с помощью теоремы синусов
Уравнение Великой теоремы Ферма:
(1)
Задаваясь натуральными числами и принимая их за значения длин линейных отрезков, построим треугольник. Обозначим:
– углы, лежащие против сторон соответственно.
Для доказательства теоремы Ферма применим теорему синусов, в соответствии с которой:
(2)
Из формулы (2) следует:
(3)
(4)
Возведя уравнения (3), (4) в степень и сложив отдельно левые и правые части полученных уравнений, после преобразования получим:
(5)
В треугольнике с заданными значениями длин его сторон синусы углов определяются через значения косинусов углов, значения которых, в свою очередь, определяются с помощью теоремы косинусов. Например:
(6)
(7)
Косинусы углов – рациональные дроби, если натуральные числа.
Если показатель степени четное число , дробь:
, равная:
, равная:
, - рациональная, не равная единице:
(8)
Если показатель степени нечетное число, дробь:
- иррациональное число.
В обоих случаях дробь:
- не равна единице как натуральному числу.
Следовательно, соотношение сторон треугольника, если значения дли сторон натуральные числа, невозможно выразить уравнением теоремы Ферма.
Таким образом, уравнение Великой теоремы Ферма не имеет решения в натуральных числах.
Только в том случае, если треугольник прямоугольный, угол и показатель степени , уравнение (5) преобразуется в уравнение теоремы Пифагора, имеющее решение в целых числах и только на тройках чисел, именуемых Пифагоровыми тройками. В этом случае:
(9)
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
