Теорема Ферма в действительных числах

Спирин

Если маленькими буквами $a,b,c$ обозначить действительные числа, а большими буквами $A,B,C$ обозначить натуральные числа, то уравнение Ферма можно записать как в виде равенства, так и в виде неравенства:

(R) $a^n+b^n=c^n$

(N) $A^n+B^n\neq C^n$

Справедливость уравнения (R) постулируется.
Справедливость уравнения (N) доказана.

ТЕОРЕМА. Уравнение (R) не имеет решений при n>2.

Доказательство.
Выполнимость уравнения (R) требует следующего условия:

(1) $a^2+b^2>c^2$

Всегда существует такое действительное число $k>0$ , с помощью которого неравенство (1) можно превратить в равенство:

(2) $a^2+b^2=c^2+k(c^2-b^2)$

(3) $a^2+b^2 (1+k)=c^2 (1+k)$

Умножаем обе части уравнения (3) на число $a^{n-2}$ :

(4) $a^n+b^2 (1+k)a^{n-2}=c^2 (1+k)a^{n-2}$

Вычитаем уравнение (4) из уравнения (R):

(5) $b^2 [b^{n-2}-(1+k) a^{n-2}]=c^2 [c^{n-2}-(1+k) a^{n-2}]$

Левая квадратная скобка должна быть больше правой квадратной скобки, что невозможно.

Равенство в уравнении (5) может быть обеспечено только при $k=0$ и $n=2$ :

$b^2 [b^{n-2}-a^{n-2}]=c^2 [c^{n-2}-a^{n-2}]$

$b[1-1]=c^2 [1-1]$

0=0

Вывод. Уравнение (R) имеет решения в действительных числах только при $n=2$ , ч.т.д.

Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать

Код: выделить все: <div style="text-align:center;">Обсудить теорию <a href="http://www.newtheory.ru/mathematics/teorema-ferma-v-deystvitelnih-chislah-t6422.html">Теорема Ферма в действительных числах</a> Вы можете на форуме "Новая Теория".</div>

Теорема Ферма в действительных числах

Теорема Ферма в действительных числах

Теорема Ферма в действительных числах

Кто сейчас на форуме