Все звёзды и их планеты, планеты и их спутники, все они вращаются по своим орбитам вокруг общего центра масс, т. е. вокруг барицентра.
Для рассуждений и выводов, как для примера, принимаем свою родную и близкую нам систему Земля – Луна.
Масса Земли mз = 597,26*10^22кг
Масса Луны mл = 7,3477*10^22кг
Среднее расстояние между их центрами s = 384,467*10^6м.
Земля и Луна вращаются по своим орбитам вокруг общего центра масс с периодом Т = 27 суток, 7 часов, 43 минуты и 11,5 секунды или 2360600сек.
Принимаем, что Луна и Земля, тела точечные.
Расстояния от центр Луны и Земли до общего центра масс являются радиусами их орбит rл и rз.
Определяем расстояния от центра Луны и Земли до их общего центра масс.
rл = (mз * s) / (mз + mл) --------------------------------------------- ( 1 )
rл = (mз * s) / (mз + mл) = 597,26*10^22 * 384,467*10^6 / (597,26*10^22 + 7,3477*10^22кг) = 379,79463447124*10^6м
rз = (mл * s) / (mз + mл) --------------------------------------------- ( 2 )
rз = (mл * s) / (mз + mл) = 7,3477*10^22 * 384,467*10^6 / (597,26*10^22 + 7,3477*10^22кг) = 4,6723655287552*10^6м
s = rз + rл ---------------------------------------------------------------- ( 3 )
s = rз + rл = 4,6723655287552*10^6 + 379,79463447124*10^6 = 384,467м
Далее чертим систему координат, центр которого обозначаем точкой О, это будет центр масс системы Земля – Луна, вокруг которого по своим орбитам вращаются Земля и Луна. На ординате, выше точки О, на расстоянии rл = 379,79463447124*10^6м откладываем точку (л1) и чертим круг, это будет орбита Луны. Условно и мысленно в точке (л1) поместим две Луны. Допустим, первая Луна вращается по своей орбите с лева на право и через время T/4 = 2360600сек / 4 = 590150сек будет в точке (л2) на абсциссе, а через T/2 = 2360600сек / 2 = 1180300сек будет в точке (л3) внизу на ординате, далее будет в точке (л4) и совершив полный оборот по орбите вернётся в точку (л1) за время Т. Одновременно, вторая Луна движется с положительным ускорением из точки (л1) в точку О и через время T/4 = 590150сек будет в точке О, проскочит точку О и с отрицательным ускорением достигнет точку (л3) одновременно с первой Луной, далее двинется обратно и с положительным ускорением достигнет точки О, проскочит точку О и одновременно с первой Луной, с отрицательным ускорением вернётся в точку (л1)
На ординате, ниже точки О, на расстоянии rз = 4,6723655287552*10^6м откладываем точку (з1) и чертим круг, это будет орбита Земли. Опять же, в точке (з1) поместим две Земли. Допустим первая Земля вращается по своей орбите с право на лево и через время T/4 = 2360600сек / 4 = 590150сек будет в точке (з2) на абсциссе, а через T/2 = 2360600сек / 2 = 1180300сек будет в точке (з3) выше точки О на ординате, далее будет в точке (з4) и совершив полный оборот по орбите вернётся в точку (з1) за то же период времени Т. Одновременно, вторая Земля движется с положительным ускорением из точки (з1) в точку О и через время T/4 = 590150сек будет в точке О, проскочит точку О и с отрицательным ускорением достигнет точку (з3) одновременно с первой Землёй, далее двинется обратно и с положительным ускорением достигнет точки О, проскочит точку О и одновременно с первой Землёй, с отрицательным ускорением вернётся в точку (з1)
По всем известной формуле a = 2*r / t^2 для определения ускорения, находим среднее ускорения Луны (aл) между точками (л1) и О и среднее ускорение Земли (aз) между точками (з1) и О за единицу времени, т. е . находим среднее изменение скорости за единицу времени, заменив t на известное T/4, т. е. находим средние ускорения Луны и Земли от их максимальной мгновенной скорости в конечной точке О, с учётом того, что мгновенная скорость Луны в точке (л1) и мгновенная скорость Земли в точке (з1), в направлении точки О, равны нулю
aл = 2*rл / (T/4)^2 = 2*rл / (T^2 / 16) = 32*rл / T^2
aл = 32*rл / T^2 ----------------------------------------------------------- ( 4 )
aл = 32 * 379,79463447124*10^6м / (2360600сек)^2 = 0,0021809916242м/сек^2
aз = 2*rз / (T/4)^2 = 2*rз / (T^2 / 16) = 32*rз / T^2
aз = 32*rз / T^2 ----------------------------------------------------------- ( 5 )
aз = 32 * 4,6723655287552*10^6м / (2360600сек)^2 = 0,0000268313166м/сек^2
Относительное ускорение Луны и Земли, т. е. ускорение Луны относительно Земли или ускорение Земли относительно Луны будет
a = aл + aз ------------------------------------------------------------------ ( 6 )
a = 0,0021809916242м/сек^2 + 0,0000268313166м/сек^2 = 0,0022078229408м/сек^2
( 4 ) и ( 5 ) подставляем в ( 6 )
a = gл + gз = 32*rл / T^2 + 32*rз / T^2 = 32 (rл + rз ) / T^2 = 32 * s / T^2
a = 32 * s / T^2 ------------------------------------------------------------ ( 7 )
Из ( 7 ) получаем
a / s = 32 / T^2 ------------------------------------------------------------ ( 8 )
Из формулы aл = 32*rл / T^2 --------------------------------------- ( 4 )
получаем
aл / rл = 32 / T^2 --------------------------------------------------------- ( 9 )
Из формулы aз = 32*rз / T^2 --------------------------------------- ( 5 )
получаем
aз / rз = 32 / T^2 ---------------------------------------------------------- ( 10 )
Из ( 8 ), ( 9 ) и ( 10 ) получаем равенство соотношений для Луны и Земли, поскольку правые части равны
aл / rл = aз / rз = a / s = 32 / T^2 -------------------------------------- ( 11 )
С учётом того, что
aл = mз * a / (mл +mз)
aз = mл * a / (mл +mз)
a = aл + aз
Подставляем в ( 11 ) и получаем
mз * a / rл (mл +mз) = mл * a / rз (mл +mз) = a / s = 32 / T^2 ------- ( 12 )
Эти полученные равенства соотношений ( 11 ) и ( 12 ), есть условие равно действенного сосуществования любых двух тел на своих стационарных орбитах вокруг общего центра масс. Если по каким-то причинам нарушается это условие, то тела переходят на другие орбиты. Например, эти условия нарушаются, когда на Землю ежегодно падает 84 000 штук различных метеоритов, что соответствует увеличению её массы примерно на 16 000 тонн в год, некоторое количество метеоритов падают и на Луну, из-за чего расстояние между Землёй и Луной ежегодно увеличивается примерно на 2 или 3 сантиметра в год, или около того. Поскольку Земля и Луна не могут увеличить свои орбитальные скорости, по причине отсутствия дополнительной силы для увеличения скорости вращения по орбите, то они, медленно, по мере увеличения их массы, переходят на другие более высокие орбиты. Если бы не падали метеориты, то Луна и Земля, вечно вращались бы на своих постоянных орбитах вокруг друг друга с периодом Т.
Ускорения Луны и Земли можно выразить через их орбитальные скорости, для этого через их орбитальной скорости
vл = 2*π*rл / T ------------------------------------------------------------ ( 13 )
vз = 2*π*rз / T ------------------------------------------------------------ ( 14 )
выразим время T
T = 2*π*rл / vл ------------------------------------------------------------ ( 15 )
T = 2*π*rз / vз ------------------------------------------------------------ ( 16 )
Подставляем ( 15 ) в ( 4 )
aл = 32*rл / T^2 = 32*rл / (2*π*rл / vл)^2 = (32*rл *vл^2) / (4*π^2 * rл^2) =
(8 * vл^2) / (3,141593^2 * rл) = (8 * vл^2) / (9,869606577649 * rл) = 0,8105692903825 * vл^2 / rл
aл = 0,8105692903825 * vл^2 / rл ------------------------------------ ( 17 )
aл = K * vл^2 / rл -------------------------------------------------------- ( 18 )
Подставляем ( 16 ) в ( 5 )
aз = 32*rз / T^2 = 32*rз / (2*π*rз / vз)^2 = (32*rз *vз^2) / (4*π^2 * rз^2) =
(8 * vз^2) / (3,141593^2 * rз) = (8 * vз^2) / (9,869606577649 * rз) = 0,8105692903825 * vз^2 / rз
aз = 0,8105692903825 * vз^2 / rз ------------------------------------- ( 19 )
aз = K * vз^2 / rз -------------------------------------------------------- ( 20 )
8 / π^2 = 0,8105692903825 = K – постоянный коэффициент для любых двух тел, вращающихся на своих стационарных орбитах или просто, орбитальный коэффициент.
Орбитальная скорость Луны по ( 13 )
vл = 2π*rл / T = 2 * 3,141593 * 379,79463447124*10^6м / 2360600сек = 1010,8956749067м/сек
Ускорение Луны в точке О барицентра по формуле ( 17 ).
aл = 0,8105692903825 * vл^2 / sл = 0,8105692903825 *(1010,8956749067м/сек)^2 / 379,79463447124*10^6м = 0,0021809916242м/сек^2
Орбитальная скорость Земли по ( 14 )
vз = 2π*rз / T = 2 * 3,141593 * 4,6723655287552*10^6м / 2360600сек = 12,436389764109м/сек
Ускорение Земли в точке О барицентра по формуле (19 ).
aз = 0,8105692903825 * vз^2 / sз = 0,8105692903825 * (12,436389764109м/сек)^2 / 4,6723655287552*10^6м = 0,0000268313166м/сек^2
Из ( 17 ) и ( 19 ) получили тот же самый результат среднего ускорения Луны и Земли в точке О за единицу времени, что и из ( 4 ) и ( 5 ).
Относительное ускорение в точке О будет
a = aл + aз = 0,0021809916242м/сек^2 + 0,0000268313166м/сек^2 = 0,0022078229408м/сек^2
По полученным результатам ускорений aл и aз определяем равенство сил в точке О по третьему закону И. Ньютона
Fл = Fз --------------------------------------------------------- ( 21 )
mл * aл = mз * aз -------------------------------------------- ( 22 )
7,3477*10^22кг * 0,0021809916242м/сек^2 = 597,26*10^22кг * 0,0000268313166м/сек^2
0,0160252721548*10^22кг*м/сек^2 = 0,0160252721548*10^22кг*м/сек^2
Равенство выполняется.
Рассмотрим разницу между полученными формулами ( 17 ) и ( 19 ) и формулой центростремительного ускорения Гюйгенса и Кеплера a = v^2 / R применяемой в астрономии, которая не точна и в которой за R принимают расстояние между центрам двух тел и через него же определяют неизвестно к которому из двух тел относящееся орбитальную скорость v, что в принципе неправильно, поскольку расстояние между их центрами не является их орбитами.
v = 2*π*R / T = 2 * 3,141593 * 384,467*10^6м / 2360600сек = 1023,3320646708м/сек
a = v^2 / R = (1023,3320646708м/сек)^2 / 384,467*10^6м = 0,0027237929772м/сек^2. И в результате получили, неизвестно к чему или к которому из двух тел относится полученное ускорение ( а ).
Далее определяем ускорения Луны в любой точке на ординате между точкой (л1) на орбите и барицентром О и ускорение Земли в любой точке между точкой (з1) на орбите и барицентром О по заданному времени или по известному нам времени t.
Для этого продолжим чертёж. На орбите Луны, между точками (л1) и (л2) произвольно ставим точку (н1), это будет движение первой Луны. От точки (н1) проводим линию параллельную абсциссе до пересечения с ординатой л1.О. и ставим точку (л), это будет движение второй Луны. Из той же точки (н1) проводим прямую линию через точку О до пересечения с орбитой Земли и ставим точку (н2), это будет движение первой Земли. Из точки (н2) проводим линию параллельную абсциссе до пересечения с ординатой з1.О. и ставим точку (з), это будет движение второй Земли.
Полученные угол л.О.н1. и соответственно угол з.О.н2., обозначим через φ
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
