Введение в "Структурный анализ"

spartacus

В формуле

$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
не определены возможные варианты стремления приращения аргумента к "0".
Существуют три варианта:
$1. x_1\rightarrow x_2;$
$2. x_1\leftarrow x_2;$
$3. x_1\rightarrow x \leftarrow x_2.$
Соответственно, существуют три варианта предела
$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}:$

$1. \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}=\lim_{x_1\rightarrow x_2};$
$2. \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}=\lim_{x_1\leftarrow x_2};$
$3. \displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}=\lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}.$
Поэтому возможны три варианта результатов применения формулы
$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}:$

$1. \displaystyle f'(x_2)=\lim_{x_1\rightarrow x_2}}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x};$
$2. \displaystyle f'(x_1)=\lim_{x_1\leftarrow x_2}}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x};$
$3. \displaystyle f'(x)=\lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}.$
Все три варианта различны и не равны друг другу. Приведу пример на функции $y=x^3:$
$1. \displaystyle (x_2^3)'=\lim_{x_1\rightarrow x_2}\frac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}= \lim_{x_1\rightarrow x_2}\frac{(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)}x_2-x_1}=\displaystyle\lim_{x_1\rightarrow x_2}(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)=x_2^2+x_2\cdot x_2+x_2^2=3x_2^2$
$2. \displaystyle (x_1^3)'=\lim_{x_1 \leftarrow x_2}\frac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}= \lim_{x_1 \leftarrow x_2}\frac{(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)}{x_2-x_1}=\displaystyle\lim_{x_1 \leftarrow x_2}(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)=x_1^2+x_1\cdot x_1+x_1^2=3x_1^2$
$3. \displaystyle (x^3)'=\lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}\frac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}= \lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}\frac{(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)}{x_2-x_1}=\displaystyle\lim_{x_1\rightarrow x \leftarrow x_2}(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)=x^2+x\cdot x+x^2=3x^2$$$

Поэтому, в матанализе произошла огромная путаница в терминах и понятиях при использовании формулы
$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$
с неопределённым пределом, особенно при отыскании касательной к кривой! Т.к. $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$ - различные значения функции $f'(x)$ , являющиеся точками касания, а $f'(x)$ - сама производная, касательная к которой не определена!
Кто сможет опровергнуть эту и другие, ещё более весомые, поправки ошибок матанализа, указанные здесь?!

Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать

Код: выделить все: <div style="text-align:center;">Обсудить теорию <a href="http://www.newtheory.ru/mathematics/vvedenie-v-strukturniy-analiz-t671.html">Введение в "Структурный анализ"</a> Вы можете на форуме "Новая Теория".</div>

che

Похоже, Вы по второму разу пытаетесь изобрести интеграл Лебега и обобщенные функции.

che

Если Вы заглянете в учебник математики по которому учились много лет назад, то вспомните, что приведенное Вами определение производной сопровождается оговоркой в роде: "если функция f непрерывна в точке х и ее окресности..." Понятие производной может быть обобщено и на функции не обладающие таким свойством, например дельта-функцию Дирака. Но определение должно быть иным.

spartacus

Вы, наверное, не смотрели ссылку. Прерывность (непрерывность) может быть не у функции, а у той линии, которая называется в матанализе графиком функции. Смысл же линии $y=f(x)$ состоит в том, что она (в частном случае, показанном в примере) делит площадь $x f(x)$ на две части: $\int xdf(x)+\int f(x)dx$ . Больше у неё никакого предназначения нет!

che

spartacus писал(а):Вы, наверное, не смотрели ссылку.

Смотрел, представьте себе. Главное впечатление -- отвратительная графика!

Прерывность (непрерывность) может быть не у функции, а у той линии, которая называется в матанализе графиком функции

Непрерывность функции (именно функции, а не ее графика!) явсляется фундаментальным понятием классического мат.анализа. Именно непрерывность гарантирует сходимость последовательности значений функции к опр. пределу, когда последовательность аргументов сходится к опр. значению, причем независимо от того, какая из таких последовательностей аргументов выбрана. Однако такое требование (непрерывности) может оказаться слишком жестким. Понятие производной и интеграла можно обобщить на весьма экзотические функции, например имеющие бесконечно большое к-во разрывов на всяком конечном интервале! Там, конечно, излюбленный инструмент классического анализа -- предел последовательности -- или не сходится, или может сходиться к чему угодно! И, тем не менее, производная и интеграл для такой ф-и могут быть определены разумным (т.е. применимым для практических расчетов) образом. Такой подход развился из рассмотрения Хевисайдом распространения эл. сигналов по кабелям связи.

spartacus

Вы забыли, что такое функция? В самом понятии "функция" нет предмета, который может быть НЕПРЕРЫВЕН! Непрерывной может быть, например геометрическая линия...

che

Непрерывная функция
Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Непрерывная функция, вообще говоря, — синоним понятия непрерывное отображение, то есть функция, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения.

Wiskas

spartacus
Односторонние пределы применяются в матанализе только для разрывных функций (когда х стремится к х0 справа или слева), а в случае непрерывных такого деления не нужно, в чём проблема?

spartacus

Проблема проста, как фонарный столб! Открываем учебник матанализа. Находим страницу, где понятие "тангенс угла наклона касательной" каким-то образом увязывается с понятием "производная". Задаёмся вопросом: а что у этих двух понятий общего? Смотрим в учебник и спрашиваем себя: "А почему тот, кто пытается найти нечто общее между этими двумя понятиями поворачивает секущую по часовой стрелке? Почему не против? Почему он вообще её ПОВОРАЧИВАЕТ? Ведь можно двигать параллельно...причём, результаты будут различные! Тогда что общего у "тангенса", который есть ОТНОШЕНИЕ с "производной", которая есть ФУНКЦИЯ? Зачем этот бред - в учебнике и нафига его изучать? Не есть ли и дальнейшее, написанное в этом же учебнике - продолжение этого БРЕДА?!"...где-то так, примерно...

Добавлено спустя 8 минут 42 секунды:
Для che
Я думаю, Вы знаете кто и как пишет Википедию. Я, к примеру, Вас, даже заочно, уважаю больше, чем тех, кто берётся там осаждать свои познания. Для того, чтобы "расставить все точки над i" прошу Вас дать определения:
1. Функция есть - ...
2. Непрерывная функция - тоже самое определение, только с изменением, в связи с введением понятия "непрерывная".
Я думаю, Вы сами убедитесь в том, что закон однозначного отображения (дискретность) не сможет стать непрерывным (аналоговость), даже если кому-то это когда-то было нужно!

che

Там где я учился, да и во всех ВУЗах физико-математического и инженерного профиля, критической была первая сессия, а в ней экзамен по матанализу. Кто его проходил, тот так или иначе, но получал диплом. А те кто не одолел этот барьер.... Большинство прекрасно устроились в жизни и только благодарят Блга что уберег их от прозябания во всяних НИИ. Но отдельные -- годами силятся доказать, что знают математику лучше ассистента, поставившего им неуд.

Введение в "Структурный анализ"

Введение в "Структурный анализ"

Введение в "Структурный анализ"

Re: Введение в "Структурный анализ"

Re: Введение в "Структурный анализ"

Re: Введение в "Структурный анализ"

Re: Введение в "Структурный анализ"

Re: Введение в "Структурный анализ"

Re: Введение в "Структурный анализ"

Re: Введение в "Структурный анализ"

Re: Введение в "Структурный анализ"

Кто сейчас на форуме