Рассмотрим натуральное число N = 6.746.328.388.800, у которого количество целых делителей равно Т = 10080. Параметр Т – это так называемый тип числа N, причем понятие «тип числа» – одно из главных понятий в виртуальной космологии (где я придумал немало новых терминов, иначе, просто невозможно популярно, доступно излагать «математические» тексты). Взятое нами число N – особое, это первое число (в бесконечном ряду всех натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …), у которого тип Т впервые «дорос» до конкретного указанного значения Т = 10080, то есть у всех предыдущих натуральных чисел типы Т были меньше. Поэтому, чтобы не забыть об указанной особенности выбранного нами числа N, мы назовем его мощным числом. Очевидно, что мощных чисел немало в начале натурального ряда, однако потом, при мысленном движении вправо от единицы, мощные числа появляются все реже и реже. Для справок приведу первый десяток мощных чисел N = 2, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 180, 240 и, соответственно, их типов Т = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20 (сами проверьте меня на компьютере).
Однако вернемся к нашему (достаточно большому!) мощному числу N, и посмотрим на все его делители (Д), выписав их строго по возрастанию:
1,…, 10, …, 100, …, 1001, …, 10010, …, 100035, …, 1000350, …, 10021284, …, 100105775, …, 1002128400, …, 10039179150, …, 102217096800, …, 1124388064800, …, 6746328388800.
Я специально привел (выборочно) только такие делители, каждый из которых почти на порядок (почти в 10 раз) больше предыдущего делителя. При этом порядковые номера (k = 1, 2, 3, 4, 5, …) указанных выше делителей (в общем ряду всех делителей взятого нами числа N) следующие: 1, 10, 76, 330, 1002, 2298, 4173, 6262, 8051, 9235, 9818, 10026, 10075, 10080.
Надеюсь, что теперь читатель более охотно поверит мне, что работать с таким набором делителей крайне неудобно, ведь наибольший делитель на 13 (!) порядков больше первого делителя (единицы). Поэтому большинство (малых и средних) делителей мы просто… не увидим, например, на обычном (линейном) графике Д = f(k), где каждый делитель Д – это некая (вообще говоря, неизвестная нам) функция f от его порядкового номера k. Замечу, что такой график пытливый читатель сам может построить (по приведенным выше цифрам), скажем, в общедоступной программе Excel. Кстати говоря, почти вся виртуальная космология легко «укладывается» в рамки нехитрой программы Excel (мою теорию очень легко проверить!).
А теперь посмотрим не на сами делители (Д) нашего мощного числа N, а на логарифмы его делителей, то есть мы прологарифмируем каждый делитель: ln(Д). При этом мы получим следующий ряд чисел:
0,000; …; 2,303; …; 4,605; …; 6,909; …; 9,211; …; 11,513; …; 13,816; …;
16,120; …; 18,422; …; 20,725; …; 23,030; …; 25,350; …; 27,748; …; 29,540.
Как видим, логарифмы всех делителей оказались в интервале значений от 1 до 30, что дает нам возможность построить вполне удобный для работы график: ln(Д) = f(k) [по горизонтальной оси графика – линейная шкала, а по вертикальной оси графика – логарифмическая шкала]. Таким образом, исследовать (на компьютере) все делители Д больших мощных чисел N очень удобно именно в логарифмической шкале, то есть удобно работать с величинами ln(Д), а «взять логарифм» (ln) любого числа (кроме нуля!) – компьютеру не проблема (это стандартная функция, «зашитая» в память любого компьютера, калькулятора). Вот почему далее мы будем работать только с логарифмами делителей – ln(Д) (т.е. работаем в логарифмической шкале).
Мы рассмотрим как логарифмы ln(Д) всех делителей (напомню, что их количество равно Т = 10080) расположились (распределились) по следующим интервалам (равной длины, всего мы «нарезали» 31 интервал, а, строго говоря, конечно, это – полуинтервалы):
[0; 1); [1; 2); [2; 3); [3; 4); [4; 5); [5; 6); [6; 7); …, [29; 30); [30; 31).
Каждому из этих интервалов мы присвоим своё «имя», обозначив его символом m, а численно этот аргумент (ниже станет ясно, что я вправе его так называть) будет равен середине соответствующего интервала, то есть мы получим такой ряд значений:
m = 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; …; 29,5; 30,5.
В каждый из указанных интервалов попадает (соответственно) такое количество делителей Д, [а, точнее говоря, величин ln(Д), всего 31 число]:
1, 1, 5, 13, 27, 51, 94, 154, 234, 339, 453, 579, 699, 809, 880, 912, 903, 850,
760, 646, 525, 397, 285, 196, 124, 72, 39, 20, 8, 3, 1 (в сумме – 10080 штук значений).
Как мы видим самым «густонаселенным» оказался интервал с «именем» m = 15,5, у которого больше всего делителей – 912 штук. Таким образом, вероятность (Р) того, что наугад взятое натуральное число из отрезка [1; N] окажется делителем числа N и при этом «попадет» именно в его самый «густонаселенный» интервал, очевидно, будет равна следующему: Р = 912/Т = 912/10080 = 0,0905. Полученное числовое значение (0,0905) вероятности Р = 0,0905 надо понимать в том смысле, что если мы в каждом опыте 10000 раз возьмем число Х (случайным образом, из диапазона от 1 до числа N), то в среднем (по всем опытам) в 905 случаях (из 10000) взятое число Х окажется делителем N и попадет именно в его самый «густонаселенный» интервал. И чем больше таких опытов (по 10000 случайных чисел Х в каждом) мы проделаем – тем «надежнее» мы получим число 905 (как следствие того, что факта, что вероятность равна Р = 0,0905).
Аналогичным образом мы можем получить (подсчитать) вероятности Р для каждого указанного выше интервала (для каждого m):
при m = 0,5 получим Р = 1/10080 = 0,0001;
при m = 1,5 получим Р = 1/10080 = 0,0001;
при m = 2,5 получим Р = 5/10080 = 0,0005;
при m = 3,5 получим Р = 13/10080 = 0,0013;
……………………………………………….
при m = 15,5 получим Р = 912/10080 = 0,0905;
………………………………………………
при m = 27,5 получим Р = 20/10080 = 0,0020;
при m = 28,5 получим Р = 8/10080 = 0,0008;
при m = 29,5 получим Р = 3/10080 = 0,0003;
при m = 30,5 получим Р = 1/10080 = 0,0001.
Найденные нами вероятности Р на графике P = f(m) (при значениях аргумента m = 0,5; 1,5; 2,5; …; 29,5) образуют характерный «колокол» (Гаусса) нормального распределения (см. в Википедии) дискретной случайной величины при следующих условиях:
– математическое ожидание M = 14,7700 (этот параметр характеризует, где именно расположена вершина «колокола»: при меньших или больших значениях аргумента m);
– дисперсия D = 18,3012 (этот параметр характеризует «рисунок» самого «колокола»: насколько крутые или пологие у него боковые скаты; эти скаты всегда симметричные).
Более того, все (достаточно большие) мощные числа N и похожие на них натуральные числа Х (коих – бесконечно много!) также приводят нас к нормальным распределениям! Разумеется, что у них будут свои параметры: матожидание и дисперсия. И такое положение вещей из виртуального мира чисел (обилие указанных нормальных распределений) – очень напоминает нам картину реального мироздания, где нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение – отсюда и произошло его название (нормальное). Образно говоря, мирозданием правит Его Величество Случай (мы живем в мире, построенном на вероятности) – именно это порождает нормальные распределения в природе! И вся пикантность ситуации в том, что в мире чисел… нет места ни малейшей случайности, поскольку распределение делителей у любого натурального числа – это строго детерминированный процесс. В основе него лежит элементарный алгоритм (так называемой Пирамиды делителей из моей любой книги, см. в конце статьи), где все делители всех чисел словно «забетонированы» раз и навсегда, но при этом лучше всего их описывает именно… нормальные распределения – «венец» игры Случая!
Ну а далее мы приходим к одному из самых интересных и фундаментальных выводов виртуальной космологии: поскольку логарифмы делителей ln(Д) подчиняются нормальному распределению, то, значит, сами делители Д нашего мощного числа N подчиняются так называемому логнормальному распределению (см. в Википедии). И это, опять-таки, справедливо для всех (достаточно больших) мощных чисел N, а так же для любых других натуральных чисел Х (их бесконечно много!), лишь похожих на мощные числа: у таких чисел Х также относительно много делителей и они распределяются вполне определенным образом, в том числе и на графике ln(Д) = f(k) (см. выше).
Во Вселенной (в масштабах от микромира до макрокосмоса) логнормальных распределений, похоже, гораздо больше, чем нормальных распределений, однако это трудно заметить в масштабах, характерных для повседневной жизни человека (в масштабах порядка метра). Поэтому о логнормальных распределениях мало кто наслышан. Для простоты изложения и мы далее будем продолжать вести разговор только о нормальных распределениях логарифмов делителей ln(Д), помня о том, что они являются «лакмусовой бумажкой» логнормальных распределений (более фундаментальных по своей природе, но чья «математика» сложнее для понимания, поэтому мы не будем её касаться).
Выше была приведена первая десятка мощных чисел N. Всего же мной были исследованы на компьютере все (без пропусков) 144 первых мощных числа – у каждого из них были вычислены матожидание и дисперсия. Последнее мощное число (144-ое по счёту) – это N = 106.858.629.141.264.000 (с тремя достоверными нулями на конце), у которого я ещё смог увидеть все делители (их 65536 штук), так как компьютер показывает только первые 15-ть значащих цифр числа, а вместо 16-й, 17-й и т.д. цифр – уже всегда «пишет» нули.
Матожидания М находились по формуле: М = 0,5ln(N). Это означает, что число N будет иметь больше всего делителей в интервале, где находится число exp(М) = N^0,5 (число N в степени 0,5, то есть корень квадратный из числа N). Символ exp – это экспоненциальная функция, которую иначе можно записать так: exp(M ) = e^М (число е = 2,718… в степени М). На графике именно над числом М находится вершина (и ось симметрии) «колокола» нормального распределения делителей (в логарифмической шкале) у числа N.
Дисперсия D находилась мной следующим образом: для каждого делителя Д числа N я вычислял параметр [ln(Д/N^0,5)]^2/T, а потом все эти параметры (Т штук) суммировал между собой. Именно таким образом у всех 144 первых мощных чисел N была найдена дисперсия. Это потребовало почти 13 часов непрерывного счета моего компьютера, так как время вычисления дисперсии для каждого мощного числа N составило t = 0,0000002433(N^0,5) минут. Кстати, отсюда следует, что мой компьютер вычислит дисперсию, скажем, у одного мощного числа N = 10^45 примерно за… 15 млрд. лет, что сопоставимо с возрастом Вселенной.
Исследования первых 144 мощных чисел позволили мне предположить, что дисперсия D мощных чисел N устремляется к значению ln(N) + 2С – 1 (то есть к среднему арифметическому всех типов Т у всех N чисел; С = 0,577215 – это постоянная Эйлера – Маскерони).
В виртуальной космологии возрасту нашей Вселенной (13,75 млрд. лет) «эквивалентен» («тождественен») так называемый Большой отрезок: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, N*, где
N* = 8021970000000000000000000000000000000000000000000000000000000,
то есть Большой отрезок содержит столько целых чисел, сколько планковских времен (квантов времени) содержится в возрасте Вселенной (порядка 10 в 61-й степени эви – элементарных временных интервалов или планковских времен). Разумеется, что я никак не мог вычислить дисперсию у колоссального числа N*, однако все мои исследования показывают, что в конце Большого отрезка (то есть в настоящее время, в современную нам эпоху) дисперсия мощных чисел находится в диапазоне D = 133,3…139,9. Это позволило мне сформулировать парадоксальную, скажем, альфа-гипотезу: в конце Большого отрезка дисперсия мощного числа равна обратному значению постоянной тонкой структуры (1/ПТС):
D = 1/ПТС = 137,035999679…
Напомню читателю, что ПТС – это единственная из всех фундаментальных физических постоянных (констант), которая не имеет размерности. И физики-теоретики допускают, что раньше числовое значение 1/ПТС было… меньше (но надежной экспериментальной проверки этой гипотезы пока нет, см. в Википедии). Также ПТС может быть определена как квадрат отношения элементарного электрического заряда (E) к планковскому заряду (Q), то есть можно записать: 1/ПТС = (E/Q)^2. Это важная (физическая!) формула очень похожа на выражение для дисперсии D у любого целого числа N, которое получено в рамках виртуальной космологии:
D = 1/(2пи)(T/K)^2,
где пи = 3,14… (число «пи» – фундаментальная математическая константа);
Т – количество всех целых делителей у числа N (то есть тип числа N);
K – керн натурального числа N (и если он равен нулю, то дисперсия… бесконечно велика?).
Согласно моему определению керн – это количество целых делителей у числа N на так называемом центральном интервале: от числа exp(W) до числа exp(W+1), причём параметр W введен так: W = A(lnN), где символ А обозначает функцию «антье», то есть целую часть аргумента lnN. Исследования показывают, что у больших мощных чисел N параметр W, судя по всему, может быть любым числовым значением от 0 до 1 – все эти значения W будут равновероятны. В части понятия «керн», возможно, справедливы и такие (согласитесь, очень красивые!) утверждения:
С ростом числа N сумма кернов у всех натуральных чисел на отрезке [1; N] асимптотически устремляется к правой границе отрезка (то есть к самому числу N).
У натуральных чисел N минимальная дисперсия (Dmin) будет определяться отношением T/К = 2 (при условии, что Т > 2 и К > 1). Поэтому Dmin = 1/(2пи)(T/K)^2 = 0,6366…Это число очень близко к пресловутому «золотому сечению» (0,618), «тень» которого (аналогичным образом) очень часто возникает в рамках виртуальной космологии (равно как и в нашей реальной жизни, которую мир чисел «отображает» словно некое волшебное зеркало!).
В рамках виртуальной космологии из альфа-гипотезы, возможно (?), вытекает даже предсказательная сила в части «динамики» ПТС во времени: девятая цифра после запятой в числовом значении 1/ПТС (137, 035999679…) увеличится на единицу примерно через 34 года; восьмая цифра увеличится на единицу примерно через 134 года, седьмая цифра – через 1141 год, шестая цифра – через 11209 лет, пятая цифра – через 111885 лет.
И это далеко не единственное предсказание виртуальной космологии – в моих книгах и статьях их гораздо больше. Кроме того, весьма любопытен философский аспект ключевой гипотезы: математическая («внутренняя») структура мира чисел – это простейшее «зеркало» основ мироздания (математического «фундамента» нашей Вселенной).
Разумеется, можно совершенно по-разному относится к виртуальной космологии, но, всё-таки любопытно, что скажут скептики-профессионалы (физики-математики-философы), когда «предсказания» моей «бредовой» теории однажды… начнут сбываться (пока они находятся за гранью возможностей экспериментальной физики).
***
Более подробно читайте здесь:
Сообщество на «Привет.ру»: Виртуальная космология (в разделе «Наука»),
а также:
Сайт: Журнал Самиздат ( http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/ )
Жанр (моего раздела): "Естествознание"
Автор (раздела): Исаев Александр Васильевич
Моя книга (в разделе) : «Зеркало» Вселенной» (стр. 39 – 54 и 81 – 84).
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
