Техническая задача, теорема Ферма

Сергей

Техническая задача – теорема Ферма

Доказать что уравнение
$x^n + y^n = z^n$ (1)
при $n > 2$ $x \cdot y \cdot z \ne 0$
Не имеет решений в целых числах.
Порядок доказательства теоремы будет следующий.
Рассмотрим три частых случая
1) $n = 2$
2) $n = 2p$
3) $n = 2p + 1$
$x^2 + y^2 = z^2$ $x \cdot y \cdot z \ne 0$
Введём новое обозначение (d)
$z - x = d$ $x = z - d$
и получим
$\left( {z - d} \right)^2 + y^2 = z^2$
$z = \frac{{y^2 + d^2 }}{{2d}}$
$\frac{{2z}}{d} = \frac{{y^2 }}{{d^2 }} + 1$ (2)
В дальнейшем любое целое число будем обозначать буквой (с) 2=с z=c 4=c d=c
Так как нас интересует вид числа, а не его величина
Даём (y) в уравнении (2) последовательно значения всех целых чисел начиная с трёх
y=3,4,5,6,..... y=c y>2
Определить есть ли при данных значениях y =c y>2 такие целые значения
Z=C X=C
Которые все вместе являются решением уравнения
$x^2 + y^2 = z^2$
Обратим внимание на уравнение (2)
$\frac{{2z}}{d} = \frac{{y^2 }}{{d^2 }} + 1$
y=c y>2 - по условию
Что бы получить z=c необходимо выполнение условия
$\frac{{y^2 }}{{d^2 }} = c$
Такое условие обусловлено дальнейшим ходом доказательства.
Условие выполнимо при любом y=c y>2 Докажем это:
Если представить (y) в виде произведения простых сомножителей полученных при факторизации числа (y)
$y = y_1 y_2 y_3 ......y_m$
то число (d) должно быть произведением какой-то части этих сомножителей, например
$d = y_2 y_3$
И если в числе (y) есть простой множитель двойка он обязательно должен входить в сомножители числа (d) т.е.
Количество числовых значений (d) равно количеству простых множителей полученных при факторизации числа (y)плюс количество сочетаний из этих простых множителей, удовлетворяющих формуле
$\frac{{y^2 }}{{d^2 }} = c$
При обязательном условии (y) (d) должны быть одинаковой чётности.
Значит минус варианты, где простые множители или сочетания из простых множителей и (y) разной чётности.
Если (y) простое число d=1
Количество числовых значений (d) удовлетворяющих формуле
$\frac{{y^2 }}{{d^2 }} = c$
равно количеству решений уравнения
$x^2 + y^2 = z^2$
в целых числах, при (y) - фиксированное целое число.

2)

Рассмотрим второй частный случай теоремы
$x^n + y^n = z^n$
n=2p n>2
$x \cdot y \cdot z \ne 0$
Уравнение примет вид
$\left( {x^p } \right)^2 + \left( {y^p } \right)^2 = \left( {z^p } \right)^2$ - (3)
Буквой (d) обозначим разницу между числами
$z^p - x^p = d$
$x^p = z^p - d$
Подставим значение $\left( {x^p } \right)$
в уравнение
$\left( {z^p - d^p } \right)^2 + \left( {y^p } \right)^2 = \left( {z^p } \right)^2$
$z^p = \frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{2d}} + 0.5d$ - (4)
В первом частном случае мы доказали, что при любом y=c y>2 в уравнении (4) это
$\left( {y^p = c} \right)$
$\left( {y^p > 2} \right)$
в левой части уравнения можно получить целое число (c) при выполнении условия
$\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} = c$
Но получить в левой части уравнения (4) целое число (c) необходимо. Но недостаточно. Это целое число (c) должно быть степенью основания (z) при показателе степени (p) то есть
$z^p = c$
Но и этого недостаточно получив
$c = z^p$
необходимо что бы разница между числами
$z^p - d = c'$
была степенью основания (x) при показателе степени (p) т.е
$x^p = c'$
Мы не знаем, возможно ли это.
Предположим, что возможно и проверим предположение
$z^p = \frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{2d}} + 0.5 \cdot d$ - (4)
$x^p = \frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{2d}} - 0.5 \cdot d$ - (5)
Проверим равенства (4) и (5). Равенства, так как мы предположили, что есть такие значения x=c y=c z=c Которые являются решением уравнения
$x^n + y^n = z^n$
при n>2 n=2p
$x \cdot y \cdot z \ne 0$
Разделив левые и правые части равенств (4) и (5) на ( ) получим
$\frac{{2 \cdot z^p }}{d} = \frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1$ - (4)
$\frac{{2 \cdot x^p }}{d} = \frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1$ - (5)
Обратим внимание на правые части равенств (4 и 5)
$\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1$
$\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1$
Во первых это числа целые (c) так как мы выше заметили
$\frac{{y^p }}{d} = c$
это необходимое условие для решения квадратного уравнения Хотя и недостаточное в нашем случае
$\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1 = c$
$\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1 = c$
Разница между ними равна двум
$\left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] - \left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right] = 2$
Исходя из этого мы можем утверждать. Что эти два целых числа при разложении их на простые множители, не будут иметь одинаковых, простых множителей. Кроме случая, когда эти числа чётные, они будут иметь одинаковые, простые множители, но только двойки.
Вернёмся к равенствам (4) и (5)
$\frac{{2z^p }}{d} = \frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1$
$\frac{{2x^p }}{d} = \frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1$
$2z^p = \left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] \cdot d$
$2x^p = \left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right] \cdot d$
Числа (z) и(x) представим в виде произведения простых множителей
$z = \left( {z_1 z_2 z_3 ...z_n } \right)$
$x = \left( {x_1 x_2 x_3 ...x_m } \right)$
$z^p = \left( {z_1 z_2 z_3 ...z_n } \right)_1 \cdot \left( {z_1 z_2 z_3 ...z_n } \right)_2 \cdot ... \cdot \left( {z_1 z_2 z_3 ...z_n } \right)_p$
$x^p = \left( {x_1 x_2 x_3 ...x_m } \right)_1 \cdot \left( {x_1 x_2 x_3 ...x_m } \right)_2 \cdot ... \cdot \left( {x_1 x_2 x_3 ...x_m } \right)_p$
$z^p = \left[ {\left( {z_1 } \right)_1 \left( {z_1 } \right)_2 \left( {z_1 } \right)_3 ...\left( {z_1 } \right)_p } \right] \cdot \left[ {(z_2 )_1 (z_2 )_2 \left( {z_2 } \right)_3 ...\left( {z_2 } \right)_p } \right] \cdot ... \cdot \left[ {(z_n )_1 (z_n )_2 (z_n )_3 ...(z_n )_p } \right]$
$x^p = \left[ {(x_1 )_1 (x_1 )_2 (x_1 )_3 ...(x_1 )_p } \right] \cdot \left[ {(x_2 )_1 (x_2 )_2 (x_2 )_3 ...(x_2 )_p } \right] \cdot ... \cdot \left[ {(x_m )_1 (x_m )_2 (x_m )_3 ...(x_m )_p } \right]$
Полученные значения
$z^p$ и $x^p$
подставим в равенства (4) и (5)
$2 \cdot \left[ {\left( {z_1 } \right)_1 \left( {z_1 } \right)_2 \left( {z_1 } \right)_3 ...\left( {z_1 } \right)_p } \right] \cdot \left[ {(z_2 )_1 (z_2 )_2 \left( {z_2 } \right)_3 ...\left( {z_2 } \right)_p } \right] \cdot ... \cdot \left[ {(z_n )_1 (z_n )_2 (z_n )_3 ...(z_n )_p } \right] = \left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right) \cdot d$
$2 \cdot \left[ {(x_1 )_1 (x_1 )_2 (x_1 )_3 ...(x_1 )_p } \right] \cdot \left[ {(x_2 )_1 (x_2 )_2 (x_2 )_3 ...(x_2 )_p } \right] \cdot ... \cdot \left[ {(x_m )_1 (x_m )_2 (x_m )_3 ...(x_m )_p } \right] = \left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right) \cdot d$
В силу того, что числа $\left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right)$ и $\left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right)$ не имеют одинаковых, простых множителей кроме двоек, а простые множители, принадлежащие числу (d) они же и часть простых множителей чисел $z^p$ и $x^p$ повторяются в числах $z^p$ и $x^p$ (p) - раз. Это накладывает ограничения на выбор числа (d)
Каковы же могут быть значения числа (d)?
$1)d = c^{p - n^/ }$
Где $c = z_1 = x_1$ отсюда $z_1 = 2 = x_1$
$2)d = c^p$
Где $c = z_1 = x_1$ или $c = z_1 \cdot z_3 = x_1 \cdot x_3$
$3)d = c^p \cdot \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ }$
Где $c = z_1 = x_1$ $c_1 = z_2 = x_2 = 2$
Разумеется в первом случае как и в последующих значения $c = z_1 = x_1$ или $c = z_1 z_3 = x_1 x_3$ и так далее я взял произвольно, это могли быть и другие значения $c = z_2 = x_2$ и так далее
Нас интересует общий вид числа (d)
Случай когда в число (d) входит отдельный сомножитель двойка
$1)d = 2 \cdot c^{p - n^/ }$
$2)d = 2 \cdot c^p$
$3)d = 2 \cdot c^p \cdot \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ }$
рассматривать не будем отдельно, в ходе проверок покажем, что множитель (2) на результат не влияет.

Что бы было более наглядно, для каждого из трёх случаев значения числа (d) построим таблицу.

Таблица.JPG

Нажмите для увеличения.
Эти три случая охватывают в общем виде все значения числа (d) при которых в числах
$\left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right)$ и $\left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right)$
при разложении их на простые множители, не будет одинаковых простых множителей кроме двоек. Мы предполагаем, что это двойки.
Проверим, может ли иметь число (d) эти три значения, единственно возможные, при которых (возможна) сохраняется разница между числами $\left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right)$ и $\left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right)$ равная двум.
Ещё раз напомню (С) это любое целое число
1)
$d = c^{p - n^/ }$
$2 \cdot z^p = \left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] \cdot c^{p - n^/ }$ - (4)
$\left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] = \frac{{2z^p }}{{c^{p - n^/ } }} = \frac{{2z^p c^{n^/ } }}{{c^p }}$
$\frac{{z^p }}{{c^p }} = q^p$
где если $c = z_1$ то $q = \left( {z_2 z_3 ...z_n } \right)$
$\left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] = 2 \cdot q^p \cdot c^{n^/ }$
$d = \frac{{2 \cdot z^p }}{{2 \cdot q^p \cdot c^{n^/ } }} = \frac{{z^p }}{{q^p \cdot c^{n^/ } }}$ но $d = z^p - x^p$
$z^p - x^p = \frac{{z^p }}{{q^p \cdot c^{n^/ } }}$
$z^p - \frac{{z^p }}{{q^p \cdot c^{n^/ } }} = x^p$
$x^p = \frac{{z^p q^p c^{n^/ } - z^p }}{{q^p c^{n^/ } }}$
$x^p = z^p \frac{{q^p c^{n^/ } - 1}}{{q^p c^{n^/ } }}$
Разделим обе части равенства на $x^p$
$1 = \frac{{z^p }}{{x^p }}\frac{{q^p c^{n^/ } - 1}}{{q^p c^{n^/ } }}$
$\frac{{z^p }}{{x^p }} = \frac{{q^p c^{n^/ } - 1}}{{q^p c^{n^/ } }}$ - (6)
$d = c^{p - n^/ }$
$\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1 = \frac{{2x^p }}{{c^{p - n^/ } }} = \frac{{2x^p c^{n^/ } }}{{c^p }}$
$\frac{{x^p }}{{c^p }} = v^p$ где если, $c = x_1$ то $v = x_2 x_3 ...x_m$
$\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1 = 2v^p c^{n^/ }$
Отметим что $q^p = c$ $v^p = c$ - целые числа
$2z^p = \left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right) \cdot d = 2q^p c^{n^/ } c^{p - n^/ }$
$2x^p = \left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right) \cdot d = 2v^p c^{n^/ } c^{p - n^/ }$
$z^p = q^p c^{n^/ } c^{p - n^/ }$
$x^p = v^p c^{n^/ } c^{p - n^/ }$
Значения $z^p$ и $x^p$ подставим в равенство (6)
$\frac{{q^p c^{n^/ } c^{p - n^/ } }}{{v^p c^{n^/ } c^{p - n^/ } }} = \frac{{q^p c^{n^/ } }}{{q^p c^{n^/ } - 1}}$
$\frac{{q^p c^{n^/ } }}{{v^p c^{n^/ } }} = \frac{{q^p c^{n^/ } }}{{q^p c^{n^/ } - 1}}$ - $\left( {6^/ } \right)$
Если в равенстве $\left( {6^/ } \right)$ две дроби равны, а тем более равны и их числители , то должны быть равны и знаменатели
$v^p c^{n^/ } = q^p c^{n^/ } - 1$ - проверим
$1 = q^p c^{n^/ } - v^p c^{n^/ } = c^{n^/ } \left( {q^p - v^p } \right)$
$q^p - v^p = \frac{1}{{c^{n^/ } }}$
Как выше заметили $q^p = c$ $v^p = c$ $c^{n^/ } = c$ - целые числа. Значит знаменатели в равенстве $\left( {6^/ } \right)$ не равны. $q^p - v^p$ Из целого числа вычитаем целое, а в результате получаем дробное, что невозможно.
Отметим что $q^p - v^p \ne 1$
Вывод: Число (d) не может иметь значение $d = c^{p - n^/ }$
В Случае когда $d = 2 \cdot c^{p - n^/ }$ вывод тот же, так как равенство $\left( {6^/ } \right)$ примет вид
$v^p c^{n^/ } = q^p c^{n^/ } - 2$
$q^p - v^p = \frac{2}{{c^{n^/ } }}$
$\frac{2}{{c^{n^/ } }}$ - дробное число

2)

$d = c^p$
$\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1 = \frac{{2z^p }}{{c^p }} = 2q^p$
где - $\frac{z}{c} = q$ так как $c = z_1 z_3$
$c^p \frac{{2z^p }}{{2q^p }} = \frac{{z^p }}{{q^p }}$ ; $d = \frac{{z^p }}{{q^p }}$ ; $d = z^p - x^p$ ; $z^p - x^p = \frac{{z^p }}{{q^p }}$ ; $z^p - \frac{{z^p }}{{q^p }} = x^p$
$x^p = \frac{{z^p q^p - z^p }}{{q^p }} = \frac{{z^p \left( {q^p - 1} \right)}}{{q^p }} = \frac{{z^p }}{{q^p }}\left( {q^p - 1} \right) = c^p \left( {q^p - 1} \right)$
$x^p = c^p \left( {q^p - 1} \right)$ ; $\frac{{x^p }}{{c^p }} = q^p - 1$ ; $\frac{x}{c} = v$
так как $c = x_1 x_2$
$v^p = q^p - 1$ ; $q^p - v^p = 1$
Сделав преобразование видим что разница между числами $q^p$ и $v^p$ не может равняться единице. Так как разница между двумя числами при показателе степени n=2 $q^2 - v^2 = \left( {q + v} \right) \cdot \left( {q - v} \right)$ больше суммы этих чисел, а при возрастании показателя степени разница увеличивается $q > 1$ $v > 1$
Вывод число (d) не может иметь значение $d = c^p$ В случае когда $d = 2c^p$ вывод тот же $q^2 - v^2 = 2$ Равенство неверно.

3)

$d = c^p \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ }$
$2z^p = \left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] \cdot c^p \cdot \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ }$ - (4)
$\left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] = \frac{{2z^p }}{{c^p \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ } }} = \frac{{2z^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }}{{c^p \left( {c^/ } \right)^p }} = \frac{{2z^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }}{{\left( {cc^/ } \right)^p }}$
$\frac{{z^p }}{{\left( {cc^/ } \right)^p }} = q^p$
$\frac{z}{{cc^/ }} = q$
так как $c = z_1$ $c^/ = z_2$
$\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1 = 2q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ }$
$d = \frac{{2z^p }}{{\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1}} = \frac{{2z^p }}{{2q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }} = \frac{{z^p }}{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }}$
$d = z^p - x^p$
$z^p - x^p = \frac{{z^p }}{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }}$
$x^p = z^p - \frac{{z^p }}{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }} = \frac{{z^p q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } - z^p }}{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }} = z^p \frac{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } - 1}}{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }}$
$x^p = z^p \frac{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } - 1}}{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }}$
Разделим обе части равенства на $x^p$
$1 = \frac{{z^p }}{{x^p }} \cdot \frac{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } - 1}}{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }}$
$\frac{{z^p }}{{x^p }} = \frac{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }}{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } - 1}}$ - (7)
$d = c^p \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ }$
$2x^p = \left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right] \cdot c^p \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ }$ - (5)
$\left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right] = \frac{{2x^p }}{{c^p \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ } }} = \frac{{2x^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }}{{c^p \left( {c^/ } \right)^p }} = \frac{{2x^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }}{{\left( {cc^/ } \right)^p }}$
$\frac{{x^p }}{{\left( {cc^/ } \right)^p }} = v^p$
$\frac{x}{{cc^/ }} = v$
так как $c = x_1$ ; $c^/ = x_2$
$\left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right] = 2v^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ }$
Подставим данные значения $d = c^p \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ }$ и полученные
$\left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right] = 2q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ }$
$\left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right] = 2v^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ }$
в равенства (4 и 5)
$2z^p = 2q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } c^p \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ }$ - (4)
$2x^p = 2v^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } c^p \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ }$ - (5)
Значения $z^p$ и $x^p$ подставим в равенство (7)
Имеем
$\frac{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } c^p \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ } }}{{v^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } c^p \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ } }} = \frac{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }}{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } - 1}}$ - (7)
$\frac{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }}{{v^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }} = \frac{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } }}{{q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } - 1}}$
Числители равны - равны и знаменатели.
$v^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } = q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } - 1$ Проверим так ли это
$q^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } - v^p \left( {c^/ } \right)^{m^/ } = 1$
$\left( {c^/ } \right)^{m^/ } \left( {q^p - v^p } \right) = 1$
Знаменатели не равны - один из сомножителей $\left( {q^p - v^p } \right) > 1$
Вывод: Равенство (7) не верно, следовательно число (d) не может иметь значение $d = c^p \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ }$
В случае, когда
$d = 2c^p \left( {c^/ } \right)^{p - m^/ }$
вывод тот же равенство (7) примет вид
$\left( {c^/ } \right)^{m^/ } \left( {q^p - v^p } \right) = 2$
$\left( {q^p - v^p } \right) > 2$
Общий вывод для второго частного случая (d) не может иметь значения, при которых разница между числами
$\left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right]$ и $\left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right]$
может быть равна двум.
При других значениях (d) разница между числами
$\left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right]$ и $\left[ {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right]$
не равна двум что невозможно.
Следовательно, неверны наши предположения, что целое число (c) полученное в уравнении (4) в левой части, есть степень основания (z) при показателе степени (p), или что
$z^p - d = \left( {c^/ } \right)^p = x^p$
Значит уравнение $x^n + y^n = z^n$ при n>2
n-четное число
$x \cdot y \cdot z \ne 0$ Не имеет решений в целых числах.

3)

$x^n + y^n = z^n$
$n > 2$ ; $x \cdot y \cdot z \ne 0$ ; $n = 2p + 1$ - нечётное число
Возведём обе части уравнения в квадрат
$\left( {x^n + y^n } \right)^2 = \left( {z^n } \right)^2$
Обозначим разницу между числами $z^p$ ; $x^p$ буквой (d)
$z^n - x^n = d$
$x^n = z^n - d$
Значение $x^p$ подставим в уравнение
$\left[ {\left( {z^n - d} \right) + y^n } \right]^2 = \left( {z^n } \right)^2$
и получим после преобразования
$\frac{{2z^n }}{d} = \frac{{\left( {y^n } \right)^2 + 2x^n y^n }}{{d^2 }} + 1$
$z^n = \frac{{\left( {y^n } \right)^2 + 2x^n y^n }}{{2d}} + 0.5d$ - (8)
$x^n = \frac{{\left( {y^n } \right)^2 + 2x^n y^n }}{{2d}} - 0.5d$ - (9)
Обозначим выражение
$\left( {y^n } \right)^2 + 2x^n y^n$ буквой (e)
$\left( {y^n } \right)^2 + 2x^n y^n = e$ у=с - целое число
Что бы получить в уравнениях (8) и (9) $z^n = c$ $x^n = c$ - целые числа
$z^n = \frac{e}{{2d}} + 0.5d$ - (8)
$x^n = \frac{e}{{2d}} - 0.5d$ - (9)
Необходимо:
$1)\frac{e}{d} = c$ - целое число
2) (e) и (d) должны быть одинаковой чётности
Это выполнимо при
$\left( {y^n } \right)^2 + 2x^n y^n = e$ (e=c) (e>2)
1) Если представить число (e) как произведение простых множителей
$e = e_1 e_2 e_3 ....e_t$
То число (d) будет совокупность како-то части этих сомножителей. Например:
$\left( {d = e_2 e_3 } \right)$
2) Если (e) - чётное число. Необходимо ещё одно дополнительное условие, а именно при разложении числа (e) на простые множители, простых множителей двоек (2) должно быть в количестве не менее двух. Один простой множитель двойка (2) обязательно должен входить в простые множители числа (d) Что так же возможно, если (e) – чётное число
$\left( {y^n } \right)^2 + 2x^n y^n = e$
$y^n$ чётное число, так как число $2x^n y^n$ - всегда чётное
$y^n$ - чётное число, так как число $2x^n y^n$ - всегда чётное
$y^n$ - чётное $2x^n y^n$ - чётное
Чётное умножаем на чётное в итоге получаемкак минимум в числе (e) два простых множителя двойки
Доказали что в уравнениях (8) (9) в левых частях при $e = c$ $e > 2$ можно получить целое число
$y^n \left( {y^n } \right)^2 + 2x^n y^n = e = c$
Преобразовываем уравнения (8) и (9)
$2z^n = d \cdot \left( {\frac{e}{{d^2 }} + 1} \right)$ $(8^/$
$2x^n = d \cdot \left( {\frac{e}{{d^2 }} - 1} \right)$ $(9^/)$
$2z^p = d \cdot \left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right)$ - (4)
$2x^p = d \cdot \left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right)$ - (5)
Сравним уравнения $(8^/9^/)$ и (4; 5)
Числа
$\left( {\frac{e}{{d^2 }} + 1} \right)$ и $\left( {\frac{e}{{d^2 }} - 1} \right)$ обладают теми же свойствами что и числа
$\left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1} \right)$ и $\left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right)$ а именно:
1) Это числа целые
2) И разница между ними равна двум. Полагая, что в уравнениях (8и9) в левых частях получили не просто целые числа, а степени оснований Z и X при показателе степени (n) Представляя числа Z и X как произведения простых множителей на которые они расскладываются. Проверяем три значения числа (d)
$1)d = c^n$
$2)d = c^{n - m^/ }$
$3)d = c^n \left( {c^/ } \right)^{n - t^/ }$
При проверке не имеет значения какой показатель степени (n), чётное или нечётное число. Значит получаем результат как и во втором частном случае:
Три значения
$1)d = c^n$
$2)d = c^{n - m^/ }$
$3)d = c^n \left( {c^/ } \right)^{n - t^/ }$
Невозможны. Но только при этих трёх общих значениях возможна разница между числами
$\left( {\frac{e}{{d^2 }} + 1} \right)$ и $\left( {\frac{e}{{d^2 }} - 1} \right)$ - которая равна двум
Удовлетворяющих значений числа (d) нет. Равенства (8,9) неверны.
И ошибочны наши предположения, что числа полученные в уравнениях (8,9) в левых частях есть степени оснований Z и X при показателе степени (n)
Вывод:
Уравнение
$x^n + y^n = z^n$
при n>2 n – нечётное число
$x \cdot y \cdot z \ne 0$
Не имеет решений в целых числах
На основании результатов полученных во втором и третьем частном случае делаем общий вывод:
Уравнение $x^n + y^n = z^n$
при n>2
$x \cdot y \cdot z \ne 0$
Не имеет решений в целых числах.

Сергей Ситников. Донецк

Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать

Код: выделить все: <div style="text-align:center;">Обсудить теорию <a href="http://www.newtheory.ru/mathematics/tehnicheskaya-zadacha-teorema-ferma-t127.html">Техническая задача, теорема Ферма</a> Вы можете на форуме "Новая Теория".</div>

Сергей

Техническая ошибка при наборе
$\frac{{z^p }}{{x^p }} = \frac{{q^p c^{n^/ } - 1}}{{q^p c^{n^/ } }}$ - (6)
Так написано

А так нужно

$\frac{{z^p }}{{x^p }} = \frac{{q^p \cdot c^{n^/ } }}{{q^p \cdot c^{n^/ } - 1}}$ - (6)

Далее по тексту правильно

м777рк

А это ваша работа или чья-то?
Имеете ли математическое образование?
Ну то что работа не верна понятно по тематике(без обид). Много неточностей в обозначениях.
Почему все целые числа обозначаются через С? Понятно, что скорее всего очепятка: при подставление в ур-е x^2p +y^2p = z^2p выражения x^p = z^p - d у вас получается (z^p - d^p)^2 +y^2p = z^2p
что за переходы у^p/d=c и сразу у^p/d + 1=c?
Почему правые части уровнений 2z^p/d = (y^p)^2/d^2 +- 1 целые, а левые что тогда не целые, где обоснование?
А теперь самое интересное:
1)почему y^p/d - целое
2) (y^p)^2/d^2 + 1 = с и (y^p)^2/d^2 - 1 = с?
3)И самое интересное, как разность между двумя выше указанными выражениями получается равна 2(вы из С вычитаете С и получаете двойку, я уже не говорю о том, что эти выражения равны как минимум С1 иС2(и совсем не обязательно целые) к примеру, но тогда где докозательство того, что С1-С2=2)?????
Стоит ли объяснять, что дальше все рассуждения не верны...

Сергей

Работа не верна потому что такая тематика. Сильный аргумент. Но смешной. (без обид)

В дальнейшем любое целое число будем обозначать буквой (C) 2=С z=C 4=C d=C
Так как нас интересует вид числа, а не его величина
Почему все целые числа обозначаются через С?

Сравните две цитаты, мою и вашу. Это говорит о том что вы поверхностно просмотрели работу.

А теперь самое интересное:
1)почему y^p/d - целое

1.

это необходимое условие для решения квадратного уравнения Хотя и недостаточное в нашем случае

2) (y^p)^2/d^2 + 1 = с и (y^p)^2/d^2 - 1 = с?

3)И самое интересное, как разность между двумя выше указанными выражениями получается равна 2(вы из С вычитаете С и получаете двойку, я уже не говорю о том, что эти выражения равны как минимум С1 иС2(и совсем не обязательно целые) к примеру, но тогда где докозательство того, что С1-С2=2)?????

$\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1 - \left( {\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1} \right) = \frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1 - \frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1 = 2$

Сообщение было удалено | удалил: Алексей | 13 июн 2010, 17:29.
Причина: Пожалуйста, выбирайте выражения, даже если обсуждаете людей вне проекта.

Ofegenia

У Ферма док-во занимало 1 страницу

Ха, у Ферма доказательство не занимало ничего - вот истинный рекорд.

Сообщение было удалено | удалил: м777рк | 10 июн 2010, 23:59.
Причина: плохо написал

sceptic

Разберем рассуждение в случае $n=2$ .
Вы пишете:
"Обратим внимание на уравнение (2)
$z=\frac{yy}{2d}+0,5d$
y=c y>2 по условию
Что бы получить z=c необходимо выполнение двух условий
$1) \frac{y}{d}=c$
2) (y) и (d) - должны быть одинаковой чётности
Первое и второе условие выполнимо при любом y=c y>2 Докажем это:
Если представить (y) в виде произведения простых сомножителей полученных при факторизации числа (y)
$y=y_1y_2y_3....y_m$
то число (d) должно быть произведением какой-то части этих сомножителей..."
Это неточно. Точнее, пункт 2) необходим; пункт 1) избыточен: целость $z$ не требует делимости $y$ на $d$ . Пример:
$y=15$ , $d=9$ , видно, что $z=\frac{y^2+d^2}{2d}=\frac{225+81}{18}=17$ - целое, но $\frac{y}{d}=\frac{15}{9}$ - нецелое число. Ошибку в своем рассуждении, надеюсь, найдете сами.

sceptic

Сергей писал(а):2)

Рассмотрим второй частный случай теоремы
$x^n + y^n = z^n$
n=2p n>2
$x \cdot y \cdot z \ne 0$
Уравнение примет вид
$\left( {x^p } \right)^2 + \left( {y^p } \right)^2 = \left( {z^p } \right)^2$ - (3)
Буквой (d) обозначим разницу между числами
$z^p - x^p = d$
$x^p = z^p - d$
Подставим значение $\left( {x^p } \right)$
в уравнение
$\left( {z^p - d^p } \right)^2 + \left( {y^p } \right)^2 = \left( {z^p } \right)^2$
$z^p = \frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{2d}} + 0.5d$ - (4)
В первом частном случае мы доказали, что при любом y=c y>2 в уравнении (4) это
$\left( {y^p = c} \right)$
$\left( {y^p > 2} \right)$
в левой части уравнения можно получить целое число (c)
Но получить в левой части уравнения (4) целое число (c) необходимо. Но недостаточно. Это целое число (c) должно быть степенью основания (z) при показателе степени (p), то есть
$z^p = c$
Но и этого недостаточно получив
$c = z^p$
необходимо что бы разница между числами
$z^p - d = c'$
была степенью основания (x) при показателе степени (p) т.е
$x^p = c'$
Мы не знаем, возможно ли это.
Предположим, что возможно и проверим предположение
$z^p = \frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{2d}} + 0.5 \cdot d$ - (4)
$x^p = \frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{2d}} - 0.5 \cdot d$ - (5)
Проверим равенства (4) и (5). Равенства, так как мы предположили, что есть такие значения x=c y=c z=c Которые являются решением уравнения
$x^n + y^n = z^n$
при n>2 n=2p
$x \cdot y \cdot z \ne 0$
Разделив левые и правые части равенств (4) и (5) на ( ) получим
$\frac{{2 \cdot z^p }}{d} = \frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1$ - (4)
$\frac{{2 \cdot x^p }}{d} = \frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1$ - (5)
Обратим внимание на правые части равенств (4 и 5)
$\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} + 1$
$\frac{{\left( {y^p } \right)^2 }}{{d^2 }} - 1$
Во первых это числа целые (c) так как мы выше заметили
$\frac{{y^p }}{d} = c$
это необходимое условие для решения квадратного уравнения.

Число $\frac{{y^p }}{d}$ не обязано быть целым. См. мое предыдущее замечание по случаю $n = 2$ .
В связи с этой "дырой" в рассмотрении случая $n = 2p$ нет смысла анализировать дальнейшие выкладки этого случая.

Сообщение было удалено | удалил: Алексей | 13 июн 2010, 17:26.
Причина: Строгое предупреждение.

Техническая задача, теорема Ферма

Техническая задача, теорема Ферма

Техническая задача, теорема Ферма

Re: Техническая задача, теорема Ферма

Re: Техническая задача, теорема Ферма

Re: Техническая задача, теорема Ферма

Re: Техническая задача, теорема Ферма

Небрежности в рассуждениях порождают ошибки

Замечание по случаю 2

Кто сейчас на форуме