Новый подход к проблеме пондеромоторного действия

Фёдор Менде

Новый подход к проблеме пондеромоторного действия электрических токов

Аннотация

Прошло уже почти 200 лет с тех пор, как в 1820 г. Ампер открыл свой знаменитый закон о силовом взаимодействии токонесущих систем. Этот закон давал возможность вычислить силу, с которой взаимодействуют проводники, по которым течёт постоянный ток, в зависимости от величины и направления тока, а также расстояния между ними. К сожалению это был феноменологический закон, при помощи которого можно было вычислить указанную силу, однако физика работы этого закона не была установлена и до настоящего времени. В статье разработан новый физический подход к проблеме пондеромоторного действия электрических токов. Показано, что силы взаимодействия, возникающие между проводниками, обязаны градиенту потенциальной энергии, запасённой в индуктивности, их представляющей.
Ключевые слова: закон Ампера, ток, индуктивность, силовое взаимодействие токонесущих систем, параметрическая самоиндукция.

1. Введение

Оригинальный закон Ампера представляет силу, действующую между токонесущими системами. Этот закон, удовлетворяющий третьему закону Ньютона, и не требует введения такого понятия как магнитное поле.
Согласно оригинальному закону Ампера, сила, действующая со стороны первого токового элемента ${{I}_{1}}d{{\mathbf{r}}_{1}}$ , находящегося в точке ${{\mathbf{r}}_{1}}$ и имеющего силу тока ${{I}_{1}}$ , на второй токовый элемент ${{I}_{2}}d{{\mathbf{r}}_{2}}$ , находящийся в точке ${{\mathbf{r}}_{2}}$ и имеющий силу тока ${{I}_{2}}$ , равна

${{d}^{2}}\mathbf{F}=\frac{\mu {{\mu }_{0}}{{I}_{1}}{{I}_{2}}}{4\pi }\left( 2d{{\mathbf{r}}_{1}}\cdot d{{\mathbf{r}}_{2}}-3\frac{\left( \left( {{\mathbf{r}}_{1}}-{{\mathbf{r}}_{2}} \right)\cdot d{{\mathbf{r}}_{1}} \right)\left( \left( {{\mathbf{r}}_{1}}-{{\mathbf{r}}_{2}} \right)\cdot d{{\mathbf{r}}_{2}} \right)}{{{\left| {{\mathbf{r}}_{1}}-{{\mathbf{r}}_{2}} \right|}^{2}}} \right)\frac{{{\mathbf{r}}_{1}}-{{\mathbf{r}}_{2}}}{{{\left| {{\mathbf{r}}_{1}}-{{\mathbf{r}}_{2}} \right|}^{3}}}$

.
Однако не все знают, что тот закон, который в современной литературе по электродинамике называется законом Ампера, в действительности является законом Грассмана и он требует введения магнитного поля [1-2].
Этот закон, выраженный в векторной форме, определяет магнитное поле в точке $x,y,z$ в следующем виде:

$\mathbf{H}=\frac{1}{4\pi }\int{\frac{Id\mathbf{l}\times \mathbf{r}}{{{r}^{3}}}}$

где $I$$ - ток в элементе $d\vec{l}$ , $\mathbf{r}$ - вектор, направленный из $d\mathbf{l}$ в точку $x,y,z$ .

$\mathbf{r}={{\mathbf{a}}_{x}}(x-{x}')+{{\mathbf{a}}_{y}}(y-{y}')+{{\mathbf{a}}_{z}}(z-{z}')$ <br />[center][formula] r=\sqrt{{{(x-{x}')}^{2}}+{{(y-{y}')}^{2}}+{{(z-{z}')}^{2}}}$

Можно показать, что

$\frac{d\mathbf{{l}'}\times \mathbf{r}}{{{r}^{3}}}=grad\left( \frac{1}{r} \right)\times d\mathbf{{l}'}$

и, кроме того, что

$grad\left( \frac{1}{r} \right)\times d\mathbf{{l}'}=rot\left( \frac{d\mathbf{{l}'}}{r} \right)-\frac{1}{r}ro{{t}_{{}}}d\mathbf{{l}'}$

.
Но ротор $d\mathbf{{l}'}$ равен нулю и поэтому окончательно

$\mathbf{H}=rot\int{{I}'\left( \frac{d\mathbf{{l}'}}{4\pi r} \right)}=ro{{t}_{{}}}\mathbf{A}$

где

$\mathbf{A}=\int{{I}'\left( \frac{d\mathbf{{l}'}}{4\pi r} \right)}, (1.1)$

.
Соотношение (1.1) определяет магнитный векторный потенциал.
Таким образов, закон Грассмана одновременно с введением магнитного поля вводит и его векторный потенциал.
Следует отметить, что введение законом Грассмана магнитного поля не имеет под собой какой либо физической основы, поэтому закон является эвристическим. Он даёт возможность найти численные величины сил, действующих между контурами с током и их элементами в зависимости от величины и направления тока, а также расстояния между ними.
В такой постановке для решения вопроса пондеромотрного действия токов необходимо введение дополнительного постулата о силе Лоренца

${{\mathbf{F}}_{L}}=e\left[ \mathbf{v}\times {{\mu }_{0}}\mathbf{H} \right].$

Этот постулат определяет ту силу, которая действует на заряды, движущиеся в проводниках, находящихся в магнитном поле.
Таким образом, в рассмотренном случае решение вопроса о силовом взаимодействии токов решается при помощи сочетания эвристического закона Грассмана и постулата о силе Лоренца. Но такой подход не даёт ответа о физике такого взаимодействия.

2. Физическое обоснование и математическая модель пондеромоторного действия электрических токов

Потенциальная энергия, накопленная в индуктивности, определяется из соотношения

$W=\frac{1}{2}L{{I}^{2}}.$

Если индуктивность контура зависит от какой либо координаты его элементов, то силы, действующие на замкнутую цепь, или её элементы, можно определим как градиент этой энергии, взятый с обратным знаком

$\mathbf{F}=-\frac{1}{2}{{I}^{2}}grad_{{}}^{{}}L$

Из закона Грассмана следует, что элементы цепи, по которым текут сонаправленные токи, притягиваются, а элементы цепи, по которым текут встечные токи – отталкиваются. Рассмотренный подход даёт возможность понять физику этой закономерности, а также вычислить силы, действующие на всю цепь или её элементы.
Поставленную задачу можно разделить на две части. Первая касается силового взаимодействия между элементами одиночных контуров. Но в таких контурах могу быть организованы только встречные токи в его элементах, а сонаправленное протекание токов может быть организовано только в связанных контурах.
Рассчитаем силу, действующую на проводник одиночного кольцевого контура.
Индуктивность кольцевого контура определяется соотношением

$L=0.0002\pi D\left[ \ln \left( \frac{8D}{d} \right)-2 \right](2.1)$

где $D$ - диаметр контура $d$ - толщина контура.
Найдём силу, действующую на проводник контура, когда ток в контуре постоянный

$F=\frac{\partial W}{\partial D}=\frac{1}{2}\frac{\partial L}{\partial D}{{I}^{2}}(2.2)$

Находим производную индуктивности по диаметру

$\frac{\partial L}{\partial D}=0.0002\pi \left[ \ln \left( \frac{8D}{d} \right)-2 \right]+\frac{0.0002}{D}$

Подставляя это соотношение в (2.2) и деля общую силу на длину кольца, находим удельную силу, действующую на единицу длины кольца

${{F}_{sp}}=\frac{0.0001\left[ \ln \left( \frac{8D}{d} \right)-2 \right]{{I}^{2}}}{D}+\frac{0.0001}{\pi {{D}^{2}}}{{I}^{2}}.$

Полученный результат свидетельствует о том, что силы, действующие на элементы контура, пытаются его растянуть, тем самым увеличив индуктивность. Полученный результат объясняет и то обстоятельство, что соленоиды, запитанные от внешнего источника, втягивают в себя ферромагнитные сердечники. Действительно, втягиваемый сердечник увеличивает индуктивность соленоида, что и приводит к такому эффекту.
Пока рассмотрен пример, когда ток в контур вводится от постороннего источника и является фиксированным. Особый случай представляет решение задачи, кода в качестве контура используется короткозамкнутый сверхпроводящий контур, в котором заморожен поток. Этот случай закон Грассмана не рассматривает и подпадает под закон параметрической самоиндукции [3-6].
Введем понятие потока токовой самоиндукции

${{A}_{L,I}}=LI.$

Если индуктивность закорочена и выполнена из материала, не имеющего активного сопротивления, например, из сверхпроводника, то

${{A}_{L,I}}={{L}_{1}}{{I}_{1}}=const,$

где ${{L}_{1}}$ и ${{I}_{1}}$ - начальные значения этих параметров, которые имеются в момент короткого замыкания индуктивности при наличии в ней тока. Этот режим назовем законом замороженного потока для короткозамкнутых сверхпроводящих контуров. При этом для одиночного контура выполняется соотношение

$I=\frac{{{I}_{1}}{{L}_{1}}}{L},$

где $I$ и $L$ - текущие значения соответствующих параметров.
В данном режиме поток индукции постоянен, однако в связи с тем, что ток в индуктивности может изменяться при ее изменении, такой процесс подпадает под определение параметрической самоиндукции [3-6]. Энергия, накопленная в индуктивности, при этом равна

${{W}_{L}}=\frac{1}{2}\frac{{{\left( {{L}_{1}}{{I}_{1}} \right)}^{2}}}{L}=\frac{1}{2}\frac{{{(const)}^{2}}}{L}.$

Рассмотрим сверхпроводящее кольцо, индуктивность которого определяется соотношением (2.3). Энергия такого кольца запишется

${{W}_{L}}=\frac{{{(const)}^{2}}}{0.0004\pi D\left[ \ln \left( \frac{8D}{d} \right)-2 \right]}.$

А сила, действующая на весь контур кольца, определится соотношением

${{F}_{\sum }}=-\frac{{{(const)}^{2}}}{0.0004\pi {{D}^{3}}}\left\{ \frac{1}{\left[ \ln \left( \frac{8D}{d} \right)-2 \right]} \right\}$

Разделив эту силу на длину кольца, получим удельную силу, действующую на элемент кольца единичной длины

${{F}_{sp}}=-\frac{{{(const)}^{2}}}{0.0004{{\pi }^{2}}{{D}^{4}}}\left\{ \frac{1}{\left[ \ln \left( \frac{8D}{d} \right)-2 \right]} \right\}$

Перейдём к рассмотрению силового взаимодействия связанных контуров.
Энергия двух связанных индуктивностей определяется соотношением

$W=\frac{{{L}_{1}}I_{1}^{2}}{2}+\frac{{{L}_{2}}I_{2}^{2}}{2}\pm M(z){{I}_{1}}{{I}_{2}}(2.3)$

где $M(z)$ коэффициент взаимной индукции, который зависит от расстояния между контурами, представляющими эти индуктивности.
В этом соотношении знак плюс соответствует согласованному направлению токов в индуктивностях, а знак минус их встречному направлению. Поскольку энергия системы зависит от коэффициента взаимной индукции, силу, действующую между индуктивностями, определим как производную энергии по расстоянию между контурами. Для этого продифференцируем соотношение (2.3) по координате

$F=-\frac{\partial W}{\partial z}=\mp {{I}_{1}}{{I}_{2}}\frac{\partial M(z)}{\partial z}(2.4)$

В этом соотношении знак минус соответствует притяжению, а знак плюс соответствует отталкиванию.
Формула (2.4) даёт возможность вычислить силовое взаимодействие токонесущих контуров в зависимости от направления тока в контурах и расстояния между ними. Однако такой подход не требует введения такого понятия, как магнитное поле.
Если цепь имеет сложную геометрию, то вычисление её индуктивности представляет трудную задачу. Поэтому продемонстрируем эффективность предлагаемого метода на простых примерах, где значение собственной индуктивности и коэффициент взаимной индукции могут быть рассчитаны аналитически.
Рассмотрим взаимодействие двух связанных кольцевых контуров с радиусами ${{r}_{1}}$ [/center] и

${{r}_{2}}$ .
В этом случае коэффициент взаимной индуктивности находится из соотношения
[center] $M(z)={{\mu }_{0}}f\left( k\left( z \right) \right)\sqrt{{{r}_{1}}{{r}_{2}}},(2.5)$

где z – расстояние между контурами,

$f(k)=\left( \frac{2}{k}-k \right)K(k)-\frac{2}{k}E(k)=\frac{2}{k}\left[ \left( 1-\frac{{{k}^{2}}}{2} \right)K(k)-E(k) \right],$

${{k}^{2}}=\frac{4{{r}_{1}}{{r}_{2}}}{{{z}^{2}}+{{\left( {{r}_{1}}+{{r}_{2}} \right)}^{2}}}, (2.6)$

$K(k)=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{d\theta }{\sqrt{1-{{k}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta }}}$

,

$E(k)=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{1-{{k}^{2}}{{\sin }^{2}}\theta }d\theta }$

,
а $K(k)$ и $E(k)$ эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода
В этих расчётах следует использовать собственные индуктивности колец

${{L}_{10}}={{\mu }_{0}}{{r}_{1}}\left( \ln \frac{8{{r}_{1}}}{{{a}_{1}}}-2 \right),$

${{L}_{20}}={{\mu }_{0}}{{r}_{2}}\left( \ln \frac{8{{r}_{2}}}{{{a}_{2}}}-2 \right),$

где ${{a}_{1}}$ и ${{a}_{2}}$ радиусы сечения проводов.
Если в эти контура предварительно введены токи ${{I}_{1}}$ и ${{I}_{2}}$ , то сила, действующая между проводами контуров, рассчитывается в соответствии с соотношением (2.4) с учётом соотношений (2.5) и (2.6).
Рассмотрим более сложный случай, когда имеет место взаимодействие сверхпроводящих связанных контуров, в которых могут быть предварительно заморожены потоки.
Приведём конкретный пример расчёта. Рассмотрим случай, когда оси двух сверхпроводящих колец круглого сечения совпадают и направлены вдоль $Oz$ , при этом начало отсчета $O$ совмещено с центром первого кольца. Следует найти токи в кольцах и силу взаимодействия колец в зависимости от координаты центра второго кольца $z$ , если при $z={{z}_{0}}$ ток во втором кольце отсутствует, а в первом равен $I$ . Радиусы колец

${{r}_{1}}$

и

${{r}_{2}}$

намного больше радиусов

${{a}_{1}}$

и

${{a}_{2}}$

сечения проводов.
Решение. Поток магнитного поля через первое кольцо

${{A}_{1}}={{L}_{1}}{{I}_{1}}+{{L}_{12}}{{I}_{2}}$

, а через второе -

${{A}_{2}}={{L}_{12}}{{I}_{1}}+{{L}_{2}}{{I}_{2}}$

, где

${{I}_{1}}$

,

${{I}_{2}}$

- токи в кольцах, ${{L}_{1}}$ , ${{L}_{2}}$ - индуктивности колец, ${{L}_{12}}$ - взаимная индукция. Эти потоки «заморожены», т.е. не зависят от расстояния $z$ между центрами колец, и могут быть приняты равными начальным потокам $A_{1}^{(0)}={{L}_{1}}I$ [/center] и $A_{2}^{(0)}=L_{12}^{(0)}I$ при $z={{z}_{0}}$ . Здесь $L_{12}^{(0)}$ - взаимная индукция колец, когда расстояние между их центрами . Тогда

${{L}_{1}}{{I}_{1}}+{{L}_{12}}{{I}_{2}}={{L}_{1}}I,\text{ }{{L}_{12}}{{I}_{1}}+{{L}_{2}}{{I}_{2}}=L_{12}^{(0)}I, (2.7)$

откуда

${{I}_{1}}=\frac{I}{\Delta }({{L}_{1}}{{L}_{2}}-L_{12}^{(0)}{{L}_{12}}),\text{ }{{I}_{2}}=\frac{I{{L}_{1}}}{\Delta }(L_{12}^{(0)}-{{L}_{12}}), (2.8)$

где $\Delta ={{L}_{1}}{{L}_{2}}-L_{12}^{2}$ . Токи ${{I}_{1}}$ , ${{I}_{2}}$ зависят от $z$ вследствие того, что взаимная индукция ${{L}_{12}}\<br />) (но не индуктивности [formula] {{L}_{1}}$ , ${{L}_{2}}$ !) является функцией $z$ .
Сила взаимодействия колец определяется производной энергии магнитного поля по координате $z$ : ${{F}_{z}}=-{W}'$ (производные по обозначаем штрихом). Имеем

$W=\frac{1}{2}{{L}_{1}}I_{1}^{2}+\frac{1}{2}{{L}_{2}}I_{2}^{2}+{{L}_{12}}{{I}_{1}}{{I}_{2}}$

и

${W}'={{L}_{1}}{{I}_{1}}{{{I}'}_{1}}+{{L}_{2}}{{I}_{2}}{{{I}'}_{2}}+{{L}_{12}}{{{I}'}_{1}}{{I}_{2}}+{{L}_{12}}{{I}_{1}}{{{I}'}_{2}}+{{{L}'}_{12}}{{I}_{1}}{{I}_{2}}. (2.9)$

Для нахождения производных ${{{I}'}_{1}}$ и ${{{I}'}_{2}}$ дифференцируем обе части уравнений (2.7):

${{L}_{1}}{{{I}'}_{1}}+{{L}_{12}}{{{I}'}_{2}}=-{{{L}'}_{12}}{{I}_{2}},\text{ }{{L}_{12}}{{{I}'}_{1}}+{{L}_{2}}{{{I}'}_{2}}=-{{{L}'}_{12}}{{I}_{1}},$

откуда

${{{I}'}_{1}}=\frac{{{{{L}'}}_{12}}}{\Delta }({{L}_{12}}{{I}_{1}}-{{L}_{2}}{{I}_{2}}),\text{ }{{{I}'}_{2}}=\frac{{{{{L}'}}_{12}}}{\Delta }({{L}_{12}}{{I}_{2}}-{{L}_{1}}{{I}_{1}}). (2.10)$

Подставляем теперь (2.10) в (2.9):

${W}'=\frac{{{{{L}'}}_{12}}}{\Delta }({{L}_{1}}{{L}_{12}}I_{1}^{2}-{{L}_{1}}{{L}_{2}}{{I}_{1}}{{I}_{2}}+{{L}_{2}}{{L}_{12}}I_{2}^{2}-{{L}_{1}}{{L}_{2}}{{I}_{1}}{{I}_{2}}+L_{12}^{2}{{I}_{1}}{{I}_{2}}-{{L}_{2}}{{L}_{12}}I_{2}^{2}+L_{12}^{2}{{I}_{1}}{{I}_{2}}-{{L}_{1}}{{L}_{12}}I_{1}^{2})+{{{L}'}_{12}}{{I}_{1}}{{I}_{2}}.$

Приведя подобные слагаемые, получим несложное выражение для силы:

${{F}_{z}}={{{L}'}_{12}}{{I}_{1}}{{I}_{2}}, (2.11)$

при этом токи даются формулами (2.8). Смысл выражения (2.11) прост - сила Ампера, действующая на кольцо, пропорциональна току в кольце и величине магнитного поля, создаваемого током другого кольца (а она пропорциональна току в этом кольце).
Полученные соотношения (2.8) и (2.11) являются общими и, вообще говоря, верны для сверхпроводящих контуров произвольной формы. Для круглых же колец при условии, что ${{r}_{1}}$ значительно больше ${{a}_{1}}$ и ${{r}_{2}}$ значительно болше ${{a}_{2}}$ , индуктивности равны

${{L}_{1}}={{\mu }_{0}}{{r}_{1}}{{b}_{1}},\text{ }{{L}_{2}}={{\mu }_{0}}{{r}_{2}}{{b}_{2}}, (2.12)$

где

${{b}_{1}}=ln(8{{r}_{1}}/{{a}_{1}})-2$

,

${{b}_{2}}=ln(8{{r}_{2}}/{{a}_{2}})-2$

(см. сноску на стр. 259 [7]). Взаимная индукция рассчитывается по формуле

${{L}_{12}}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\oint\limits_{{{l}_{1}}}{\oint\limits_{{{l}_{2}}}{\frac{d{{{\vec{l}}}_{1}}\cdot d{{{\vec{l}}}_{2}}}{{{R}_{12}}}}} (2.13)$

(стр. 173 [7]), где контуры интегрирования ${{l}_{1}}$ и ${{l}_{2}}$ — окружности с радиусами ${{r}_{1}}$ и ${{r}_{2}}$ , совпадающие с осевыми линиями проводов колец. Выберем элемент $d{{\vec{l}}_{1}}$ так, чтобы его координаты были ( ${{r}_{1}}$ , 0, 0), а положение элемента $d{{\vec{l}}_{2}}$ характеризуем полярным углом $\varphi$ , так что его координаты ( ${{r}_{2}}cos\varphi$ , ${{r}_{2}}sin\varphi$ , $z$ ). Тогда расстояние между указанными элементами

${{R}_{12}}=\sqrt{{{({{r}_{2}}cos\varphi -{{r}_{1}})}^{2}}+r_{2}^{2}si{{n}^{2}}\varphi +{{z}^{2}}}=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+{{z}^{2}}-2{{r}_{1}}{{r}_{2}}cos\varphi },$

а $d{{\vec{l}}_{1}}\cdot d{{\vec{l}}_{2}}=d{{l}_{1}}d{{l}_{2}}cos\varphi$ , $d{{l}_{2}}={{r}_{2}}d\varphi$ . Получаем

$\oint\limits_{{{l}_{2}}}{\frac{d{{{\vec{l}}}_{1}}\cdot d{{{\vec{l}}}_{2}}}{{{R}_{12}}}}=d{{l}_{1}}{{r}_{2}}\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{d\varphi cos\varphi }{\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+{{z}^{2}}-2{{r}_{1}}{{r}_{2}}cos\varphi }}}=2d{{l}_{1}}{{r}_{2}}\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{d\varphi cos\varphi }{\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+{{z}^{2}}-2{{r}_{1}}{{r}_{2}}cos\varphi }}},$

а после замены переменной интегрирования $\varphi =\pi -2\theta$ запишем

$\oint\limits_{{{l}_{2}}}{\frac{d{{{\vec{l}}}_{1}}\cdot d{{{\vec{l}}}_{2}}}{{{R}_{12}}}}=-4d{{l}_{1}}{{r}_{2}}\int\limits_{0}^{\pi /2}{\frac{d\theta (1-2si{{n}^{2}}\theta )}{\sqrt{{{({{r}_{1}}+{{r}_{2}})}^{2}}+{{z}^{2}}-4{{r}_{1}}{{r}_{2}}si{{n}^{2}}\theta }}}=-\frac{4d{{l}_{1}}{{r}_{2}}}{\sqrt{{{({{r}_{1}}+{{r}_{2}})}^{2}}+{{z}^{2}}}}\int\limits_{0}^{\pi /2}{\frac{d\theta (1-2si{{n}^{2}}\theta )}{\sqrt{1-{{\kappa }^{2}}si{{n}^{2}}\theta }}}, (2.14)$

где

$\kappa =\kappa (z)=2\sqrt{\frac{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}{{{({{r}_{1}}+{{r}_{2}})}^{2}}+{{z}^{2}}}}. (2.15)$

Далее учитываем то, что

$-\int\limits_{0}^{\pi /2}{\frac{d\theta (1-2si{{n}^{2}}\theta )}{\sqrt{1-{{\kappa }^{2}}si{{n}^{2}}\theta }}}=\frac{2}{{{\kappa }^{2}}}\int\limits_{0}^{\pi /2}{d\theta \left( \frac{1-{{\kappa }^{2}}/2}{\sqrt{1-{{\kappa }^{2}}si{{n}^{2}}\theta }}-\sqrt{1-{{\kappa }^{2}}si{{n}^{2}}\theta } \right)=}\frac{2}{{{\kappa }^{2}}}[(1-{{\kappa }^{2}}/2)\text{K}(\kappa )-\text{E}(\kappa )],$

где $\text{K}(\kappa )$ и $\text{E}(\kappa )$ — полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода:

$\text{K}(\kappa )=\int\limits_{0}^{\pi /2}{\frac{d\theta }{\sqrt{1-{{\kappa }^{2}}si{{n}^{2}}\theta }},\text{ E}(\kappa )=\int\limits_{0}^{\pi /2}{\sqrt{1-{{\kappa }^{2}}si{{n}^{2}}\theta }}}d\theta . (2.16)$

В результате (2.14) принимает вид

$\oint\limits_{{{l}_{2}}}{\frac{d{{{\vec{l}}}_{1}}\cdot d{{{\vec{l}}}_{2}}}{{{R}_{12}}}}=4d{{l}_{1}}\sqrt{\frac{{{r}_{2}}}{{{r}_{1}}}}f(\kappa ), (2.17)$

где введена функция

$f(\kappa )=\frac{1}{\kappa }[(1-{{\kappa }^{2}}/2)\text{K}(\kappa )-\text{E}(\kappa )]. (2.18)$

Наконец, выполнив в (2.13) интегрирование по контуру ${{l}_{1}}$ , ( $\oint\limits_{{{l}_{1}}}{d{{l}_{1}}}\to 2\pi {{r}_{1}}$ ), окончательно для взаимной индукции с учетом (2.17) имеем

${{L}_{12}}=2{{\mu }_{0}}\sqrt{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}f(\kappa ). (2.19)$

Выражения для токов в кольцах получаются при подстановке в (2.8) формул (2.12) и (2.19):

${{I}_{1}}(z)=I\frac{{{b}_{1}}{{b}_{2}}-4f({{\kappa }_{0}})f(\kappa )}{{{b}_{1}}{{b}_{2}}-4{{[f(\kappa )]}^{2}}},\text{ }{{I}_{2}}(z)=2I{{b}_{1}}\sqrt{\frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}}\frac{f({{\kappa }_{0}})-f(\kappa )}{{{b}_{1}}{{b}_{2}}-4{{[f(\kappa )]}^{2}}}. (2.20)$

Здесь

${{\kappa }_{0}}=\kappa ({{z}_{0}})=2\sqrt{\frac{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}{{{({{r}_{1}}+{{r}_{2}})}^{2}}+z_{0}^{2}}}$

(см. также (2.15)).
В выражение (2.11) для силы взаимодействия колец входит производная ${{{L}'}_{12}}$ , которую рассчитываем ниже. Дифференцируя (2.19), имеем

${{{L}'}_{12}}=2{{\mu }_{0}}\sqrt{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}\frac{df}{d\kappa }\frac{d\kappa }{dz}.$

Производная $d\kappa /dz$ элементарно находится из (2.15):

$\frac{d\kappa }{dz}=-\frac{2z\sqrt{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}}{{{[{{({{r}_{1}}+{{r}_{2}})}^{2}}+{{z}^{2}}]}^{3/2}}}=-\frac{z}{4{{r}_{1}}{{r}_{2}}}{{\kappa }^{3}}.$

Аналогично из (2.18) находим

$\frac{df}{d\kappa }=\left( -\frac{1}{{{\kappa }^{2}}}-\frac{1}{2} \right)\text{K}+\left( \frac{1}{\kappa }-\frac{\kappa }{2} \right)\text{{K}'}+\frac{\text{E}}{{{\kappa }^{2}}}-\frac{{\text{{E}'}}}{\kappa }$

где $\text{{K}'}$ и $\text{{E}'}$ — производные полных эллиптических интегралов по $\kappa$ . Но

$\text{{K}'}=\frac{\text{E}}{\kappa (1-{{\kappa }^{2}})}-\frac{\text{K}}{\kappa },\text{ {E}'}=\frac{\text{E}}{\kappa }-\frac{\text{K}}{\kappa }$

(см. стр. 164 [7]). В результате $df/d\kappa =-g(\kappa )/{{\kappa }^{3}}$ и

${{{L}'}_{12}}=\frac{{{\mu }_{0}}z}{2\sqrt{{{r}_{1}}{{r}_{2}}}}g(\kappa ), (2.21)$

где введена функция

$g(\kappa )=\kappa \left[ \text{K}(\kappa )-\frac{1-{{\kappa }^{2}}/2}{1-{{\kappa }^{2}}}\text{E}(\kappa ) \right].$

Таким образом, после подстановки выражений (2.20) и (2.21) в (2.11) окончательно получаем

${{F}_{z}}(z)={{\mu }_{0}}{{I}^{2}}g(\kappa )\frac{[{{b}_{1}}{{b}_{2}}-4f({{\kappa }_{0}})f(\kappa )][f({{\kappa }_{0}})-f(\kappa )]}{{{[{{b}_{1}}{{b}_{2}}-4{{[f(\kappa )]}^{2}}]}^{2}}}\frac{{{b}_{1}}z}{{{r}_{2}}}.$

Решение рассмотренной задачи выполнил участник форума Наука, техника, технология А. Н. Дробышев. Этот форум расположен на сайте Движения за возрождение отечественной наукы (ДЗЫОН)
Всё очень хорошо сходится и, казалось бы, получен оригинальный физический закон, объясняющий пондеромотрное действие токов. Но проблема в том, что сама индуктивность вводится тем же законом Грассмана.
Действительно, для замкнутой цепи из соотношения (1.1) получаем

$\mathbf{A}=\oint{{I}'\left( \frac{d\mathbf{l}d\mathbf{{l}'}}{4\pi r} \right)},$

где $r$ - есть расстояние между $d\mathbf{l}$ и $d\mathbf{{l}'}$ .
А поскольку индуктивность замкнутой цепи, или её участка, определена соотношениями [1]

$L=\oint{\frac{\mu \mathbf{A}d\mathbf{l}}{I}},$

$L=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\mu \mathbf{A}d\mathbf{l}}{I}}.$

то мы возвратились н круги своя. Разорвать этот круг можно доказав, что магнитный векторный потенциал является следствием не только закона Грассмана.
В работе [8] на основе концепции скалярно векторного потенциала показано, что ускоряемые заряды генерируют вокруг себя электрические поля индукции

${{{E}'}_{z}}=-\frac{\partial \phi \left( z \right)}{\partial z}=-\frac{{{e}^{2}}{{E}_{z}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}rm{{c}^{2}}}=-\frac{e{{a}_{z}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r{{c}^{2}}}, (3.15)$

где ${{a}_{z}}=\frac{e{{E}_{z}}}{m}$ – ускорение, испытываемое зарядом $e$ в поле ${{E}_{z}}$ .
При этом направление индуцированного поля обратно индуцирующим полям.
Равенство (3.15) можно записать, введя понятие векторного потенциала магнитного поля ${{A}_{H}}$ :

${{E}_{z}}^{\prime }=-\frac{e}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r{{c}^{2}}}\frac{\partial {{v}_{z}}}{\partial t}=-\mu \frac{\partial {{A}_{H}}}{\partial t},$

откуда, интегрируя по времени, получаем известное определение векторного потенциала [9]:

${{A}_{H}}=\frac{e{{v}_{z}}}{4\pi r}.$

Но этот потенциал получен уже не эвристическим путём, как это предполагает закон Грассмана, а на основе концепции скалярно-векторного потенциала. Следовательно, магнитный векторный потенциал, который в законе Грассмана вводится эвристическим путём, получил своё физическое обоснование. Это означает, что вопрос силового взаимодействия токонесущих систем может быть решен на другой идеологической базе, не требующей привлечения понятия магнитного поля, и закон Гассмана для решения этой проблемы уже не нужен.

3. Заключение

Прошло уже почти 200 лет с тех пор, как в 1820 г. Ампер открыл свой знаменитый закон о силовом взаимодействии токонесущих систем. Этот закон давал возможность вычислить силу, с которой взаимодействуют проводники, по которым течёт постоянный ток, в зависимости от величины и направления тока, а также расстояния между ними. К сожалению это был феноменологический закон, при помощи которого можно было вычислить указанную силу, однако физика работы этого закона не была установлена и до настоящего времени. В статье разработан новый физический подход к проблеме пондеромоторного действия электрических токов. Показано, что силы взаимодействия, возникающие между проводниками, обязаны градиенту потенциальной энергии, запасённой в индуктивности, их представляющей.

Литература

1. С. Рамо, Дж. Уиннери. Поля и волны в современной радиотехнике. ОГИЗ: 1948, - 631 с.
1. S. Ramo, John. Winner. Fields and Waves in modern electronics. OGIZ: 1948.
2. Дж. Джексон, Классическая электродинамика, Мир, Москва, 1965, 702.
2. J. Jackson, Classical Electrodynamics, Mir, Moscow, 1965, 702.
3. F. F. Mende, A. S. Dubrovin. Special properties of reactive elements and fluxes of charged particles. Engineering Physics, No. 11, 2016, p. 13-21
4. F. F. Mende, New Properties of Reactive Elements and the Problem of Propagation of Electrical Signals in Long Lines, American Journal of Electrical and Electronic Engineering, Vol. 2, No. 5, (2014), р.141-145.
5. F. F. Mende. Induction and Parametric Properties of Radio-Technical Elements and Lines and Property of Charges and Their Flows, AASCIT Journal of Physics
Vol.1 , No. 3, Publication Date: May 21, 2015, р. 124-134
6. F. F. Mende, A. S. Dubrovin. Alternative ideology of electrodynamics. M .: Perot, 2016. - 198 p.
7. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика, том VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.
7. L. D. Landau, E. M. Lifshits. Theoretical physics, vol. VIII. Electrodynamics of continuous media. Moscow: Nauka, 1982.
8. Ф. Ф. Менде, А. С. Дубровин. Альтернативная идеология электродинамики. М: Перо, 2016.
8. F. F. Mende, A. S. Dubrovin. Alternative ideology of electrodynamics. M: Перо, 2016.
9. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. М: Мир, т. 6, 1977.
9. R. Feynman, R. Leighton, M. Sends, Feynman lectures on physics, – М: Mir, Vol. 6, 1977.

Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать

Код: выделить все: <div style="text-align:center;">Обсудить теорию <a href="http://www.newtheory.ru/physics/noviy-podhod-k-probleme-ponderomotornogo-deystviya-t5619.html">Новый подход к проблеме пондеромоторного действия</a> Вы можете на форуме "Новая Теория".</div>

Новый подход к проблеме пондеромоторного действия

Новый подход к проблеме пондеромоторного действия

Новый подход к проблеме пондеромоторного действия

Кто сейчас на форуме