Обсуждая признаки теории, порождаемой отказом от идеализации бесконечно малой погрешности измерений, остановимся прежде всего на тех, которые относятся к разряду безусловных, заведомо присущих разрабатываемой теории вне зависимости от от наших методологических и концептуальных предпочтений. Тем самым, будем их отличать от признаков и особенностей, допускающих на начальном этапе работы над теорией определённую вариабельность. Среди таких безусловных признаков обсуждаемой теории ключевым является отказ от вещественного числа в качестве математического описания физической переменной, и замена такого описания на дискретный интервал. Именно этот ключевой признак обусловил выбор термина «интервальная механика» применительно к тому разделу физической теории, который описывает макромеханику частиц и который является непосредственным объектом нашего рассмотрения. Очевидно, что если обобщить этот терминологический подход, распространив его на физическую теорию вообще, то для таковой должен быть использован термин «интервальная физика».
Перейдём к обоснованию утверждения об интервально-дискретной природе результатов измерений и рассмотрению вытекающих отсюда других непреложных признаков интервальной теории. Отправным при этом будет понятие контролируемого опыта.
Известно, что любой опыт не обходится без контроля со стороны органов чувств. Но, наряду с чувственной, возможна и другая – инструментальная – форма контроля. Она присутствует там, где проведение опыта требует наличия измерительных устройств. Назовём такой опыт контролируемым, и будем отличать его от свободного опыта, т. е. от опыта, проводимого без использования каких-либо измерительных средств. В свободном опыте контроль за использованием явления со стороны органов чувств является прямым, в контролируемом опыте он становится косвенным и сводится к контролю за показаниями измерительных приборов.
Рассмотрим, к примеру, такой известный процесс, как кипячение воды. В варианте свободного опыта он контролируется визуально, по внешним признакам, и этого контроля достаточно в широком спектре применений кипящей или кипячёной воды. Но существуют и более сложные варианты использования данного явления, требующие средств инструментального контроля. В ряду таких средств могут быть термометр, калориметр, часы и другие измерительные приборы. Именно они превращают процесс кипячения воды в контролируемый опыт.
Важной стороной опыта является его количественная характеристика. Она задаётся с помощью чисел, причём их появление в опыте обычно связывают с использованием измерительных приборов. Но, как нетрудно видеть, число может появиться и в свободном опыте, а именно в том, который содержит пересчёт одинаковых предметов (в качестве таковых фигурирует соответствующее множество объектов, которые отождествляются друг с другом в контексте того или иного использования их свойств). Результат такого пересчёта выражается с помощью натурального числа и может рассматриваться как простейшая измерительная процедура из разряда тех, которые не требуют для своего осуществления инструментальных средств. Однако, и в контролируемом опыте, как легко показать, непосредственным источником числа является всё та же процедура пересчёта. Этой процедуре могут подвергаться штрихи измерительной шкалы, импульсы датчика и т. п., но в любом случае получаемое в ходе измерения число является натуральным. При этом математическое представление результатов измерения всегда сводится к конечному множеству целых чисел.
Такой вывод (его обоснование мы подробно рассмотрим ниже, анализируя содержание понятия измерения) в корне противоречит существующим представлениям о природе физических величин, опирающимся на идею континуума и основанным на использовании вещественных чисел в качестве средства математического выражения измеряемых величин. Принимая во внимание это обстоятельство, важно понять, что роль континуума в современной физике не сводится к одной лишь формально-математической задаче описания результатов измерения. За провозглашением и отстаиванием этой роли стоят определённые онтологические воззрения, основанные на представлении о существования абсолютно точного значения физических величин. Отказ от этого представления и образует тот рубеж, за которым начинается другая физика с другим, принципиально иным подходом к вопросу о природе и роли числа в познании природных закономерностей.
Перечислим отличительные особенности этого подхода. Во-первых, он выведен из сферы какого бы то ни было «анализа онтологических и (или) гносеологических корней числа», и вопрос о природе такового целиком подчинён задаче адекватного описания физических явлений. Во-вторых, он опирается на представление о том, что числовая характеристика любого явления рождается лишь в ходе измерительных процедур. В-третьих, результатам измерения приписывается сугубо относительный характер, обусловленный целью использования регистрируемых событий.
С позиций данного подхода, число как количественного мера вещей наличествует лишь по эту сторону опыта, по ту сторону опыта его нет. То, что не измеримо в принципе, невозможно охарактеризовать числом.
Важно подчеркнуть, что такое утверждение не противоречит факту существования физических констант, несмотря на то, что связанные с ними фундаментальные свойства материи сформировались в заведомо доопытные эпохи. Физических констант в виде каких-то строго определённых чисел, заданных до и помимо опыта, в природе не существует. То, что мы понимаем под физической «константой» представляет собой некоторое множество целочисленных структур, каждая из которых является продуктом соответствующего опыта и находится в прямой зависимости от характера его инструментальных средств.
Среди элементов этого множества находится и та величина, которая традиционно трактуется как «физическая константа». Её отличие от остальных элементов множества состоит в том, что она получена в специальном опыте, а именно в эксперименте, организованном с целью «максимально точного измерения» соответствующей физической величины. За таким экспериментом стоят две идеи: абсолютизация роли процедур повышения точности измерений и отождествление физической величины с математической – идеальной – константой. Обе проистекают из представления о существовании абсолютно точного значения физических величин, и обе не подтверждаются данными опыта. Первая опровергается запретом на «превышение точности» измерений, – одним из фундаментальных требований экспериментальной физики, вторая – отсутствием у физических величин предельного значения, подобного пределу математических констант.
Примечательно, что запрет на превышение точности измерений впрямую подводит нас к пониманию существования глубинной связи между сущностью наблюдаемого явления и инструментальными средствами его реализации. Он заставляет изменить толкование самого факта конечной точности измеряемых в физике величин. Согласно этому запрету, мы ограничиваемся некоторой точностью измерений не потому, что не в состоянии измерить точнее, а потому, что этого не требует (превышение точности) сама сущность изучаемого явления, для которого дополнительная информация, получаемая за счёт повышения точности измерений, оказывается не существенной.
Итак, мы установили, что число как количественная характеристика физического явления может появиться лишь в ходе соответствующего опыта. Остановимся подробнее на этом моменте. Начнём с того, что выделим событие возникновения числа в особый феномен – метризацию природного явления.
Сущность метризации, как всякого феномена, определяется целью её использования. Эта цель состоит в осуществлении особого – числового – контроля за процессом использования выбранного физического явления. Именно ей подчинены две основные функции процедуры метризации: отождествление отдельных метасобытий используемого явления и наделение последнего числовой характеристикой. Обе функции равно присутствуют, как в свободном, так и в контролируемом опыте, но реализуются в них по разному.
Наиболее просто организован свободный опыт. В нём процедура метризации основана на прямом взаимодействии объектов использования с органами чувств, в ходе которого происходит отождествление этих объектов и превращение их в предметы использования. Последние образуют некоторое множество, свойства которого обусловлены целью использования отождествлённых объектов. При этом задача числового контроля сводится к установлению числа элементов данного множества путём их прямого пересчёта.
Проиллюстрируем сказанное простым примером – задачей определения числа деревьев на некотором участке леса. Очевидно, что это число не является некой природной константой и будет зависеть от того содержания, которое вкладывается в понятие «дерево». Если нам требуется строевой лес, мы получим одно количество деревьев, если требуется древесина на топливо – другое и т. д. Лишь конкретизировав цель использования деревьев, мы обретаем возможность осуществить их корректный пересчёт и, тем самым, – числовой контроль за его использованием.
В контролируемом опыте, в отличие от прямого, обе функции метризации возложены на измерительные приборы и осуществляются без участия органов чувств. Последние подключаются к процессу контроля лишь на этапе считывания показаний приборов. При этом, взаимодействие органов чувств непосредственно с используемым фрагментом природы перестаёт входить в задачу контроля или исключается вовсе.
Следует также отметить, что отождествляемые в ходе метризации метасобытия образуют некоторую цепь метасобытий, которая удовлетворяет следующим требованиям:
1) элементам цепи объективно присуще свойство используемости;
2) цепь образует множество с устойчивой границей;
3) граница этого множества определяется условием неотличимости друг от друга всех его элементов по отношению к заданному использованию цепи.
В таких цепях (одномоментные и неповторимые) метасобытия, в силу сообщённой им неотличимости друг от друга, проявляют себя как устойчиво длящиеся и повторяющиеся события, т. е. превращаются в явление (феномен). А поскольку их неотличимость относительна, то относительно и соответствующее им явление. При этом не существенно, опосредован ли опыт инструментальными средствами, или – нет. Важно, что в любом случае он необходимо предполагает участие наших органов чувств.
Наряду со своей основной функцией, измерительные приборы выполняют ещё одну. Они придают числовым характеристикам опыта необходимую форму, а именно делают их доступными для восприятия нашими органами чувств. Этой формой может быть отклонение стрелки прибора на отградуированной в заданных единицах шкале, показания цифрового индикатора, запись результатов измерения на каких-либо входящих в состав приборов устройствах памяти и т. п.
Если обозначить любые два метасобытия используемой цепи метасобытий M через M1 и M2 (M1,2 ∈ M) , а числовую характеристику свойств цепи – через I , то картина функционирования измерительного прибора символически изобразится соотношениями
M1 ≠ M2 ,
(1)
I(M1) =I(M2),
описывающими на языке логики феномен отождествления метасобытий M1 и M2 , сопровождающийся наделением соответствующего фрагмента цепи M числовой характеристикой I .
В отличие от прямого опыта, эта характеристика не сводится к целому числу, а представляет собой целочисленный интервал или совокупность таковых. Данный вывод, если сравнить его с заключением о целочисленном характере результатов «прямого измерения», не совсем очевиден и требует специальных разъяснений. Они будут даны в ходе нижеследующего изложения содержания понятия измерения, в котором процедура метризации описана с позиций её технического (инструментального) воплощения, т. е. как акт измерения. При этом картина измерения основывается на совокупности тех универсальных свойств, которые одинаково присущи любой разновидности измерений. Тем самым, создаются условия для перевода описания процедуры измерения на формально-математический язык.
Заметим, что в традиционной практике подобный перевод трактуется как та или иная разновидность теории измерений. В интервальной концепции необходимые сведения из современных представлений об измерении включаются в понятийный аппарат аксиоматики. В этом аппарате они фигурируют не как элементы теории, а как составляющие некой смысловой конструкции, содержание которой целиком обусловлено «интервальным» контекстом.
Переходим к изложению содержания понятия измерения. Особенность этого понятия состоит в том, что входящие в его состав очевидности имеют двоякую природу: наряду с утверждениями неформального (содержательного) характера в нем присутствует формально-логическая составляющая. Она позволяет перекинуть мостик от неформального содержания этого понятия к его строгой математической формулировке.
В качестве элементов такого мостика фигурирует следующая совокупность вспомогательных понятий: регистрируемая количественная характеристика x наблюдаемого явления , область измерения (наблюдения) величины x в виде интервала A шириной 2L, область локализации величины x в виде интервала X шириной 2α , интервал локализации границ области локализации X шириной ρ , имеющей смысл разрешающей способности того физического устройства, которое реализует локализацию X. Названные понятия позволяют сформулировать следующее определение понятия измерения. Пусть задана область измерения (наблюдения) в виде интервала A шириной 2L , такого, что измеряемая величина x заведомо лежит в нём:
x ∈ A. (2)
Тогда под измерением этой величины будем понимать процедуру её локализации в интервале X ⊂ A с шириной 2 α , меньшей L:
2α < L. (3)
Комментируя соотношения (2), (3), необходимо отметить следующее. Фигурирующие в них объекты x, α, L (а также ρ ) должны истолковываться в сугубо символическом смысле, поскольку они, строго говоря, лишены конкретного математического содержания и не могут быть интерпретированы, например, как вещественные числа. Определение присущего им содержания лежит за рамками формального аппарата теории, что находится в согласии с запретом формальной логики на непредикативные понятия и определения. В рассматриваемом случае такой запрет можно свести к наглядной очевидности – прибор не
может измерять сам себя.
Сказанное не означает, что соотношения (2), (3), подобно входящим в них объектам, также лишены конкретного содержания. Их содержание конкретизировано с точностью до формальной логики, чего в данном случае вполне достаточно. Ниже мы ещё вернёмся к этому вопросу и покажем, что символическое использование объектов x, α, L и ρ в качестве языка формализации свойств процедуры измерения позволяет делать важные содержательные выводы в отношении этих свойств.
Процедуре локализации (2), (3) можно придать дополнительный наглядный смысл, трактуя её как операцию огрубления измеряемой величины. Учитывая, что процедуре локализации, наряду с названным огрублением (в интервале шириной 2α ), свойственен ещё один уровень огрубления (в интервале шириной ρ < 2α ), назовём первый вид огрубления макроогрублением , а второй – микроогрублением.
Физический смысл макроогрубления очевиден. Макроогрубление является порождением феномена ограниченности точности измерений. Количественной характеристикой этого феномена служит величина ширины интервала макроогрубления при условии, что символическому объекту 2α присвоено соответствующее численное значение. Процедура такого присвоения обусловлена целью использования рассматриваемого физического явления и, следовательно, не подлежит формализации.
Менее очевидна физическая интерпретация микроогрубления. Чтобы её установить, примем во внимание те ограничения, которые наложены на реальную процедуру локализации, учтём, что в реальном измерительном приборе такая процедура осуществляется с помощью некоторого физического устройства, а ему неизбежно присущи инерционность и пороговые свойства, ограничивающие разрешающую способность прибора в отношении процедуры (2), (3).
В логике этой процедуры функция инструментального средства локализации измеряемой величины сводится к индикации события перехода последней через левую или правую границу некоторого интервала ширины 2α (того, в который она реально способна попасть), а инерционность или пороговые свойства такой индикации обуславливают существование интервала локализации положения названных границ с отличной от нуля шириной ρ. Поскольку условие ρ ≠ 0 (условие микроогрубления) порождается феноменом ограниченности разрешающей способности инструментального средства локализации, постольку этот феномен и составляет физический смысл микроогрубления. При этом величина ρ имеет смысл количественной характеристики разрешающей способности прибора применительно к процедуре (2), (3).
Итак, в основу введённого нами понятия измерения физической величины положены два безусловных факта: ограниченность точности измерений и ограниченность разрешающей способности используемого для измерений прибора. Они не сводятся друг к другу, в силу чего необходимо различать разрешающую способность и точность измерений.
Отличие одного от другого наглядно демонстрирует «линейка» – простейший прибор для измерения длин и расстояний. В этом примере параметры L, α и ρ имеют следующий конкретный смысл: 2L – длина линейки, 2α – цена деления шкалы, ρ – толщина штриха шкалы. Нетрудно видеть, что линейка, наряду с вариантом идеального измерения
ρ → 0 , α → 0
(бесконечно большая разрешающая способность и бесконечно малая погрешность измерения) допускает промежуточный вариант
ρ → 0 , α ≠ 0
с бесконечно большой разрешающей способностью, но с ограниченной точностью измерения. При этом условие ρ → 0 означает переход к пределу бесконечно малой толщины штриха.
Вернёмся к вопросу о физической интерпретации макро- и микро- огрублений. Вводя понятие процедуры метризации, мы указали на две её основные функции. Рассмотренная в предыдущем разделе интерпретация относится ко второй из них, а именно к функции наделения используемого явления числовой характеристикой. С функцией отождествления метасобытий явления связана, в свою очередь, своя интерпретация феномена огрублений, сообщающая ему ещё один, не менее важный смысл, который состоит в следующем.
Измеряемые величины, попадающие в интервал огрубления, эмпирически неотличимы друг от друга, т. е. воспринимаются измерительным прибором как абсолютно тождественные объекты. В силу двойственности характера огрубления, такая тождественность проявляется тоже двояким образом. Тождественность на уровне микроогрубления – уровне наименьшего воспринимаемого различия – носит фундаментальный характер и приводит к дискретизации (квантованию) пространства измеряемой величины, превращению этого пространства в атомизированную структуру в виде решётки с шагом ρ. Тождественность на уровне макроогрубления проявляется в том, что если измеряемые величины попадают в один и тот же интервал локализации, то они дают один и тот же результат измерения.
Суммируя оба утверждения, мы приходим к основополагающему выводу – результатом измерения любой физической величины является целочисленный интервал вида
Xn = nx + [− N, N] , (4)
где nx – число квантов центра интервала Xn в единицах ρ, а N – число квантов полуширины Xn в тех же единицах.
Введём символическое представление (4) в виде условного интервала
X = x + [− α , α] , (5)
для которого справедливы (тоже условно) следующие утверждения: x = ρ nx, α = ρ N и x ∈ X. Как уже отмечалось, символический характер языка объектов ρ, α и x, освобождающий нас от необходимости конкретизировать их математический смысл, делает этот язык удобным средством формализации свойств феномена измерения. Так, если обозначить эмпирическую неразличимость физических величин x1 и x2 (при их локализации в границах (5)) символом
« ~ », то интервальный характер процедуры измерения величины x и свойство ограниченности разрешающей способности измерительного прибора выразятся с помощью импликаций
|x1 − x2| ≤ 2α ⇒ x1 ~ x2 (6)
и
|x1 − x2| ≤ ρ ⇒ x1 ~ x2, (7)
соответственно.
При использовании символических форм (6) и (7) мы исходим из инвариантности их содержания по отношению к конкретной природе входящих в них символов. Этим символам, в частности, может быть придан геометрический смысл точек и отрезков на прямой, что сообщает содержанию (6), (7) особенно наглядный характер. Отталкиваясь от геометрической интерпретации выражений (6), (7), нетрудно сформулировать для них соответствующие дискретные аналоги.
Пусть n1,2 ∈ Zx , где Zx – множество целых чисел, на котором заданы интервалы (4). Тогда для n1 и n2 будут справедливы следующие утверждения:
|n1 − n2| ≤ 2N ⇒ n1 ~ n2, (8)
|n1 − n2| ≤ 1 ⇒ n1 ~ n2. (9)
Первое из них характеризует уровень макроогрубления, второе – уровень микроогрубления.
Соотношения (8), (9) примечательны тем, что вводят в теорию новый тип неразличимости (сходства) числовых характеристик опыта, отличный от привычной нам эквивалентности математических объектов, частным случаем которой является отношение равенства. Из (8), (9) следует, что утверждение n1 ~ n2 (« n1 неотличимо от n2») не тождественно утверждению n1 = n2 . Вводя наряду с отношением « = » отношение « ~ », мы отказываемся от отождествления содержательной и формальной логик, причём делаем это непосредственно в рамках и средствами математического аппарата теории. Математический аспект такого отказа выражается в дуализме транзитивной и нетранзитивной алгебр теории, о чём пойдёт речь в Приложении, содержащим необходимые сведения из алгебры пространств толерантности. Физический аспект сводится к отказу от отождествления физической и математической непрерывностей в пространстве измеряемых величин, т. е. к снятию ещё одного вида вырождения.
Как уже говорилось, понятие физической непрерывности было введено А. Пуанкаре. Он впервые обратил внимание на нетранзитивный характер процедуры реального измерения (см. (1)) и придал этому факту наглядный смысл, сформулировав понятие физической непрерывности, как возможность перейти от некоторого элемента заданной совокупности к другому её элементу через последовательность промежуточных элементов, каждый из которых неотличим от предыдущего. Переведём этот смысл на язык сформулированного выше понятия измерения.
Пусть мы имеем дело с многомерным измерением (общий случай). При этом каждый акт измерительной процедуры будет характеризоваться неким состоянием прибора (тоже многомерным), и такое состояние может трактоваться как элемент множества или точка соответствующего пространства с той особенностью, что она, в отличие от математической точки, имеет, в силу условия (7), определённый размер, обусловленный разрешающей способностью прибора. А теперь представим себе ситуацию, когда данные «точки» выстроены в цепочку так, что соседи попарно пересекаются друг с другом (т. е. их «центры» находятся на расстоянии ≤ ρ) и, следовательно, микро-неотличимы друг от друга. В этом случае будем говорить о микронепрерывности последовательности таких элементов.
Но процедура измерения – не просто отклик прибора на состояние используемого явления. Она – акт локализации этого отклика в границах некоторой области с размерами, определяемыми выбранной точностью измерений. Следовательно, в этих границах любые «точки» отдельных измерений, согласно условию (6), наделены свойством макро-неотличимости друг от друга. И если области локализации образуют последовательность из попарно пересекающихся соседних областей, то принадлежащие им «точки» измерений выстроятся в цепочку элементов, связанных условием (6), что даёт основания классифицировать этот случай как макронепрерывность.
Поясняя смысл понятия физической непрерывности, мы в целях наглядности воспользовались языком геометрических представлений. Основным элементом этих представлений является физическая точка, а, точнее, микро- и макро- её разновидности. Они, в отличие от математической точки, обладают конечными размерами, в силу чего, образованные из них «физические» линии и поверхности будут иметь конечную толщину. Другая отличительная особенность физических точек состоит в том, что они способны взаимопересекаться. Строгое обоснование этого важного свойства требует обращения к сведениям из алгебры пространств толерантности и будет дано в Приложении. Но прежде, дадим вторую трактовку понятия физической непрерывности. Охарактеризуем её с позиций условий (8), (9), т. е. в терминах пространства с дискретной топологией.
В этом случае, согласно (8), узлы решётки образуют непрерывную последовательность при условии, что номера ближайших соседей отличаются не более, чем на единицу. В такой последовательности, которую назовём микронепрерывностью, роль «микроточки» играет пара смежных узлов. Поскольку в непрерывной последовательности соседние пары узлов имеют общие элементы, т. е. пересекаются, постольку справедливо говорить об аналогии между дискретным вариантом микронепрерывности и её «геометризированным» вариантом, рассмотренным выше.
Такую же аналогию можно усмотреть применительно к макронепрерывности. Как следует из (9), «макроточка» в дискретном пространстве переменных образована непрерывной совокупностью 2N + 1 узлов. Свойство макронепрерывности приписывается последовательности из названных «макроточек», если выполнено условие попарного взаимопересечения её смежных элементов.
Приложение
1. Отношение толерантности
В предыдущем разделе мы обсудили феномен физической непрерывности, рассмотрев его главным образом с содержательной стороны. Включение этого феномена в расчётный аппарат теории требует его формализации путём перевода присущих ему свойств на строгий теоретико-множественный язык.
В основе такого перевода, как следует из предыдущего материала, лежат соотношения (8), (9). Мы уже отмечали, что эти соотношения описывают особый вид неотличимости математических объектов (в нашем случае – узлов решётки пространства измеряемых величин), не сводящийся к тому, что мы понимаем под одинаковостью объектов. В математике отношение одинаковости известно как отношение эквивалентности, определяемое следующим набором свойств: рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью. Если обозначить отношение эквивалентности между элементами x и y некоторого множества символом x экв y , то вышеназванные свойства будут равносильны
следующим утверждениям:
1) x экв x (рефлексивность),
2) из x экв y следует y экв x (симметричность),
3) из x экв y , y экв z следует x экв z (транзитивность).
Нетрудно видеть, что отношение неотличимости, обозначенное нами символом «~» и определяемое условиями типа (8) или (9), обладает свойствами рефлексивности и симметричности, но при этом, вообще говоря, лишено свойства транзитивности. То есть отношение «~» формально можно определить как
тип отношения, обладающий двумя свойствами:
1) x ~ x ,
2) из x ~ y следует y ~ x .
Этот вид отношения получил в алгебре наименование отношения толерантности.
Отношение толерантности было введено Э. Зиманом (см., например, Зиман Э., Бьюнеман О. Толерантные пространства и мозг // Сб.: На пути к теоретической биологии. − М.: Мир, 1970, с. 134-144.) при исследовании систем, характеризуемых, так называемым, дифференциальным порогом восприятия и структурируемым по признаку «наименьшего воспринимаемого различия». Теоретико-множественные свойства подобных структур позднее исследовались в ряде работ и достаточно обстоятельно изложены в книге: Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. − М.: Наука, 1971, с. 78. Основываясь на материале этой книги, приведём некоторые сведения из теории отношения толерантности, которые потребуются нам в дальнейшем.
Начнём с основных определений.
Определение 1. Множество M с заданным на нём отношением толерантности τ называется пространством толерантности.
Пространство толерантности обозначим парой <M, τ>.
Определение 2. Множество L ⊆ M называется предклассом в пространстве толерантности <M, τ>, если любые элементы x и y этого множества толерантны, т. е. выполнено соотношение x ~ y.
Определение 3. Множество K ⊆ M называется классом толерантности в <M, τ>, если оно есть максимальный предкласс.
Это означает, что любое P ⊃ K не является предклассом. Иначе говоря, для любого элемента y , принадлежащего M , но не входящего в класс K, найдётся элемент x ∈ K , не толерантный к y.
Для предкласса, как нетрудно показать, справедливы следующие леммы.
Лемма 1. Для того, чтобы элементы x и y , принадлежащие M, были толерантны, необходимо и достаточно, чтобы существовал предкласс, содержащий оба эти элемента. Достаточность условия этой леммы следует непосредственно из определения предкласса; необходимость – из того, что любая толерантная пара элементов сама образует предкласс.
Лемма 2. (о пополнении предклассов). Всякий предкласс L содержится хотя бы в одном классе K.
В самом деле, если L – класс, то лемма доказана. Если L – не класс, то в множестве M \ L существует хотя бы один элемент y, толерантный ко всем элементам из L. Следовательно, присоединив этот элемент к L, мы получим множество L1 ⊃ L , которое тоже является предклассом. Если L1 – не класс, то мы продолжаем вышеописанный процесс пополнения предкласса L и в случае, когда множество M конечно, расширяем L до класса K ⊃ L за конечное число шагов n.
Заметим, что, поскольку x ~ x, то множество {x} , состоящее из элемента x ∈ M , образует (минимальный) предкласс. Отсюда, согласно лемме 2, можно заключить, что всякий элемент x ∈ M принадлежит какому-либо классу <M, τ> . Следовательно, множество всех классов пространства толерантности в <M, τ> образует покрытие множества M.
Из лемм 1 и 2 вытекает лемма для класса толерантности.
Лемма 3. Для того, чтобы элементы x и y, принадлежащие M, были толерантны, необходимо и достаточно, чтобы существовал класс толерантности, содержащий оба эти элемента.
Данная лемма имеет аналог в теории отношения эквивалентности в виде известной теоремы, согласно которой отношение эквивалентности разбивает множество E, на котором оно задано, на классы эквивалентности – попарно непересекающиеся подмножества множества E, в сумме составляющие E, причём такие, что принадлежность любых двух элементов из E одному и тому же классу является необходимым и достаточным условием их эквивалентности . Сопоставляя лемму 3 с этой теоремой и учитывая, что отношение толерантности при сообщении ему свойства транзитивности превращается в отношение эквивалентности (последнее, тем самым, можно рассматривать как частный случай первого), мы приходим к выводу, что при таком превращении классы толерантности трансформируются в классы эквивалентности. А так как классы эквивалентности не пересекаются, то справедлива следующая лемма.
Лемма 4. Отношение толерантности является отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда классы толерантности не пересекаются друг с другом.
Пусть H – множество классов толерантности пространства <M, τ> . Обозначим через SH совокупность всех непустых подмножеств множества H. Элементы этой совокупности обладают тем свойством, что если для каких-то X и Y из SH выполнено условие X ∩ Y ≠ ∅ , то они толерантны. Иными словами, SH относится к разряду пространств толерантности. Исходя из определения SH и используя леммы 2, 3, можно доказать следующую теорему.
Теорема 1. Если <M, τ> – произвольное пространство толерантности, а H – множество всех его классов толерантности, то существует отображение
φ : M → SH, (10)
такое, что элементы из M толерантны тогда и только тогда, когда толерантны их образы в SH.
Достоинство этой теоремы в том, что она позволяет перевести описание произвольного отношения толерантности на универсальный теоретико-множественный язык, сообщая этому описанию вид конкретной и обозримой конструкции.
Если M конечно, то конечно количество классов толерантности в <M, τ> . Пронумеровав их числами от 1 до p , заменим (10) на отображение φ : M → Sp, сопоставляющее каждому x множество номеров содержащих его классов:
x → {n1 , n2 ,..., nk}.
(ni ≤ p)
В таком отображении Sp представляет собой (p − 1) -мерный симплекс, т. е. совокупность всех непустых подмножеств множества {1 , 2 ,..., p} . При этом толерантность элементов x и y имеет место в случае, когда среди номеров, сопоставленных x и y, имеется хотя бы один общий. Иными словами, – когда взаимопересечение элементов Sp, соответствующих x, y, не пусто. Заметим, что условие X ∩ Y ≠ ∅ для X, Y ∈ Sp задаёт отношение толерантности на Sp.
Ещё одним важным понятием теории отношения толерантности является понятие базиса.
Определение 4. Совокупность HB = { K1 , K2 ,... } классов в пространстве толерантности <M, τ> называется базисом , если 1) для всякой толерантной пары x и y существует класс Ki ∈ HB , содержащий оба эти элемента; 2) удаление из HB хотя бы одного класса приводит к потере этого свойства, т. е. для всякого Ki ∈ HB существует толерантная пара x и y, для которой Ki является единственным общим классом толерантности в HB.
Понятие базиса приводит нас к модифицированному варианту теоремы 1.
Теорема 1′. Если <M, τ> – произвольное пространство толерантности, а HB – базис, то существует отображение
φ : M → SHB
такое, что элементы из M толерантны тогда и только тогда, когда толерантны их образы в SHB.
Cмысл этой теоремы состоит в том, что любое пространство толерантности может быть сведено (с точностью до склеек) к базису этого пространства с естественной толерантностью типа SHB.
2. Физическая величина как класс толерантности
Опираясь на приведённые сведения из теории отношения толерантности, исследуем структуру пространства измеряемых величин. В основу такого исследования положим представление (4) и соотношения (8), (9).
Согласно (4), пространство любой физической величины представляет собой решётку из (2kN + 1) узлов, где k ≥ 2 – число интервалов локализации, укладывающихся в интервале измерения 2L . Пронумеруем для простоты узлы этой решётки натуральными числами, т. е. будем полагать, что nx из (4) лежит в интервале значений от (N + 1) до ((2k − 1)N + 1). При этом измеряемая величина будет изображаться натуральным интервальным числом
X = {n | n1 ≤ n ≤ n1 + 2N; 1 ≤ n1 ≤ 2(k − 1)N + 1}, (11)
все элементы которого, в силу (8), попарно связаны между собой отношением толерантности. Как легко видеть, последовательность натуральных чисел (11) представляет собой максимальный предкласс, т. е. класс толерантности в пространстве, которое обозначим <Zx, τα>. Тем самым, мы приходим к важному выводу: целочисленный интервал как результат измерения физической величины представляет собой класс толерантности на ограниченном множестве целых чисел. В этой связи, напомним, что, в классической теории результат измерения физической величины (поскольку он изображается вещественным числом) относится к разряду классов эквивалентности.
Классы толерантности (11) образуют множество
H = {[1, 2N + 1], [2, 2N + 2], ... , [2(k − 1)N + 1, 2kN + 1]} (12)
с числом элементов p = (2(k − 1 )N + 1) . Эти элементы выстроены в непрерывную цепочку, в которой отсутствуют «избыточные» классы. То есть базис HB = H . Множество H образует пространство <H, τ> с естественной толерантностью, задаваемой условием:
Ki ~ Kj , если Ki ∩ Kj ≠ ∅, (13)
(i, j = 1,…, p)
где Ki, Kj ∈ H – классы толерантности пространства <Zx, τα>. Условие (13) задаёт на множестве элементов из H физически непрерывное распределение «макроточек», описанное выше на основании качественных представлений. Пространство <H, τ> называется сопряжённым к пространству <Zx, τα> (обозначается <Zx*, τα*>).
С помощью теоремы 1 с заменой SH на Sp можно описать толерантность в <Zx, τα> на языке всюду определённого соответствия
φ (n) = {1, 2,..., n}, если 1 ≤ n ≤ 2N + 1,
φ (n) = {n − 2N, n + 1 − 2N, ..., n}, если 2N + 1 < n ≤ 2(k − 1 )N + 1,
φ (n) = {n − 2N, n + 1 − 2N, ..., 2 (k − 1)N + 1}, если 2(k - 1)N + 1 < n ≤ 2kN + 1.
Здесь классы пронумерованы в той последовательности, в которой они представлены в (13).
Непрерывная последовательность классов из (13) избыточна в том смысле, что допускает прореживание без потери свойства физической непрерывности. В пределе такое прореживание приводит к непрерывной последовательности вида
[1, 2N + 1], [2N + 1, 4N + 1], ... , [2(k − 1)N + 1, 2kN + 1],
образующей пространство шкалы измеряемой величины с ценой деления, равной ширине интервала локализации.
Пространство толерантности <Zx, τα> порождено процедурой макроогрубления и может трактоваться как макроструктура. Наряду с ней, на множестве Zx существует микроструктура в виде пространства толерантности <Zx, τρ>, порождённого процедурой микроогрубления (9). Классы толерантности пространства <Zx, τρ> состоят из 2kN пар смежных элементов – «микроточек», – образующих непрерывную линейную цепочку сопряжённого пространства <Zx*, τρ*> . Толерантность в <Zx, τρ> можно описать с помощью всюду определённого соответствия
φρ (n) = {1}, если n = 1,
φρ (n) = {n, n + 1 }, если 2 ≤ n ≤ 2kN − 1,
φρ (n) = {2kN}, если n = 2kN,
которое каждому элементу n ∈ Zx сопоставляет множество номеров содержащих его классов.
Заключение
Итак, мы обосновали тезис об интервально-дискретной природе результатов измерения физических величин и реализовали его на уровне аппарата интервальной теории. Эта реализация свелась к математическому описанию физических переменных посредством классов толерантности на множестве целых чисел. Ещё раз подчеркнём, что такое описание относится к разряду безусловных признаков интервальной механики и не зависит от вида предлагаемого (в рамках соответствующей аксиоматики) конкретного расчётного аппарата.
Завершая знакомство с этой стороной интервальной механики, проведём сравнение классической и интервальной парадигм в виде следующего сопоставления их отличительных признаков.
Классическая теория
1. Представление об абсолютно точном значении физической величины,
выражаемой вещественным числом – классом эквивалентности.
2. Транзитивный характер отношений между физическими величинами.
3. Пространство эквивалентности в качестве пространства физических величин.
4. Идея математической непрерывности (континуума).
5. Отсутствие запрета на бесконечность информации.
Интервальная теория
1. Представление об интервальном характере физической величины, выражаемой целочисленным интервалом – классом толерантности.
2. Нетранзитивный характер отношений между физическими величинами.
3. Пространство толерантности в качестве пространства физических величин.
4. Идея физической непрерывности (Пуанкаре).
5. Запрет на бесконечность информации.
В заключение заметим, что в основу данного сообщения положен материал второй главы монографии «Петров В. В. Основы интервальной механики. Часть I. ‒ Нижний Новгород, 2017» (монография выложена на сайте https://elibrary.ru).
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
