Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях.
К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи.
Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном(1642—1727).
Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем.
Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813).
В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае).
Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777—1855) развивают также методы теории возмущений.
Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809—1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратуре.
Позже Софус Ли (1842—1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришёл к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) — так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебры Ли ещё раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781—1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби(1804—1851)).
Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854—1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных легла в основу современной топологии.
Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь её чаще называют, теория динамических систем, сейчас активно развивается и имеет важные применения в естествознании.
Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной:
Рассмотрим закон изменения координаты тела x(t), зависящий от времени t , и функцию скорости движения данного тела v(t) .
Функция v(t) характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функцииx(t) по времени: v(t) = x1|(t).
Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».
Ускорение тела a(t) – это скорость изменения скорости, поэтому:
a(t) = v|1 (t) = x||11(t) .
Если бы в природе не существовало исходных понятий «движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы и производного понятия «ускорение тела».
Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения.
Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия.
Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Липшицем (1864).
Для уравнений в частных производных соответствующая теорема была доказана С. В. Ковалевской (1874).
=======================================================================================
За одно и то же время более скоростной механизм выполняет ту же работу, которую выпоняют 3 (три) тихоходных механизма равной между собой мощностью
A = A1 + A2 + A3 (1)
A = FS
FS = Fs1 + Fs2 + Fs3
s1 = s2 = s3
Производная работы (мощность) скоростного механизма равна сумме производных работы (сумме мощностей)трех тихоходных механизмов.
A| = A|1 + A|2 + A|3 (2)
FV = Fv1 + Fv2 + Fv3 (3)
A|1 = A|2 = A|3 (4)
Fv1 = Fv2 = Fv3 (5)
v1 = v2 = v3 = v (6)
FV = 3Fv (7)
maV = 3mav (8)
Сократив левую и правую части равенства (8) мощностей на ускорение "а" получаем равенство импульсов (9).
mV = 3mv (9)
Производная работы, равная энергии, позволила величину скорости кинетической энергии, имеющую значения не линейной зависимости, преобразовать в величину скорости механической работы, которую наделили значениями линейной зависимости.
Но в данном случае равенство (7) явно противоречит действительности, т.к. движение тел под действием силы подразумевает сложение скоростей по аналогии сложения скоростей тел при равноускоренном движении.
FV = F(v12 + v22 + v32)1/2 (10)
FV = (3)1/2Fv (11)
Дифференцирование, как и ЗСИ, возникли для "облегчения поиска" решений, но результаты "решений"
исказили действительность.
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
