Упрощённая гипотеза Ферма.

Это на самом деле не моё решение, а решение Эйлера-Бине. Вывод этих формул можно найти в книге:
Г.Дэвенпорт, "Высшая арифметика (введение в теорию чисел)".

Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать

Код: выделить все

<div style="text-align:center;">Обсудить теорию <a href="http://www.newtheory.ru/mathematics/uproshchennaya-gipoteza-ferma-t6768-10.html">Упрощённая гипотеза Ферма.</a> Вы можете на форуме "Новая Теория".</div>


За это сообщение автора Дед Пыхто поблагодарил:

AleksandrDudin (09 окт 2023, 23:05)

Уважаемый, Дед Пыхто! Спасибо Вам за Ваше участие и помощь в прозрении.
Упрощённая гипотеза Ферма, тем хороша, что если нашли решение при n = 3, то в следующий раз можно искать решение при n = 4, при n = 5 и т.д. С каждой новой степенью, поиск решения усложняется на порядки.
В 1769 г. Эйлером выдвинута гипотеза, что A^4 + B^4 + C^4 = D^4 не имеет решений в натуральных числах А,B,С,D.
И только с помощью мощнейших компьютеров в 1988 г. Ноам Элкис обнаружил решение:
2 682 440^4 + 15 365 639^4 + 18 796 760^4 = 20 615 673^4
Как, следует из Вашего комментария №9, такой вариант при любом натуральном числе n > 2
A^n + B^n = C^n + D^n
уравнение не имеет решения в целых не нулевых числах А,B,С,D, где А не = B не = С не =D, уже рассматривался, получается по новой «изобрёл велосипед». Вернусь к первоисточникам, и буду определяться, где заблудился?
С уважением А.Т. Дудин.

То, что вы написали, вовсе не следует из моего комментария.
Кстати, уравнения


являются различными.

уравнение a^3+b^3=c^3-const, при const=2 имеет бесконечное число решений в целых числах, при других значениях const, не более 1 решения.

Не знаю, откуда у вас такие сведения.
По сведениям Г.Дэвенпорта, уравнение

имеет бесконечно много решений в целых числах, так как

Из этого следует, что и ваше уравнение имеет бесконечно много решений при const=1 или const=-1.

За это сообщение автора Дед Пыхто поблагодарил:

alexandrovod (12 окт 2023, 14:31)

Дед Пыхто писал(а):Не знаю, откуда у вас такие сведения.
По сведениям Г.Дэвенпорта, ...

Просто я сам вывел доказательство и алгоритм нахождения всех троек с константой =2, для других значений не смог.
Минимальная тройка 1295^3+216^3+2=1297^3

Пусть

t - любое целое число. Тогда

Бесконечно много решений в целых числах. Аналогично при

будет

Опять бесконечно много решений.

За это сообщение автора Дед Пыхто поблагодарил:

alexandrovod (12 окт 2023, 20:03)

[quote="Дед Пыхто"]
8 =2 в кубе! Вот вы и помогли А. Дудину.

А как же быть с четвёртыми степенями?
Знает ли кто-нибудь хотя бы одно решение уравнения

в различных целых положительных числах?
(Здесь имеется в виду, что все числа x,y,z,w попарно различные.)

Уважаемый, Дед Пыхто!
Здесь два варианта ответа, один вариант: или же есть решение и его надо привести, и второй вариант: решений нет, и это утверждение надо доказать.
Иногда пытаюсь найти решение, но пока без результата.
x^4 +y^4 = z^4 + w^4
Предполагаю, что у таких уравнений с любыми положительными степенями n есть решения.
Ответ на комм. №13.
Уважаемый, Дед Пыхто!
Уравнения:
x^4 +y^4 +z^4 = w^4
x^4 +y^4 = z^4 + w^4
несомненно, являются различными, иначе их надо было записать:
x^4 +y^4 - z^4 = w^4
x^4 +y^4 = z^4 + w^4
или
x^4 +y^4 +z^4 = w^4
x^4 +y^4 = w^4 - z^4
С уважением А.Т. Дудин.