left ( 2M \right )=231-157=74; R\geq 108-74=34.$ Т.е. число 2M=924 разлагается на сумму двух простых чисел и количество разложения $R\geq 108-74=34.$ Пример2) $2M=286=2*11*13.P_{1}=11.P_{2}=13. M=143.\pi \left ( 2M \right )=\pi \left ( 286 \right )=61.$ Определим количество пар составных чисел сумма которых равно 2M=286 и имеющие в своём значении произведения числа $P_{1}=11.P_{2}=13.$ $g_{1}=\frac{\frac{143}{11}+1}{2}-1+\frac{\frac{143}{13}+1}{2}-1-\frac{\frac{143}{11*13}+1}{2}=7-1+6-1-1=10< \frac{M^{\cdot }}{2}-\pi \left ( 2M \right )=\frac{143+1}{2}-61=11$ Т.е. достаточного признака для определения наличия разложения числа 2M=286 на сумму двух простых чисел в данном этапе неприемлемо,т.к. $g_{1}< \frac{M^{\cdot }}{2}-\pi \left ( 2M \right ).$ Тогда определим следующие разложения составных чисел, сумма которых равно 2M=286,. $3C_{1}+5C_{2}=2M-\left [ \frac{2M}{2*3*5} \right ]*30=286-\left [ \frac{286}{2*3*5} \right ]*30=16. C_{1}=C_{2}=2.$ Это решение диофанта уравнения не удовлетворяет условию $C_{i}=2k+1> 0;$ следовательно ищем в следующем $3\left ( С_{1}+5 \right )+5\left ( С_{2}+3 \right )=21+25=16+30=46,u g_{2}=\frac{286-46}{2*3*5}+1-0=9. где\left [ \right ]$ -целое часть числа Теперь применим следствие о достаточном признаке и определим значение $G^{\cdot }=g_{1}+g_{2}=10+9=19> \frac{M^{\cdot }}{2}-\pi \left ( 2M \right )=\frac{143+1}{2}61=72-61=11$ .Т.е. число 2M=286 разлогается на сумму двух простых чисел и число разложения R> 19-11=8.

Раил Зайнуллин

Пример3) Рассмотрим пример чётного числа, числа вида $2M=2^{r}$ или. $2M=2^{r}*P_{r}; где P_{r}\geq P_{n+1}> \sqrt{2M}> P_{n}.r\in N$ (натуральный ряд чисел). $2M=152=8*9. P_{n}=P_{5}=11< \sqrt{2M}=\sqrt{152}< P_{n+1}=13< P_{r}=P_{8}=19.P_{2}=3,P_{3}=5,P_{4}=7,P_{5}=11. \pi \left ( 2M \right )=\pi \left ( 152 \right )=36.$ A)Вычисляем максимальное количество комбинаций составных пар чисел,сумма которых равна $2M=152. g_{1}=\sum_{P_{i}=P_{2}}^{P_{4}}\sum_{P_{j}=P_{i+1}}^{P_{5}}\left ( \frac{2M-C_{1}P_{i}-C_{2}P_{j}}{2P_{i}P_{j}} \right )+1-d,$ при окончательном вычислении, значений диофантовых уравнений, должны выполнятся следующие условия: $1)C_{i}= 2k+1> 0; 2)C_{1}P_{i}+C_{2}P_{j}\geq 2M;$ 3)при $C_{1}=C_{2}=1, то d=2;$ при $C_{1}=1, C_{2}\neq 1$ или $C_{2}=1,C_{1}\neq 1,то d=1;$ при $C_{1}\neq 1 и C_{2}\neq 1 d=0;$ Представим значения $g_{1}$ в виде следующих комбинаций $a)3a+5b=152, b)3a+7b=152,c)3a+11b=152,d)5a+7b=152,e)5a+11b=152,f)7a+11b=152.$ $a)3a+5b=3C_{1}+5C_{2}=2M-\left [ \frac{2M}{2*3*5} \right ]*2*3*5=152-\left [ \frac{152}{30} \right ]=2. C_{1}=-1, C_{2}=1,$ но т.к. $C=2k+1> 0,$ то решение диофантового уравнения будет $C_{1}P_{i}+C_{2}P_{j}=3C_{1}+5C_{2})=2M-\left [ \frac{2M}{30} \right ]*30+30=3*9+5*1=27+5=2+30=32,$ тогда $\Delta g_{a}=\frac{2M-C_{1}P_{i}-5C_{2}}{2P_{i}P_{j}}+1-1=\frac{152-27-5}{2*3*5}+1-1=4. C_{2}=1=> d=1, \Delta g_{a}=4$ . означает количество составных пар чисел вида 3a+5b, сумма которых равна 2M=152.
$b)3a+7b=3C_{1}+7C_{2}=152-\left [ \frac{2M}{2*3*7} \right ]*42=152-\left [ \frac{152}{42} \right ]42=152-126=26. 3C_{1}+7C_{2}=3*4+7*2=26,$ . но т.к. $C_{i}= 2k+1> 0,$ . то решение $3(C_{1}+7)+7(C_{2}+3)=3*(4+7)+7*(2+3)=33+35=26+42=68. \Delta g_{b}=\frac{152-68}{2*3*7}+1-0=2+1=3.$ .
$c)3a+11b=3C_{1}+11C_{2}=152-\left [ \frac{152}{66} \right ]*66=152-132=20. 3C_{1}+11C_{2}=3*3+11*1=20. \Delta g_{c}=\frac{152-20}{2*3*11}+1-1=2.$ .
$d)5a+7b=5C_{1}+7C_{2}=152-\left [ \frac{152}{70} \right ]*70=12. 5C_{1}+7C_{2}=5*1+7*1=12. \Delta g_{d}=\frac{152-12}{70}+1-2=1.$ .
$e)5a+11b=5C_{1}+11C_{2}=152-\left [ \frac{152}{110} \right ]*110=42. 5C_{1}+11C_{2}=5*4+11*2=42.Но т.к. C_{i}=2k+1-$ .не чётно, то решение будет $5(C_{1}+11)+11(C_{2}+5)=5*15+11*7=75+77=152. \Delta g_{e}=\frac{152-152}{2*5*11}+1-0=1.$ .
$f)7a+11b=7C_{1}+11C_{2}=152-\left [ \frac{152}{2*7*11} \right ]*154=152-0=152=7*17+11*3=119+33=152. \Delta g_{f}=\frac{152-152}{154}+1-0=1.$ . Тогда $g_{A}=\Delta g_{a}+\Delta g_{b}+\Delta g_{c}+\Delta g_{d}+\Delta g_{e}+\Delta g_{f}=4+3+2+1+1+1=12.$ . Определим количество комбинаций учтённых дважды. Значение d=1 при С_{4}=1, в остальных случаях d=0. $a)3*5*C_{3}+7C_{4}=15*5+7*11=152-\left [ \frac{152}{2*3*5*7} \right ]*210=152.\Delta g{_{a}}=\frac{152-152}{210}+1-0=1.$ $b)3*7*C{_{3}}+5C_{4}=21*7+5*1=147+5=152. \Delta g{_{b}}=\frac{152-152}{210}+1-1=0. C{_{4}}=1=> d=1.$ $c) 5*7*C{_{3}}+3C_{4}=35*1+3*39=35+117=152. \Delta g{_{c}}=\frac{152-152}{210}+1-0=1.$ $d)3*5*C{_{3}}+11C_{4}=15*5+11*7=152-\left [ \frac{152}{2*3*5*11} \right ]*330=152. \Delta g{_{d}}=\frac{152-152}{330}+1-0=1.$ $e)3*11*C{_{3}}+5C_{4}=33*4+5*4=152.$ Решения нет т.к. $C_{i}=2k+1. \Delta g{_{e}}=0.$ $f)5*11*C{_{3}}+3C_{4}=55*2+3*14=152-\left [ \frac{152}{2*3*5*11} \right ]*330=152.\Delta g{_{f}}=0.$ $g)3*7*C{_{3}}+11C_{4}=21*2+11*10=152. \Delta g{_{g}}=0.$ $h)3*11*C{_{3}}+7C_{4}=33*1+7*17=152. \Delta g{_{h}}=\frac{152-152}{2*3*11*7}+1-0=1.$ $k)7*11*C{_{3}}+3C_{4}=77*1+3*25=152. \Delta g{_{k}}=\frac{152-152}{2*3*11*3}+1-0=1.$ $l)5*7*C{_{3}}+11C_{4}=35*(-1)+11*17=-35+187$ , решения нет, $\Delta g{_{l}}=0. m)5*11*C{_{3}}+11C_{4}=55*2+7*6=110+42=152.$ решения нет, $\Delta g{_{m}}=0.$ $n)7*11*C{_{3}}+5C_{4}=77*1+5*15=152.\Delta g{_{n}}=\frac{152-152}{2*7*11*5}+1-0=1.$ Тогда $g{B}=\Delta g{_{a}}+\Delta g{_{b}}+\Delta g{_{c}}+\Delta g{_{d}}+\Delta g{_{e}}+\Delta g{_{f}}+\Delta g{_{g}}+\Delta g{_{h}}+\Delta g{_{k}}+\Delta g{_{l}}+\Delta g{_{m}}+\Delta g{_{}}=1+0+1+1+0+0+0+1+1+0+0+1=6.$ C)Теперь можем применить следствие достаточного признака наличия разложения чётного числа на сумму двух простых чисел. $G{\cdot }=g_{A}-g_{B}=12-6=6> \frac{M}{2}-\pi \left ( 2M \right )=\frac{76}{2}-36=2.$ Т.е. число 2M=152 разлогается на сумму двух простых чисел и число таких разложений $R\geq 6-2=4.$ D)Далее, определим точное количество разложений числа 2M=152 на сумму пар простых чисел. Определим потери от значений по пункту (B). $a)3*5*7C_{5}+11C_{6}=105C_{5}+7C_{6}=152, C_{5}=1, C_{6}=\frac{152-105}{11}=\frac{47}{11}$ дробное число и тогда $\Delta g_{a}=0.$ $b)3*5*11C_{5}+7*C_{6}=165C_{5}+7C_{6}> 152. \Delta g_{b}=0. c)$ и все остальные сочетания > 152, следовательно $\Delta g_{c}=0. g_{D}=0$
E)далее $a)3*5*C_{5}+7*11C_{6}=15*5+77*1=152. \Delta g_{a}=\frac{152-152}{2*3*5*7*11}+1=1.$ $b)3*7C_{5}+5*11C_{6}=21*2+55*2=42+110=152. C_{i}\not\equiv 2k, \Delta g_{b}=0.$ $c)3*11C_{5}+5*7C_{6}=33C_{5}+35C_{6}=152.$ т.к. должно быть $C_{6}\leq 4,$ то нет решений. $\Delta g_{c}=0.$ Тогда $g_{E}=1+0+0=1.$ Общее количество разложений на сумму двух составных чисел значения 2M будет $G=g_{A}-g_{B}+g_{D}+g_{E}=12-6+0+1=7.$ Точное количество разложений числа 2M=152 на сумму пар простых чисел будет $R=G+\pi \left ( 2M \right )-\frac{M^{\cdot }}{2}=7+36-38=5.$ Представим для наглядности эти значения, 1+151=3+149=13+139=43+109=73+79=152. (Значения типа 1+151 считать, как пара простых чисел).

Добавлено спустя 1 день 53 минуты 25 секунд:
Re: Количество разлажений чётных значений на сумму двух простых
5 строка читать - R количество пар простых чисел,сумма которых равна 2M на интервале $\left [ 1;2M \right ]$ ; предпоследняя строка читать- промежуточные суммы составных пар не чётных чисел G^{\cdot }, сумма которых равна 2M, превысила разность между половиной не чётных чисел и количеством простых чисел на промежутке $\left [ 1;2M \right ]$

Добавлено спустя 2 дня 4 часа 54 минуты 15 секунд:
Re: Количество разлажений чётных значений на сумму двух простых
ТАБЛИЦА ПРИМЕРОВ КОЛИЧЕСТВА РАЗЛОЖЕНИЯ ЧЁТНОГО ЗНАЧЕНИЯ 2M НА СУММУ ДВУХ СОСТАВНЫХ (G) И СУММУ ДВУХ ПРОСТЫХ (R) ЧИСЕЛ
2M M^*/2 π(2M) G R
64 16 18 3 5
96 24 24 7 7
116 29 30 5 6
124 31 30 6 5
126 31 30 11 10
128 31 31 5 4
130 32 31 8 7
148 37 34 8 5
164 41 38 9 6
168 42 39 17 14
192 48 43 17 12
220 55 47 17 9
256 64 54 18 8
272 68 58 18 8
288 72 61 28 17
320 80 66 25 11
384 96 76 40 20
512 128 97 42 11
924 231 157 121 47
1024 256 172 106 22
122 30 30 4 4
134 33 32 7 6
136 34 32 7 5
152 38 36 7 5 286 72 61 23 12

Количество разлажений чётных значений на сумму двух простых