Упрощённая гипотеза Ферма.

Упрощённая гипотеза Ферма.

Ключевые слова: великая теорема Ферма; гипотеза Била; гипотеза Эйлера

Keywords: Fermat's great theorem; Beale's hypothesis; Euler's hypothesis

Аннотация. Предложена упрощённая гипотеза Ферма

Annotation. A simplified Fermat hypothesis is proposed


УДК 511

Введение.
Доказательство Великой теоремы Ферма Уайлсом, в завершающем варианте, было опубликовано в 1995 г., за которое, он в 2016 г. получил Абелевскую премию.
О доказательстве АBC- гипотезы, из которой тривиально следует доказательство теоремы Ферма, заявил Синъити Мотидзуки, его доказательство слишком сложно, поэтому остаётся не подтверждённым и не опровергнутым сообществом математиков.
В 1769 г. Эйлером выдвинута гипотеза, что A^4 + B^4 + C^4 = D^4 не имеет решений в натуральных числах А,B,С,D.
И только с помощью мощнейших компьютеров в 1988 г. Ноам Элкис обнаружил решение:
2 682 440^4 + 15 365 639^4 + 18 796 760^4 = 20 615 673^4
Вышеприведённые гипотезы, теоремы внесли огромный вклад в развитие теории чисел, компьютерной техники, математики в целом. По своей кажущейся простоте эти теоремы и гипотезы привлекают к решению большое количество, как профессиональных математиков, так и математиков – любителей. И конечно должны быть доказательства этих гипотез и теорем намного проще, чем мы имеем на сегодняшний день, так как они были сформулированы в 17 – 18 веке, когда не было компьютеров, а выдвигать такие теоремы и гипотезы нужно иметь основание. Поэтому эти теоремы и гипотезы остаются актуальными и сейчас.
Великая теорема Ферма утверждает, что при любом натуральном числе n > 2
A^n + B^n = C^n
уравнение не имеет решения в целых не нулевых числах А,B,С.
Сформулируем упрощённую гипотезу Ферма следующим образом:
при любом натуральном числе n > 2
A^n + B^n = C^n + D^n
уравнение не имеет решения в целых не нулевых числах А,B,С,D, где А не = B не = С не =D.
Актуальность данной работы заключается в том, что нужно доказать, что данная задача в целых положительных числах решений не имеет, а если имеет, то найти эти решения.
Цель данной работы заключается в том, чтобы упростить гипотезу Ферма, сделать её более привлекательной и обновлённой, что впоследствии при решении её, она послужит развитию математики и теории чисел.
Научная новизна заключается в том, что при составлении упрощённой гипотезы Ферма, требуется по новому подходить к теории чисел, комбинаторике и к степеням чисел.
Данная гипотеза возникла при изучении теоремы Ферма и гипотезы Била.
В этой работе опирался на следующий материал:[1];[2];[3];[4];[5];[6].
Для предлагаемой гипотезы в интернете нашёл примеры, в которых предлагаемая гипотеза наполовину выполнена.
«9^3 + 18^3 == 9^4 == 6561 nod=9
3^3 + 6^3 == 3^5 == 243 nod=3
17^4 + 34^4 == 17^5 == 1419857 nod=17
27^3 + 54^3 == 3^11 == 177147 nod=3
28^3 + 84^3 == 28^4 == 614656 nod=28
65^3 + 260^3 == 65^4 == 17850625 nod=65
70^3 + 105^3 == 35^4 == 1500625 nod=35
81^3 + 162^3 == 9^7 == 4782969 nod=9
82^4 + 246^4 == 82^5 == 3707398432 nod=82
96^3 + 192^3 == 24^5 == 7962624 nod=24
126^3 + 630^3 == 126^4 == 252047376 nod=126
144^3 + 288^3 == 72^4 == 26873856 nod=72
194^4 + 291^4 == 97^5 == 8587340257 nod=97
243^3 + 486^3 == 3^17 == 129140163 nod=3
266^3 + 665^3 == 133^4 == 312900721 nod=133
273^3 + 364^3 == 91^4 == 68574961 nod=91
456^3 + 760^3 == 152^4 == 533794816 nod=152
469^3 + 603^3 == 134^4 == 322417936 nod=67
756^3 + 945^3 == 189^4 == 1275989841 nod=189
793^3 + 854^3 == 183^4 == 1121513121 nod=61» [6].
Осталось определить, найти правую часть равенства, например:
456^3 + 760^3 = C^3 +D^3
194^4 + 291^4 = C^4 +D^4
Выводы. При кажущейся простоте, найти решения оказалось очень проблематичным мероприятием, даже для 3 и 4 степеней. А что говорить о степенях более высоких.
Цели и задачи достигнуты, актуальность «Упрощённой гипотезы Ферма», очевидна, поэтому она послужит развитию теории чисел.

Библиографический список:
1.Великая теорема Ферма — Википедия
https://ru.wikipedia.org/wiki/Великая_теорема_Ферма
/электронный ресурс/ Дата посещения: 23. 07. 2023 г.
2.Beal
http://www.norvig.com/beal.html
/электронный ресурс/ Дата посещения: 23. 07. 2023 г.
3.Гипотеза Била - Beal conjecture
https://ru.wikibrief.org/wiki/Beal_conjecture
/электронный ресурс/ Дата посещения: 23. 07. 2023 г.
4.MathForum.Ru - Высшая математика - Гипотеза Била? Это уже не гипотеза, а теорема.
https://www.mathforum.ru/forum/read/1/71832/
/электронный ресурс/ Дата посещения: 23. 07. 2023 г.
5.Гипотеза Била - Beal conjecture - abcdef.wiki
https://ru.abcdef.wiki/wiki/Beal_conjecture
/электронный ресурс/ Дата посещения: 23. 07. 2023 г.
6.Убить Била – MathHelpPlanet
https://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=47747
/электронный ресурс/ Дата посещения: 23. 07. 2023 г.

23. 07. 2023 г. А.Т. Дудин.

Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать

Код: выделить все

<div style="text-align:center;">Обсудить теорию <a href="http://www.newtheory.ru/mathematics/uproshchennaya-gipoteza-ferma-t6768.html">Упрощённая гипотеза Ферма.</a> Вы можете на форуме "Новая Теория".</div>


AleksandrDudin писал(а):243^3 + 486^3 == 3^17 == 129140163 nod=3

243^3 + 486^ = 243 ^3(1 + 2)^3 = (3^5)^3 *3^3 = 3^18 = 387420489

3¹⁸ = 387420489

3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81
3^5 = 243

Добавлено спустя 2 дня 2 часа 15 минут 7 секунд:

chichigin писал(а): chichigin » 29 июл 2023, 08:27

AleksandrDudin писал(а):
243^3 + 486^3 == 3^17 == 129140163 nod=3


243^3 + 486^ = 243 ^3(1 + 2)^3 = (3^5)^3 *3^3 = 3^18 = 387420489

3¹⁸ = 387420489

3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81
3^5 = 243

К сожалению, не успел исправить ОЧЕПЯТКУ т.к. по техническим причинам не мог попасть на форум.

Но лучше позже, чем никогда.

В выражении (1 + 2)^3 степень 3 нужно поставить не за скобкой, а перед скобкой (1 + 2^3) = 3^2 и тогда

AleksandrDudin писал(а):243^3 + 486^3 == 3^17 == 129140163 nod=3

243^3 + 486^ = 243 ^3(1 + 2^3) = (3^5)^3 *3^2 = 3^117 = 129140163

Т.е. приведенные AleksandrDudin формулы составляются по формулам вроде

(a^k)^n + (b*a^k)^n = a^m ,где
b^n + 1 = a^p
m = k*n +p

возможны и многие другие варианты.

Но существует одно правило, чтобы в формуле

X^n + y^n = z^m

числа "x" и "y" обязательно должны быть кратны числу "z"



.

Уважаемый chichigin! Спасибо, что приняли участие в решении гипотезы:
A^n + B^n = C^n + D^n
Возможностей для решения больше, но решения пока нет.
Возможно, в таких уравнениях есть решения:
A^n + B^n = C^(n-1) + D^(n-1)
A^n + B^n = C^(n+1) + D^(n+1), а может и здесь решений нет?
С уважением А.Т. Дудин.

AleksandrDudin писал(а):Возможно, в таких уравнениях есть решения:
A^n + B^n = C^(n-1) + D^(n-1)
A^n + B^n = C^(n+1) + D^(n+1), а может и здесь решений нет?
С уважением А.Т. Дудин.

AleksandrDudin писал(а):A^n + B^n = C^(n-1) + D^(n-1)

при n = 2 данное уравнение имеет решения.

AleksandrDudin писал(а):A^n + B^n = C^(n+1) + D^(n+1

при п=1 данное уравнение также имеет решения.

AleksandrDudin писал(а):A^n + B^n = C^(n-1) + D^(n-1)
A^n + B^n = C^(n+1) + D^(n+1

при n < 2 по моему мнению, данные уравнения решения не имеют, т.к. при увеличении степени у чисел
данных уравнений увеличивается число сомножителей, а значит уменьшается вероятность совпадения сумм левых и правых частей уравнений.

Уважаемый chichigin!
Да, здесь рассматриваем при показателе степени, только n > 2.
Для уравнения: A^n + B^n = C^(n-1) + D^(n-1), удалось найти решения и их бесконечное множество, предполагаю, что и для уравнения A^n + B^n = C^(n+1) + D^(n+1), так же есть решения. Возможно, через эти два уравнения можно придти к доказательству по основному уравнению: A^n + B^n = C^n + D^n
1^3 + 4^3 = 65 = 8^2 + 1^2
1^3 +9^3 = 730 = 27^2 +1^2
2^3 + 8^3 = 520 = 22^2 +6^2
4^3 + 16^3 =4160 = 64^2 +8^2
С уважением А.Т. Дудин.

AleksandrDudin писал(а):Да, здесь рассматриваем при показателе степени, только n > 2.
Для уравнения: A^n + B^n = C^(n-1) + D^(n-1), удалось найти решения и их бесконечное множество, предполагаю, что и для уравнения A^n + B^n = C^(n+1) + D^(n+1), так же есть решения. Возможно, через эти два уравнения можно придти к доказательству по основному уравнению: A^n + B^n = C^n + D^n
1^3 + 4^3 = 65 = 8^2 + 1^2
1^3 +9^3 = 730 = 27^2 +1^2
2^3 + 8^3 = 520 = 22^2 +6^2
4^3 + 16^3 =4160 = 64^2 +8^2

1^3 + 4^3 = 65 = 8^2 + 1^2
!^3 + 2^6 = 65 = 2^6 + 1^2

1^3 +9^3 = 730 = 27^2 +1^2
1^3 + 3^6 = 730 = 3^6 + 1^2

4^3 + 16^3 =4160 = 64^2 +8^2
2^6 + 2^12 - 4160 = 2^12 + 2^6
Все логично.

2^3 + 8^3 = 520 = 22^2 +6^2 но это равенство представляет интерес
2^3( 1 + 4^3) = 520 = 2^2(11^2 + 3^2)

Удачи.

Ваша гипотеза неверна. Вот простой контрпример:

За это сообщение автора Дед Пыхто поблагодарил:

AleksandrDudin (08 окт 2023, 14:40)

Уважаемый, Дед Пыхто! Спасибо за решение. Очень оригинально, что ж придётся ввести
дополнительное ограничение на натуральные числа:
Сформулируем упрощённую гипотезу Ферма следующим образом:
при любом натуральном числе n > 2
A^n + B^n = C^n + D^n
уравнение не имеет решения в целых не нулевых числах А,B,С,D, где А не = B не = С не =D не = 1.
С уважением А.Т. Дудин.

По некоторым сведениям, число 87539319 можно представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел тремя различными способами. К сожаленью, мне неизвестно, какими именно способами. Более того, существуют числа, представимые в виде суммы двух кубов натуральных чисел четырьмя и даже пятью различными способами. По-видимому, из этого должно следовать, что ваша новая гипотеза опять неверна.

Добавлено спустя 53 минуты 1 секунду:
По другим сведениям, при




должно быть

Это формулы Эйлера-Бине, дающие бесконечно много решений уравнения (*) в целых (но не всегда положительных) или рациональных числах.
Из рациональных решений можно получать целые, домножая все числа на некоторый общий множитель.
В частности, при p=4, q=1 получаем:

За это сообщение автора Дед Пыхто поблагодарил:

AleksandrDudin (08 окт 2023, 18:45)

Уважаемый, Дед Пыхто! Создавая упрощённую гипотезу Ферма, предполагал, что в ней будут решения. Вы предложили очень оригинальное решение, и вероятно это не одно решение, и сразу появляется желание продолжить поиск подобных решений, что и нужно, чтобы дать возможность школьникам, студентам погрузиться в математику, познакомиться с теоремой Ферма, гипотезой Эйлера, гипотезой Била и гипотезами других математиков. Ваше решение может вдохновить многих начинающих математиков, а что ещё нужно? Можно считать, что эта упрощённая гипотеза, благодаря Вам, свою задачу выполнила, но интрига осталась.
И по поводу новой гипотезы, будем радоваться, что найдётся не одно решение. Это довольно утомительно решать такие гипотезы, за их решение берутся люди по-настоящему влюблённые в математику и на этом пути нужны хотя бы маленькие победы.
С уважением А.Т. Дудин.