che писал(а):Науки различаются по объекту, модель которого они дерзают собой представить.
Объектом математики являются числа и разные другие предметы, которые объединяет то, что они служат материалом из которого разум строит модели иных объектов.
Скажем -структуры. Числа-вид структур. В целом математика - наука гуманитарная, "языковая", особенно "чистая", не прикладная. Она развивается впереди физики, а, не наоборот. Логика - не раздел математики, а ее основание, на каждой неклассической логике, ее законах, можно построить новую математику.
Добавлено спустя 6 минут 46 секунд:Рассмотрим основные математические знания, известные нам из памятников культуры Древнего Востока. У египтян была десятичная непозиционная система. Отдельными знаками обозначались узловые числа: 1, 10, 100……….10ⁿ, где n=7. остальные числа записывались повторением узловых аналогично записи в римской системе с узловыми числами: I, V, X, L, C, D, M. Скорее всего римляне позаимствовали десятичную непозиционную систему счисления от древних греков, а те, в свою очередь, от египтян. Сменились только символы, обозначающие узловые числа. Очевидно, что дроби возникли из процесса измерения земельных участков, так как первые дроби были с 1 в числителе, и чётным числом в знаменателе: 1/2, 1/4, 1/8….1/2n. В дальнейшем к ним присоединились дроби с нечётным числом в знаменателе: 1/3, 2/3. В конце концов, египтянам стали известны все дроби вида m/n, где m и n, - натуральные числа. Таким образом, египтянам был известен ряд рациональных чисел.
У вавилонян была шестидесятеричная система счисления. Очевидно, это было связано с использованием математических знаний для астрономических расчётов.
Понятие «бесконечное» не было сформулировано в математическом знании данных культур. Такое понятие требует философского осмысления, выходящего за пределы эмпирического математического опыта. Это свидетельствует о том, что в рамках эмпирических оснований математики, понятие «бесконечное» невозможно. Оно, на наш взгляд, если и может возникнуть, то только как понятие потенциальной бесконечности (потенциальной бесконечной возможности продолжения счёта). Эмпирические потребности, формирующие математику, не требуют бесконечности. Необходимо отметить, что математика Древней Индии (в ней сформировалась позиционная десятеричная система счисления) оперировала огромными числами, даже с позиций современной математики. Очевидно, здесь не обошлось без влияния философских систем Индии, которые воспринимали Космос как бесконечное пространство, проходящее в своём развитии бесконечный временной цикл превращений.
Нельзя отказывать древневосточным математикам в наличии абстрактного мышления и идеализации. Уже в то время были введены три понятия идеальных абстрактных объектов: число, величина, геометрическая фигура.
Это свидетельствует о довольно высоком уровне абстрактного мышления тогдашних математиков, которые выделили три центральных понятия: «фигура», «величина», «число», нашли некоторые классы геометрических фигур (квадрат, прямоугольник, треугольник, прямоугольный параллелепипед, шар Ии т.д.), отметили типичные связи величин в материальном мире, зафиксировав их в виде типовых задач.
Какие математические действия (алгоритмы) были известны древним вавилонянам и египтянам? Вавилоняне сформулировали правила арифметических действий с дробями и натуральными числами. Рассматривались задачи, которые с современной точки зрения сводятся к уравнениям 1-ой, 2-ой и даже 3-ей степени. Египтяне стремились свести все арифметические действия к сложению. Они решили ряд задач, которые в современном математическом языке сводятся к линейным уравнениям, арифметической и геометрической прогрессиям. Правильно вычисляли площади многих фигур.
Но, математические знания египтян были ориентированы только для решения практических задач земледелия, орошения, строительства, измерения времени и т.д.
«При этом давались только рецепты решения задач без теоретического обоснования. Очевидно, что эти решения могли быть получены только эмпирическим путём, а предполагали в своей сути теоретическое мышление».
Конечно, их математические алгоритмы можно назвать рациональными только с позиции инструментализма. Но можно ли говорить о той математике как науке, о научной рациональности в ней? Учитывая то, что отсутствовало какое-либо теоретическое объяснение, доказательство, - данные математические знания нельзя назвать научно рациональными. Очевидно, они объяснялись как данные свыше, от божественных сил, поэтому и владели ими, транслировали эти знания касты жрецов (по крайней мере, в Египте). В таком случае можно говорить о мифологической рациональности математических знаний. Их можно было воспринимать, принимать, передавать, но не изменять, не критиковать. А любое доказательство подразумевает элемент критики.
Теория в математике оперирует идеальными математическими абстракциями (сущностями), что сближает её с философией, которая также немыслима без критической рефлексии. Можно сделать вывод, что развитие математики как науки стало возможно, только с генезисом философии, одновременно или следом за философией. Вопрос, что было вначале, рефлексивная
философия – это не столь важно. На наш взгляд,
философия и математике на начальном рефлексивном уровне развивались неотрывно друг от друга, как одна область высшего рационального знания, и только с усилением инструментализма в новой эллинской математике, математика выделяется как наука.
В Египте и Вавилоне не было ни философии, ни математики как науки. Поэтому философы науки и характеризуют математику Древнего мира как «преднаучную» стадию, эмпирический уровень которой основывается на мифологическом знании.
А как же быть с Древним Китаем и Индией, где развивалась
философия?
Философия Китая не была «онтологичной», а научная рациональность в математике в аспекте формирования основных понятий базируется на онтологических построениях в философии. В Индии же
философия развивалась довольно активно какой-то период до её мифологизации. И активно развивались логические построения, превзошедшие по уровню логику Аристотеля. Но доминирование типа наукогенной культуры в течение короткого периода, сменилось доминированием традиционной культуры. Поэтому математика в Индии Средних веков стала рациональным «математическим мифом». Основной принцип: «Иди и смотри!», никак не соответствует научной рациональности в математике.
Резюмируя, можно сказать, что математика Индии, Вавилона, Китая, Египта – это математика более или менее хорошо разработанных алгоритмов, основанных на эмпирическом базисе. В этой математике была критериально-нормативная система рациональности, но так как отсутствовала дополняющая ёё система критической рефлексии, то говорить о научной рациональности в той математике, можно только с позиций «релятивизма» в философии науки.
Математика постоянных величин – это период с 7в. до н.э до 17 века нашей эры. Основная его характеристика – это оперирование только постоянными величинами. В начале этого периода уже развивается понятие доказательства, а это возможность опровержения номативно-критериальной системы в математике. То есть, математика дополняется критериями рефлексии, а, значит, становится наукой.
Важно, что математика, благодаря её связи с философией становится наукой об идеальных объектах: идеальных сущностях по Платону, или идеальных структурах форм бытия, - по Аристотелю.
Платоновский Бог-демиург строит мир, опираясь на идею пропорционального соотношения всех его частей. Он – великий геометр. Аристотель не согласен с пониманием математических объектов как отдельных сущностей. По Аристотелю, человек в своём мышлении, абстрагируясь от конкретного, строит идеальный мир отвлечений.
Главное, что математика перестала быть практическим знанием, а обрела своё теоретическое знание об идеальных объектах: «возможных мирах».
Считается, что математика оставалась на данном периоде математикой постоянных величин, в связи с обнаружением парадокса несоизмеримых величин. Вполне возможно! Но суть, на наш взгляд, здесь заключается в том, что
философия античности не мыслила актуальной бесконечности. Форма Аристотеля измерима и конечна (дискретна). То же самое можно сказать и о мире математических сущностей Платона.
А, вот мир «косной» материи обладает свойством неизмеримости, в нём искажаются соизмеримые пропорции форм или математических сущностей. Математики-философы того времени рассматривали истинный мир, как конечный, а вот мир «фюзиса», - изменчив. Но его изучение невозможно в рамках математики, - строгой науки. Его может изучать только
физика на качественном уровне познания, да и то, - ограниченным недостоверностью чувственного знания.
Итак, объект математики того времени – идеальные ограниченные миры, их структуры. В них нет «флюксий», а поэтому не может быть математики, занимающейся переменными величинами.
Интересно, поняли бы математики античности, неевклидовы геометрии. На наш взгляд – да! Но эти геометрии – искажение косной несоизмеримой материей форм или вечных математических сущностей.
Отказ от исследования переменных величин сделал эту математику – математикой пропорциональных соотношений между величинами.
Важная особенность этого периода математики – это то, что в основе её лежал аксиоматический метод. Книга Евклида «Начала» - стала нормативно-критериальной системой аксиом.
Важной характеристикой математики этого этапа является преобладание «понятийности» над алгоритмами. Конечно, алгоритмы развивались, решались задачи, но, прежде всего, математика той эпохи - это система понятий и высказываний.
Как уже отмечалось, «бесконечность» изгонялась из работ математиков того времени. Поэтому многие формулы объёмов фигур, излагались без применения предельного перехода, без разложения на бесконечно малые части. На наш, взгляд, развитие логики шло также на исключении понятии актуальной бесконечности. Формы мышления рассматривались как дискретные, с креативными переходами (закон исключение третьего или контрадикция в соотношениях между понятиями).
Всё вышеотмеченное, привело к доминированию геометрического метода в математике, а он препятствовал развитию алгебры. Как можно представить геометрически четвёртую и высшие степени длины. Нельзя складывать с геометрической наглядностью выражения разных степеней, - такая сумма не имеет геометрического смысла. По этим же причинам в греческой математике не было отрицательных чисел, нуля, отрицательных чисел.
Зачатки алгебры появляются у арабов, но не как учение о формальных действиях, а как «наука» о решении уравнений. По сути, это алгебра алгоритмов, а не понятий. В математике же, система алгоритмизации и система понятий, дополняющие друг друга являются основой математической или логико-математической рациональности. Критическая рефлексия – это всегда или логическое доказательство, или опровержение.
Сделаем некоторые выводы по данному этапу развития математики в аспекте научной рациональности.
Развитие философии, прежде всего, онтологии, как логики мышления развивает понятийную математику. Рациональная
философия, основанная на онтологических дискуссиях, развивает рефлексивно-критериальную систему в математике (доказательство и опровержение). Отметим, что этот период в культуре античности характеризуется активным развитием демократии в социальной жизни полисов. Этот период характеризуется бурным развитием математики как науки (по критериям научной рациональности).
В эпоху эллинизма начинает доминировать нормативно-критериальная система в математике.
Философия «спускается на землю», а в математике начинается этап алгоритмизации (решения задач на основе нормативно-критериальной системы). Приходит в упадок и демократия. Архимед, Аполлоний, Архимед и др., жившие в эпоху упадка демократии, решили достаточно много задач, связанных с практическими потребностями механики. Но по принципу дополнительности двух систем в научной рациональности, математика не вырождается.
Рефлексия в математике приводит к развитию системы буквенного исчисления, развивается понятие о соотношениях (предтеча понятия функции), развивается понятие о числе. Вводятся понятия отрицательных чисел, действительного числа.
«Итальянский учёный Бомбелли (раньше Декарта на столетие) вводит идею действительного числа, освободив тем самым алгебру от геометрической одежды».
Период позднего средневековья характеризовался развитием религиозной философии с доминированием критической рефлексии в ней(номинализм, Н. Кузанский). Всё это дало философские основания для развития новой математики, математики переменных величин.
Таким образом, развитие математики как науки было связано с развитием онтологии и теории познания. Корреляция здесь налицо. То же самое можно сказать и о связи демократии и математической научной рациональности
В XVII веке начинается период математики переменных величин. Общую идею переменной величины заложил Р. Декарт, который «алгебраизировал» геометрию. К 60-м годам XVII века были разработаны многочисленные методы для вычисления площадей, ограниченных различными кривыми линиями. Были созданы дифференциальные методы исчисления, которые решали основную задачу: зная кривую линию, найти её касательную. Многие задачи практики приводили к постановке обратной задачи: зная касательные к кривой, найти соответствующую кривую. Наиболее ранней формой дифференциального и интегрального исчисления стала теория флюксий (Ньютон). Символика и оперативная простота дифференциального и интегрального исчисления Лейбница оказалась более привлекательной, благодаря умению Лейбница находить алгоритмы.
«Лейбниц был одержим желанием находить алгоритмы, и это ему удалось столь превосходно, что с помощью своего алгоритма он совершенно затмил аналогичную по содержанию работу Ньютона».
Часто аргументируют к мнению, что развитие математики переменных величин было связано с программой математического естествознания и потребностями механики. Но сама программа математического естествознания представляла собой проект (теологический) познания мира, как божественного творения, а, значит «мыслетворения» Бога. От поиска «математического плана» мира, в разуме, математика начинает открывать его в явлениях природы. Это коренной поворот в научном познании, соединил математику с физикой (механикой), и сделал математику «служанкой» физики, так как
физика познаёт природу.
Надо отметить, что переход к математике переменных величин, требовал философского осознания континуума, актуальной бесконечности, мира как актуальной бесконечности. И, на наш взгляд, идеи Н.Кузанского, Дж. Бруно не могли не повлиять на математику, как онтологические основания. Если раньше совершенное рассматривалось как ограниченное, неизменное, соизмеримое; то на данном этапе мир рассматривается как безграничный и непрерывный и совершенный. Несоизмеримость величин рассматривается через бесконечно малые величины. Бесконечно малая величина есть результат переменной величины, - «флюенты».
Лейбниц вводит общее понятие функции, а это идея об общей взаимосвязи всех явлений мира, «предустановленной гармонии». Сама идея дифференциального и интегрального исчисления – это обоснование детерминизма механических явлений. Зная изначальные условия (время, координату, импульс), мы можем определить последующее состояние механической системы, и, наоборот. Полная теория функций была создана в конце XIX века, и тогда стало ясно, что возможны и неоднозначные функции. Одному элементу из множества А может быть поставлено по закону соответствия множество элементов из множества В. А это уже корреляционная, а не взаимнооднозначная связь. Взаимно однозначное соответствие между множествами А и В, присутствует только в том случае, если функция всюду определенна, однозначна, инъективна и является функцией на всё В. Очевидно, математика переменных величин была основана на начальном периоде только на таких функциях.
Но выше отмечалось, что после этапа соединения физики с математикой, когда зарождается новая понятийная математика, наступил период до конца XVIII века, когда математика служит «физике». Начинается активное развитие алгоритмов в математике переменных величин. Ряды Фурье, интеграл Фурье, гамильтониан, лангранжиан т.д., - это период решения парадигмальных задач математики переменных величин, период доминирования номативно-критериальной системы научной рациональности в математике. Активно развивается математика алгоритмов, тем более, что мощь алгоритма нигде не проявляется так ярко, как ув дифференциальном и интегральном исчислении.
Естественно, что тогда XVII век можно рассматривать как период нормативно-рефлексивной научной рациональности в математике. И, как и до этого, в истории математика, рефлексия, выводящая на новые принципиально новые математические понятия, оказалась связанной с новыми философскими идеями в области философии и онтологии.
В периоды развития математики, рассмотренные выше, считали, что математика отображает свойства, структуры реального мира. В платонизме рассматривались два мира, и, математика была наукой о свойствах, соотношениях мира идей, который, хотя и в искаженной форме, но отражается в мире материи.
Но ещё в XVII веке Лейбниц считал, что математика должна изучать все, что в области воображения поддаётся точному определению. Переворот в философских основаниях математики произвёл И. Кант. Мир ноуменов нам дан, но не может быть познанным, а мир феноменов, доступный нам, - обуславливается априорными свойствами нашего разума. Поэтому, математика – наука, которая, по сути, изучает свойства чистого разума. Свои синтетические высказывания математика строит из аналитических высказываний, которые есть ни что иное, как категории рассудка.
Но сразу возникает вопрос, ограничен ли чистый разум? По Канту получается, что да! Но сама идея, что математика отражает не соотношения реального мира, а исходит из разума, дала толчок новым революционным преобразованиям в понятийной математике.
Первый удар классическим концепциям нанесло построение в 20-х годах XIX века гиперболической неевклидовой геометрии.
«Открытие неевклидовой геометрии потребовало отказа предшествующих периодов от претензий на «абсолютную истинность» евклидовой геометрии. Получалось, что аксиомы – это гипотезы разума, с помощью которых строятся модели физического мира. Всё это не могло не послужить основанием к глубоким исследованиям в основаниях математики».
Уже позднее Риман показал возможность неограниченного разнообразия геометрических пространств, отличающихся друг от друга размерностью, формулами для вычисления расстояний. Стали изучаться пространства элементами, которых являются не точки, а прямы, окружности, сферы. А уже затем, - функции и последовательности (функциональные пространства). Изучение функциональных пространств привело к созданию функционального анализа.
Развитие различных сугубо абстрактных математических пространств дало возможность создавать новые модели физического мира (теория общей относительности А. Эйнштейна). Главная идея И.Канта о том, что мир ноуменов мы познать не можем, а можем только накладывать на «лепет ощущений» модели нашего разума, по сути, сделала математику наукой о чистом разуме, о возможных его структурах.
Одновременно, глубокие изменения происходят и в основных базовых понятиях алгебры. Надо отметить, что до XIX века алгебра занималась в основном разработкой алгоритмов решений уравнений и правилами преобразования буквенных выражений, причём буквы в уравнениях выражали числа.
Переворот в «понятийной алгебре» происходит, по сути, с формированием теории множеств. Множества подразумевают не только совокупности чисел, но и совокупности любых объектов. Тогда операции, задаваемые на множествах, могут производиться с любыми объектами, - элементами множеств. Создается новое понимание функции как закона, который ставит в соответствие элементы множеств. Функции при изучении их свойств оказываются разными: везде определёнными, не везде определёнными, однозначными и неоднозначными. Логика изучения функций и операций над множествами, приводит к понятиям группоида, группы (абелевой аддитивной группы, ассоциативной группы), кольца, поля, решётки. Вводя в множествах различные операции, можно получить различные алгебраические структуры. Появляется понятие рода алгебраических структур, причём общая алгебраическая теория может применяться к любой структуре этого рода, в какой бы предметной области она не встретилась. Теория групп начинает использоваться и в геометрии.
Таким образом, математика выходит за пределы изучения числовых (количественных соотношений). Возникает вопрос, а не является ли математика наукой о правилах мышления разума. Не сводится ли она к логике в широком смысле, если считать логику наукой о правилах мышления с различными (не только числовыми) структурами. Вопрос актуален и сегодня, особенно с развитием теории информации. На наш взгляд, правильнее говорить не о математике, логике, а о науках изучающих формальные структуры. Формы мы можем наполнить любым содержанием.
Опять же возникает вопрос о том, чем считать науки о языках? Ведь если абстрагироваться от содержания, то язык также можно рассматривать как различные структуры, структуры разума.
Все развитие математики привело к выводу, что она изучает различные формальные структуры, которые могут встречаться в различных предметных областях. Или структуры, при помощи которых мы можем моделировать предметные области.
Развитие математики расширило её область за пределы количественных отношений и пространственных форм. Выявилась роль таких математических структур, как эквивалентность, упорядоченность, близость.
Главный вопрос всегда ли формы и отношения, изучаемые математикой, имеют прообразы в реальном мире? Очевидно, что нет! Ведь математика изучает и свойства «мыслительных объектов» (шар или спираль в бесконечномерном пространстве), а также логически чистые формы и системы отношений, Ясно одно, что характеристики научной рациональности, характерные классической науки, никак не подходят математике. Ей априорно присуща другая научная рациональность.
Бурный период «понятийной математики» по логике развития закончился, и перед математикой встали алгоритмические задачи. Во многом эти задачи обуславливаются развитием информационных технологий, которые дают математике новую «эмпирическую» предметность. Теория кодирования, алгоритмов, автоматов, как разделы новой математики, основанной на конечных множествах, вызваны к жизни насущными потребностями создания алгоритмов для новой предметной области.
Возможно, что после периода создания разнообразных новых алгоритмов, начнётся новый период расширения понятий математики, как включение в её состав понятий о новых формальных структурах?
Если чистый разум не ограничен априорно, то получается, что он априорно актуально бесконечен. А это даёт повод для философских размышлений не только о природе математики как науки, но и о философских проблемах чистого разума, в аспекте его актуальной бесконечности. Ясно одно, что во всех периодах своего развития, математика изучала свойства и структуры чистого разума. А его актуальная бесконечность даёт математике недостигаемый, вечно удаляющийся горизонт истины, скрытый в актуально бесконечной полноте чистого разума.
Добавлено спустя 7 часов 42 минуты 56 секунд:alexandrovod писал(а):Можно даже сказать - математика это лингвистика квантов наук, а лингвистика -математика объектов наук.
Хорошо сказали!
(звэррррь из грузинских короткометражек)
