Аннотация. В этой работе рассмотрен поиск простых чисел и простых чисел – близнецов.
Annotation. This paper examines the search for prime numbers and prime number twins.
Ключевые слова: простые числа; составные числа; простые числа – близнецы; поиск; формула; алгоритм
Keywords: prime numbers; composite numbers; twin prime numbers; search; formula; algorithm
УДК 511
Введение. Простые числа – близнецы, это такие пары простых чисел, где простое число отличается от другого простого числа в паре на 2 единицы. Поиск простых чисел - близнецов в выбранном интервале заключается в том, что сначала находят все простые числа в этом интервале, а потом у рядом стоящих простых чисел ищут разницу, равной 2.
Для поиска простых чисел применяют классический и эффективный метод (Решето Эратосфена)[1].
Для поиска простых чисел применяются так же формулы, но они по структуре сложные и в вычислительном отношении очень медленные, их с успехом заменяют алгоритмы [2].
В работе [3] с помощью решета Вдовина осуществляется отбор простых и составных чисел, через выборку решетом находятся простые числа - близнецы. Идея заключается в том, чтобы выбрать составные числа через их идентификаторы или порядковые номера в ряду. Автор сравнивает, решето Вдовина с изменённым решетом Сундарама.
В работе [4] исследовались простые числа – близнецы, взятые из интернет ресурсов. Особое внимание уделялось исследованию структур чисел – близнецов 4 и 5 рядом стоящих пар чисел - близнецов. В работе упоминается формула, что пары близнецов имеют вид 6n + - 1(n – натуральное число), но учитывая, делимость на 5, уходит к другим формулам. Формулы не исследуются и остаются, только приведёнными.
В работе [5] автор предлагает формулу поиска простых чисел: X = 10n+1 и использование окончаний простых чисел. Составляются матрицы, а на их основе строятся таблицы. Создаются алгоритмы нахождения столбцов и строк в таблицах. Приводятся примеры, что количество операций поиска простого числа уменьшается, но сомнительным остаётся неоправданная сложность и большая подготовительная работа.
В работе [6] для поиска простых чисел - близнецов применён специальный объект, так называемый гребень. Образно, это можно представить, как расчёску с удалёнными зубьями, кроме тех, которые стоят напротив простых чисел – близнецов. Двигая такую расчёску по натуральному ряду, в зависимости от размера расчёски, в некотором интервале, находим простые числа – близнецы.
Из приведённых выше работ, поиск и исследование простых чисел и простых чисел – близнецов остаётся сложным процессом и малоисследованным.
Актуальность предлагаемой работы очевидна и результаты исследования в этой области внесут вклад в развитие теории чисел.
Цель работы, найти формулы, алгоритмы для поиска простых чисел и простых чисел – близнецов.
Научная новизна представленной работы основана на поиске и исследовании простых чисел и простых чисел – близнецов, а так же составных чисел, которые найдены по тем же формулам, алгоритмам , что и простые числа и простые числа – близнецы.
Исследований таких не проводилось, а поиск простых чисел близнецов в основном сводиться к нахождению простых чисел в определённом интервале и отбора простых чисел – близнецов по разнице между ними равной 2.
Для одновременного поиска пары простых чисел – близнецов возьмём основную пару простых чисел – близнецов 5 и 7, и самую короткую формулу, алгоритм поиска: 5 + 6n; 7+6n, где n – порядковый номер. Поиск простых чисел и простых чисел близнецов ведём одновременно системой. Почему выбрали за начальный отсчёт пару простых чисел близнецов 5 и 7 , а не 3 и 5, на это указывает следующий пример:
3 + 6 = 9 ; 5 + 6 = 11
9 + 6 = 15; 11+ 6 = 17
15 + 6 = 21; 17 + 6 = 23 и т. д.
Мы видим пропущенные пары простых чисел – близнецов: 5 – 7; 11 – 13; 17 – 19. Из трёх примеров, три пары простых чисел – близнецов пропущены. Этот пример показывает, как важно выбрать начальную точку отсчёта.
При поиске простых чисел и простых чисел – близнецов, каждую пару записываем под одним порядковым номером, в круглых скобках записываем простые числа, числа составные не записываем, а отмечаем 0.
Принимаем интервал поиска от 1 до 1000, где до начала отсчёта поиска есть ещё простые числа: 1, 2, 3. Некоторые не согласны, что 1 простое число, на эту работу это не влияет.
1. 5 + 6 = 11; 7 + 6 = 13; (11, 13)
2. 11+ 6 = 17; 13 + 6 = 19; (17, 19)
3. 17 + 6 = 23; 19 + 6 = 25; (23, 0)
4. 23 + 6 = 29; 25+6 + 31; (29, 31)
5. 29 + 6 = 35; 31+ 6 = 37; (0, 37)
6. 35 + 6 = 41; 37 + 6 = 43; (41, 43)
7. 41 + 6 = 47; 43 + 6 = 49; (47, 0)
8. 47 + 6 = 53; 49 + 6 = 55; (53, 0)
9. 53 + 6 = 59; 55 + 6 + 61; (59, 61)
10. 59 + 6 = 65; 61 + 6 = 67; (0, 67)
11. 65 + 6 = 71; 67 + 6 = 73; (71, 73)
12. 71 + 6 = 77; 73 + 6 = 79; (0, 79)
13. 77 + 6 = 83: 79 + 6 = 85; (83, 0)
14. 83 + 6 = 89; 85 + 6 = 91; (89, 0)
15. 89 + 6 = 95; 91 + 6 = 97; (0, 97)
16. 95 + 6 = 101; 97 + 6 = 103; (101, 103)
17. 101 + 6 = 107; 103 + 6 = 109; (107, 109)
18. 107 + 6 = 113; 109 + 6 = 115; (113, 0)
19. 113 + 6 = 119; 115 + 6 = 121; (0, 0)
20. 119 + 6 = 125; 121 + 6 = 127; (0, 127)
21. 125 + 6 = 131; 127 + 6 = 133; (131; 0)
22. 131 + 6 = 137; 133 + 6 = 139; (137, 139)
23. 137 + 6 = 143; 139 + 6 = 145; (0, 0)
24. 143 + 6 = 149; 145 + 6 = 151; (149; 151)
25. 149 + 6 = 155; 151 + 6 = 157; ( 0, 157)
26. 155 + 6 = 161; 157 + 6 = 163; (0, 163)
27. 161 + 6 = 167; 163 + 6 = 169; (167, 0)
28. 167 + 6 = 173; 169 + 6 = 175; (173, 0)
29. 173 + 6 = 179; 175 + 6 = 181; (179, 181)
30. 179 + 6 = 185; 181 + 6 = 187; (0, 0)
31. 185 + 6 = 191; 187 + 6 = 193; (191, 193)
32. 191 + 6 = 197; 193 + 6 = 199; (197, 199)
33. 197 + 6 = 203; 199 + 6 = 205; ( 0, 0)
34. 203 + 6 = 209; 205 + 6 = 211; (0, 211)
35. 209 + 6 = 215; 211 + 6 = 217; (0, 0)
36. 215 + 6 = 221; 217 + 6 = 223; (0, 223)
37. 221 + 6 = 227; 223 + 6 = 229; (227, 229)
38. 227 + 6 = 233; 229 + 6 = 235; (233, 0)
39. 233 + 6 = 239; 235 + 6 = 241; (239, 241)
40. 239 + 6 = 245; 241 + 6 = 247; (0, 0)
41. 245 + 6 = 251; 247 + 6 = 253; (251, 0)
42. 251 + 6 = 257; 253 + 6 = 259: ( 257, 0)
43. 257 + 6 = 263; 259 + 6 = 265; (263, 0)
44. 263 + 6 = 269; 265 + 6 = 271; (269, 271)
45. 269 + 6 = 275; 271 + 6 = 277; (0, 277)
46. 275 + 6 = 281; 277 + 6 = 283; (281, 283)
47. 281 + 6 = 287; 283 + 6 = 289; (0, 0)
48. 287 + 6 = 293; 289 + 6 = 295; (293, 0)
49. 293 + 6 = 299; 295 + 6 = 301; (0, 0)
50. 299 + 6 = 305; 301 + 6 = 307; (0, 307)
51. 305 + 6 = 311: 307 + 6 = 313; (311, 313)
52. 311 + 6 = 317; 313 + 6 = 319; (317, 0)
53. 317 + 6 = 323; 319 + 6 = 325; (0, 0)
54. 323 + 6 = 329; 325 + 6 = 331; (0, 331)
55. 329 + 6 = 335; 331 + 6 = 337; (0, 337)
56. 335 + 6 = 341; 337 + 6 = 343; (0, 0)
57. 341 + 6 = 347: 343 + 6 = 349; (347, 349)
58. 347 + 6 = 353; 349 + 6 = 355; (353, 0)
59. 353 + 6 = 359; 355 + 6 = 361; (359, 0)
60. 359 + 6 = 365; 361 + 6 = 367; (0, 367)
61. 365 + 6 = 371; 367 + 6 = 373; (0, 373)
62. 371 + 6 = 377; 373 + 6 = 379; (0, 379)
63. 377 + 6 = 383; 379 + 6 = 385; (383, 0)
64. 383 + 6 = 389; 385 + 6 = 391; (389, 0)
65. 389 + 6 = 395; 391 + 6 = 397; (0, 397)
66. 395 + 6 = 401; 397 + 6 = 403; (401, 0)
67. 401 + 6 = 407; 403 + 6 = 409; (0, 409)
68. 407 + 6 = 413; 409 + 6 = 415; (0, 0)
69. 413 + 6 = 419; 415 + 6 = 421; (419, 421)
70. 419 + 6 = 425; 421 + 6 = 427; (0, 0)
71. 425 + 6 = 431; 427 + 6 = 433; (431, 433)
72. 431 + 6 = 437; 433 + 6 = 439; (0, 439)
73. 437 + 6 = 443; 439 + 6 = 445; (443, 0)
74. 443 + 6 = 449; 445 + 6 = 451; (449, 0)
75. 449 + 6 = 455; 451 + 6 = 457; (0, 457)
76. 455 + 6 = 461; 457 + 6 = 463; (461, 463)
77. 461 + 6 = 467; 463 + 6 = 469; (467, 0)
78. 467 + 6 = 473; 469 + 6 = 475; (0, 0)
79. 473 + 6 = 479; 475 + 6 = 481; (479, 0)
80. 479 + 6 = 485; 481 + 6 = 487; (0, 487)
81. 485 + 6 = 491; 487 + 6 = 493; (491, 0)
82. 491 + 6 = 497; 493 + 6 = 499; (499, 0)
83. 497 + 6 = 503; 499 + 6 = 505; (503, 0)
84. 503 + 6 = 509; 505 + 6 = 511; (509, 0)
85. 509 + 6 = 515; 511 + 6 = 517; (0, 0)
86. 515 + 6 = 521; 517 + 6 = 523; (521, 523)
87. 521 + 6 = 527; 523 + 6 = 529; (0, 0)
88. 527 + 6 = 533; 529 + 6 = 535; (0, 0)
89. 533 + 6 = 539; 535 + 6 = 541; (0, 541)
90. 539 + 6 = 545; 541 + 6 = 547; (0, 547)
91. 545 + 6 = 551; 547 + 6 = 553; (0, 0)
92. 551 + 6 = 557; 553 + 6 = 559; (557, 0)
93. 557 + 6 = 563; 559 + 6 = 565; (563, 0)
94. 563 + 6 = 569; 565 + 6 = 571; (569, 571)
95. 569 + 6 = 575; 571 + 6 = 577; (0, 577)
96. 575 + 6 = 581; 577 + 6 = 583; (0, 0)
97. 581 + 6 = 587; 583 + 6 = 589; (587, 0)
98. 587 + 6 = 593; 589 + 6 = 595; (593, 0)
99. 593 + 6 = 599; 595 + 6 = 601; (599, 601)
100. 599 + 6 = 605; 601 + 6 = 607; (0, 607)
101. 605 + 6 = 611; 607 + 6 + 613; (0, 613)
102. 611 + 6 = 617; 613 + 6 = 619; (617, 619)
103. 617 + 6 = 623; 619 + 6 = 625; (0, 0)
104. 623 + 6 = 629; 625 + 6 = 631; (0, 631)
105. 629 + 6 = 635; 631 + 6 = 637; (0, 0)
106. 635 + 6 = 641; 637 + 6 = 643; (641, 643)
107. 641 + 6 = 647; 643 + 6 = 649; (647, 0)
108. 647 + 6 = 653; 649 + 6 = 655; (653, 0)
109. 653 + 6 = 659; 655 + 6 = 661; (659, 661)
110. 659 + 6 = 665; 661 + 6 = 667; (0, 0)
111. 665 + 6 = 671; 667 + 6 = 673; (0, 673)
112. 671 + 6 = 677: 673 + 6 = 679; (677, 0)
113. 677 + 6 = 683; 679 + 6 = 685; (683, 0)
114. 683 + 6 = 689; 685 + 6 = 691; (0, 691)
115. 689 + 6 = 695; 691 + 6 = 697; (0, 0)
116. 695 + 6 = 701; 697 + 6 = 703; (701, 0)
117. 701 + 6 = 707; 703 + 6 = 709; (0, 709)
118. 707 + 6 = 713; 709 + 6 = 715; (0, 0)
119. 713 + 6 = 719; 715 + 6 = 721; (719, 0)
120. 719 + 6 = 725; 721 + 6 = 727; (0, 727)
121. 725 + 6 = 731; 727 + 6 = 733; (0, 733)
122. 731 + 6 = 737; 733 + 6 = 739; (0, 739)
123. 737 + 6 + 743; 739 + 6 = 745; (743, 0)
124. 743 + 6 = 749; 745 + 6 = 751; (0, 751)
125. 749 + 6 = 755; 751 + 6 = 757; (0, 757)
126. 755 + 6 = 761; 757 + 6 = 763; (761, 0)
127. 761 + 6 = 767; 763 + 6 = 769; (0, 769)
128. 767 + 6 = 773; 769 + 6 = 775; (773, 0)
129. 773 + 6 = 779; 775 + 6 = 781; (0, 0)
130. 779 + 6 = 785; 781 + 6 = 787; (0, 787)
131. 785 + 6 = 791; 787 + 6 = 793; (0, 0)
132. 791 + 6 = 797; 793 + 6 = 799; (797, 0)
133. 797 + 6 = 803; 799 + 6 = 805; (0, 0)
134. 803 + 6 = 809; 805 + 6 = 811; (809, 811)
135. 809 + 6 = 815; 811 + 6 = 817; (0, 0)
136. 815 + 6 = 821; 817 + 6 = 823; (821, 823)
137. 821 + 6 = 827; 823 + 6 = 829; (837, 829)
138. 827 + 6 = 833; 829 + 6 = 835; (0, 0)
139. 833 + 6 = 839; 835 + 6 = 841; (839, 0)
140. 839 + 6 = 845; 841 + 6 = 847; (0, 0)
141. 845 + 6 = 851; 847 + 6 = 853; (0, 853)
142. 851 + 6 = 857; 853 + 6 = 859; (857, 859)
143. 857 + 6 = 863; 859 + 6 = 865; (863, 0)
144. 863 + 6 = 869; 865 + 6 = 871; (0, 0)
145. 869 + 6 = 875; 871 + 6 = 877; (0, 877)
146. 875 + 6 = 881; 877 + 6 = 883: (881, 883)
147. 881 + 6 = 887; 883 + 6 = 889: (887, 0)
148. 887 + 6 = 893; 889 + 6 = 895; (0, 0)
149. 893 + 6 = 899; 895 + 6 = 901; (0, 0)
150. 899 + 6 = 905; 901 + 6 = 907; (0, 907)
151. 905 + 6 = 911; 907 + 6 = 913; (911, 0)
152. 911 + 6 = 917; 913 + 6 = 919; (0, 919)
153. 917 + 6 = 923; 919 + 6 = 925: (0, 0)
154. 923 + 6 = 929; 925 + 6 = 931; (929, 0)
155. 929 + 6 = 935; 931 + 6 = 937; (0, 937)
156. 935 + 6 = 941; 937 + 6 = 943; (941, 0)
157. 941 + 6 = 947; 943 + 6 = 949; (947, 0)
158. 947 + 6 = 953; 949 + 6 = 955; (953, 0)
159. 953 + 6 = 959; 955 + 6 = 961; (0, 0)
160. 959 + 6 = 965; 961 + 6 = 967; (0, 967)
161. 965 + 6 = 971; 967 + 6 = 973; (971, 0)
162. 971 + 6 = 977; 973 + 6 = 979; (977, 0)
163. 977 + 6 = 983; 979 + 6 = 985; (983, 0)
164. 983 + 6 = 989; 985 + 6 = 991; (0, 991)
165. 989 + 6 = 995; 991 + 6 = 997; (0, 997)
Всего, на интервале от 5 до 1000, при поиске отобрано 165 пар, из них простых пар чисел – близнецов 33 пары плюс начальная пара 5 - 7, составных пар чисел 34, и 98 пар чисел, где одно простое число другое число составное. Всего простых чисел в интервале от 1 до 1000: 33*2 + 1*2(5-7) + 98 + 3 (1,2,3) = 169
Списочный состав простых чисел 168, где не учитывается простым числом 1.
Система: 5 + 6n; 7+6n, где n – порядковый номер,- идеальная поисковая система для простых чисел, исследована на интервале от 1 до 1000, и на этом интервале не пропущено не одного простого числа и не одной пары чисел – близнецов.
1. 5 + 6 = 11; 7 + 6 = 13; (11, 13)
2. 11+ 6 = 17; 13 + 6 = 19; (17, 19)
3. 23 + 6 = 29; 25+6 + 31; (29, 31)
4. 35 + 6 = 41; 37 + 6 = 43; (41, 43)
5. 53 + 6 = 59; 55 + 6 + 61; (59, 61)
6. 65 + 6 = 71; 67 + 6 = 73; (71, 73)
7. 95 + 6 = 101; 97 + 6 = 103; (101, 103)
8. 101 + 6 = 107; 103 + 6 = 109; (107, 109)
9. 131 + 6 = 137; 133 + 6 = 139; (137, 139)
10. 143 + 6 = 149; 145 + 6 = 151; (149; 151)
11. 173 + 6 = 179; 175 + 6 = 181; (179, 181)
12. 185 + 6 = 191; 187 + 6 = 193; (191, 193)
13. 191 + 6 = 197; 193 + 6 = 199; (197, 199)
14. 221 + 6 = 227; 223 + 6 = 229; (227, 229)
15. 233 + 6 = 239; 235 + 6 = 241; (239, 241)
16. 263 + 6 = 269; 265 + 6 = 271; (269, 271)
17. 275 + 6 = 281; 277 + 6 = 283; (281, 283)
18. 305 + 6 = 311: 307 + 6 = 313; (311, 313)
19. 341 + 6 = 347: 343 + 6 = 349; (347, 349)
20. 413 + 6 = 419; 415 + 6 = 421; (419, 421)
21. 425 + 6 = 431; 427 + 6 = 433; (431, 433)
22. 455 + 6 = 461; 457 + 6 = 463; (461, 463)
23. 515 + 6 = 521; 517 + 6 = 523; (521, 523)
24. 563 + 6 = 569; 565 + 6 = 571; (569, 571)
25. 593 + 6 = 599; 595 + 6 = 601; (599, 601)
26. 611 + 6 = 617; 613 + 6 = 619; (617, 619)
27. 635 + 6 = 641; 637 + 6 = 643; (641, 643)
28. 653 + 6 = 659; 655 + 6 = 661; (659, 661)
29. 803 + 6 = 809; 805 + 6 = 811; (809, 811)
30. 815 + 6 = 821; 817 + 6 = 823; (821, 823)
31. 821 + 6 = 827; 823 + 6 = 829; (837, 829)
32. 851 + 6 = 857; 853 + 6 = 859; (857, 859)
33. 875 + 6 = 881; 877 + 6 = 883: (881, 883)
13 пар простых чисел – близнецов имеют окончания 1,3
11 пар простых чисел – близнецов имеют окончание 9 -1
9 пар простых чисел – близнецов имеют окончание 7- 9
У простых чисел – близнецов нет других пар с окончаниями: 7 - 3 , 9 - 3
Всего отобрано 34 пары простых чисел – близнецов; найдено 33 и плюс 1начальная пара 5 – 7.
Приведём составные числа в паре, полученные этой поисковой системой:
1. 113 + 6 = 119; 115 + 6 = 121; (0, 0)
2. 137 + 6 = 143; 139 + 6 = 145; (0, 0)
3. 179 + 6 = 185; 181 + 6 = 187; (0, 0)
4. 197 + 6 = 203; 199 + 6 = 205; ( 0, 0)
5. 209 + 6 = 215; 211 + 6 = 217; (0, 0)
6. 239 + 6 = 245; 241 + 6 = 247; (0, 0)
7. 281 + 6 = 287; 283 + 6 = 289; (0, 0)
8. 293 + 6 = 299; 295 + 6 = 301; (0, 0)
9. 317 + 6 = 323; 319 + 6 = 325; (0, 0)
10. 335 + 6 = 341; 337 + 6 = 343; (0, 0)
11. 407 + 6 = 413; 409 + 6 = 415; (0, 0)
12. 419 + 6 = 425; 421 + 6 = 427; (0, 0)
13. 467 + 6 = 473; 469 + 6 = 475; (0, 0)
14. 509 + 6 = 515; 511 + 6 = 517; (0, 0)
15. 521 + 6 = 527; 523 + 6 = 529; (0, 0)
16. 527 + 6 = 533; 529 + 6 = 535; (0, 0)
17. 545 + 6 = 551; 547 + 6 = 553; (0, 0)
18. 575 + 6 = 581; 577 + 6 = 583; (0, 0)
19. 617 + 6 = 623; 619 + 6 = 625; (0, 0)
20. 629 + 6 = 635; 631 + 6 = 637; (0, 0)
21. 659 + 6 = 665; 661 + 6 = 667; (0, 0)
22. 689 + 6 = 695; 691 + 6 = 697; (0, 0)
23. 707 + 6 = 713; 709 + 6 = 715; (0, 0)
24. 773 + 6 = 779; 775 + 6 = 781; (0, 0)
25. 785 + 6 = 791; 787 + 6 = 793; (0, 0)
26. 797 + 6 = 803; 799 + 6 = 805; (0, 0)
27. 809 + 6 = 815; 811 + 6 = 817; (0, 0)
28. 827 + 6 = 833; 829 + 6 = 835; (0, 0)
29. 839 + 6 = 845; 841 + 6 = 847; (0, 0)
30. 863 + 6 = 869; 865 + 6 = 871; (0, 0)
31. 887 + 6 = 893; 889 + 6 = 895; (0, 0)
32. 893 + 6 = 899; 895 + 6 = 901; (0, 0)
33. 917 + 6 = 923; 919 + 6 = 925: (0, 0)
34. 953 + 6 = 959; 955 + 6 = 961; (0, 0)
В 17 парах чисел имеется окончание 5, это составляет 50 процентов.
Обращаем внимание, на то, что количество пар простых чисел – близнецов и количество пар составных чисел оказалось равным по 34 пары.
1. 119 / 7 = 17 121 / 11 = 11
2. 143 / 11 = 13 145 / 5 = 29
3. 185 / 5 = 37 187 / 11 = 17
4. 203 / 7 = 29 205 / 5 = 41
5. 215 / 5 = 43 217 / 7 = 31
6. 245 / 5 = 49 247 / 13 = 19
7. 287 / 7 = 41 289 / 17 = 17
8. 299 / 13 = 23 301 / 7 = 43
9. 323 / 17 = 19 325 / 5 = 65
10. 341 / 11 = 31 343 / 7 = 49
11. 413 / 7 = 59 415 / 5 = 83
12. 425 / 5 = 85 427 / 7 = 61
13. 473 / 11 = 43 475 / 5 = 95
14. 515 / 5 = 103 517 / 11 = 47
15. 527 / 17 = 31 529 / 23 = 23
16. 533 / 13 = 41 535 / 5 = 107
17. 551 / 19 = 29 553 / 7 = 79
18. 581 / 7 = 83 583 / 11 = 53
19. 623 / 7 = 89 625 / 5 = 125
20. 635 / 5 = 127 637 / 7 = 91
21. 665 / 5 = 133 667 / 23 = 29
22. 695 / 5 = 139 697 / 17 = 41
23. 713 / 23 = 31 715 / 5 = 143
24. 779 /19 = 41 881 / 11 = 71
25. 791 / 7 = 113 793 / 13 = 61
26. 803 / 11 = 73 805 / 5 = 161
27. 815 / 5 = 163 817 / 19 = 43
28. 833 / 7 = 119 835 / 5 = 167
29. 845 / 5 = 169 847 / 7 = 121
30. 869 / 11 = 79 871 / 13 = 67
31. 893 / 19 = 47 895 / 5 = 179
32. 899 / 29 = 31 901 / 17 = 53
33. 923 / 13 = 71 925 / 5 = 185
34. 959 / 7 = 137 961 / 31 = 31
Делители составных чисел: 5, 7, 11,13, 17, 23, 29, 31
Составные пары чисел и простые пары чисел - близнецов на данном интервале имеют почти симметричное (зеркальное) дополнение:
1. 959 + 11 = 970 961 + 13 = 974
2. 923 + 17 = 940 925 + 19 = 944
3. 899 + 29 = 928 901 + 31 = 932
4. 893 + 41 = 934 895 + 43 = 938
5. 869 + 59 = 928 871 + 61 = 932
6. 845 + 71 = 916 847 + 73 = 920
7. 833 + 101 = 934 835 + 103 = 938
8. 815 + 107 = 922 817 + 109 = 926
9. 803 + 137 = 940 805 + 139 = 944
10. 791 + 149 = 940 793 + 151 = 944
11. 779 + 179 = 958 781 + 181 = 962
12. 713 + 191 = 904 715 + 193 = 908
13. 695 + 197 = 892 697 + 199 = 896
14. 665 + 227 = 892 667 + 229 = 896
15. 635 + 239 = 874 637 + 241 = 878
16. 623 + 269 = 892 625 + 271 = 896
17. 581 + 281 = 862 583 + 283 = 866
18. 551 + 311 = 862 553 + 313 = 866
19. 533 + 347 = 880 535 + 349 = 884
20. 527 + 419 = 946 529 + 421 = 950
21. 515 + 431 = 946 517 + 433 = 950
22. 473 + 461 = 934 475 + 463 = 938
23. 425 + 521 = 946 427 + 523 = 950
24. 413 + 569 = 982 415 + 571 = 986
25. 341 + 599 = 940 343 + 601 = 944
26. 323 + 617 = 940 325 + 619 = 944
27. 299 + 641 = 940 301 + 643 = 944
28. 287 + 659 = 946 289 + 661 = 950
29. 245 + 809 = 1054 247 + 811 = 1058
30. 215 + 821 = 1036 217 + 823 = 1040
31. 203 + 827 = 1030 205 + 829 = 1034
32. 185 + 857 = 1042 187 + 859 = 1046
33. 143 + 881 = 1024 145 + 883 = 1028
119 + (881) = (1000) 121 + (883) = (1004)
143 + 857 = 1000 145 + 859 = 1004
185 + 827 = 1012 187 + 829 = 1016
203 + 821 = 1024 205 + 823 = 1028
203 + 809 = 1012 205 + 811 = 1016
215 + 809 = 1024 217 + 811 = 1028
Очевидно, что с помощью комбинаторики, можно получить результаты с большими совпадениями сумм чисел.
Заключение. Найдена поисковая система простых чисел и пар простых чисел – близнецов. На исследуемом интервале не пропущено не одного простого числа и не одной пары чисел – близнецов.
Выводы. Система поиска простых чисел и пар простых чисел - близнецов оказалась надёжной. Кроме того при поиске отобраны пары составных чисел, которых оказалось такое же количество, что и пар чисел – близнецов. При этом между этими парами просматривается некоторая симметрия, что требует дальнейших исследований.
Библиографический список:
1. Решето Эратосфена — Википедия [Электронный ресурс] – URL:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Решето_Эратосфена?ysclid=muuybs72oo58635487 (дата обращения: 06.10.2026)
2. Formula for primes – Wikipedia [Электронный ресурс] – URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes (дата обращения: 06.10.2026)
3. Тайна чисел‑близнецов [Электронный ресурс] – URL:
https://www.pvsm.ru/prosty-e-chisla/459032 (дата обращения: 06.10.2026)
4. Исследование близнецов и структур близнецов простых чисел в интервалах до 1000000000 [Электронный ресурс] – URL:
https://nvjournal.ru/article/Issledovan ... 000000000/ (дата обращения: 06.10.2026)
5. Алгоритм построения простых чисел | Статья в журнале «Юный ученый» [Электронный ресурс] – URL:
https://moluch.ru/young/archive/59/3146 (дата обращения: 06.10.2026)
6. Братишка, ты цел?. Математики вплотную подошли к доказательству гипотезы о числах-близнецах [Электронный ресурс] – URL:
https://nplus1.ru/material/2015/11/06/twin-numbers (дата обращения: 06.10.2026)
07.10.2026 г. С уважением А.Т. Дудин.
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
