Вот пример корректного математического построения: истинно тогда и только тогда, когда — ложно; и вот пример парадокса: истинно тогда и только тогда, когда — ложно. В качестве А можно понимать и переменную из широко известного парадокса Рассела: и , где знак - какое-то отношение А вот пример формально-логического троллинга: решите систему уравнений:. Решение это, однако, существует, если мы введем логическую операцию отрицания, вторичную относительно определения . А именно: . Имея в виду этот троллинг, скажем так: все парадоксы возникают из соответствующих мыслительных способностей человека, т. е. их придумывает человек, а в отношениях между чисто формальными отношениями (например, в арифметике) и природными системами (в реальности) парадоксов не существует.
Что касается математической логики, то это закон непротиворечия аристотелевской формальной логики, выраженный в наиболее общей форме. В этом смысле основания математики — это применение математической логики или ее обобщения — алгебры Буля для обоснования самой математики, что, как очевидно, есть логический круг. Если же применить математическую логику (например, исчисление предикатов) для построения решателя задач в счетно-решающих устройствах, то это есть выход на уровень вычислительной математики, обслуживающей вычислительную технику, и которая, как очевидно, к чистой (или «отвязанной») математике никакого отношения не имеет.
Возьмем еще один пример, подтверждающий сказанное выше в отношении запрета противоречия в формальной логике и одновременно о возникновении в ней парадоксов. Что есть логическое (или дедуктивное) определение? Это сложное высказывание, содержащее две части: 1) описание родового свойства; 2) описание специфического свойства, присущего только данному виду, входящему в указанный род. В классической логике этот метод определения называется определением через ближайший род и видовое отличие. В более широком плане определением называется раскрытие семантики (логического содержания) того или иного имени. Там, где ближайший род еще не детерминирован (не ограничен), прибегают к различным вспомогательным приемам с целью семантического знакомства с тем или иным видом, а иногда и с конкретным объектом, если отсутствует возможность дать остенсивное определение, т. е. сказать: «Это есть Х» и указать на него пальцем. Не остенсивные и не логические определения называются дескрипциями (описаниями). В абстрактной математике все определения суть дескрипции; они указывают на тот или иной признак имени, а родом у них выступают абстрактные, т. е. полностью отвязанные от реальности, множества. Например, определением точки А может быть следующая дескрипция: точка А лежит на прямой а. При этом точка А — элемент множества «точки», а прямая а — элемент множества «прямые». Как мы видим, никакого сообщения об этих «множествах» нет, они просто обозначаются символами А и а. Не сказано даже, чем «множество точек» отличается от «множества прямых». Иными словами, определение в математике — это формальная посылка и формальное следствие, которые обозначаются связкой: «если…, то …» или просто знаком .
В классических разделах математики, которые еще не порвали связей с логикой и реальностью, встречаются корректные логические определения, например: гипотенуза — это сторона прямоугольника (ближайший род — стороны), которая лежит против прямого угла (специфическое отличие данной стороны от других сторон — катетов). Когда понятие определено логически, а не посредством дескрипции, то в дальнейшем можно пользоваться в рассуждении только его именем, не прибегая всякий раз к повторению определения, и в этом заключается важная когнитивная роль теоретического знания. Логические определения терминов — начала любого теоретического знания и, следовательно, логика — начало любого языка, в частности, математического. Таким образом, обоснование математики сводится к обоснованию ее логики.
Обратимся, например, к парадоксу Рассела: , если . Это, конечно, не логическое определение, а субъективное высказывание, и говорить, следовательно, о какой-то его когнитивной значимости бессмысленно. Рассел был логиком-формалистом и странно, поэтому, что он ввел такого рода «определение». Ведь это очевидное нарушение закона непротиворечивости (закона тождества формальной логики в отрицательной формулировке). По-видимому, поэтому он пошел окольным путем: сначала рассмотрел множество А, которое содержит все так называемые несобственные подмножества и только их, а уже после этого написал: и , т. е. все несобственные множества (множества, которые в качестве своего элемента содержат самое себя) внутренне противоречивы и, значит, невозможны. Однако, что в этом высказывании необычного и почему это элементарное нарушение логики вызвало такой переполох в математическом сообществе, отзвуки которого слышны и по сей день? Потому, что математики признают лишь единственный закон логики — закон непротиворечия, и потому не в состоянии назвать глупостью то, что выходит за рамки этого закона и, следовательно, выходит за рамки формального правила вывода.
Формальное правило вывода состоит из посылок и заключения, и им, как мы уже сказали выше, заменяют в абстрактной математике логическое определение. Правило вывода без посылок называется в математике аксиомой. По формальному правилу вывода, если посылки истинны, то всегда истинно и заключение. Теперь внимание! Если математики договорились об использовании того или иного формального правила вывода из аксиом (которые они вводят сами по собственному произволу) то можно уже не принимать во внимание даже первое начало формальной классической логики — закон тождества, на которое опирались их великие предшественники, которые еще не были отвязанными абстракционистами . Тогда, если из предположения следует, что , то это просто означает, что утверждение является неразрешимым (точнее, бессмысленным), но не противоречивым, так как главный закон формальной логики — это краеугольный камень любого современного формализма и обойти его никак невозможно. Отсюда следует вывод уже реально-логического характера: либо ограничение, задаваемое данным формализмом, при определении множеств, либо сама теория множеств становится пустой игрушкой испорченного разума. Почему, однако, испорченного? Математики ввели в свой обиход две несовместимые вещи — классическую, формальную логику с ее законом непротиворечия и ничем не ограниченную свободу в своих определениях.
Итак, чтобы вернуться на тропу здравого смысла в математике, надо выбирать что-то одно. Если полная свобода «математического творчества», то тогда не следует удивляться возникновению парадоксов в теории множеств, например. Да и в других разделах математики. Если строго следовать формальной логике с ее единственным законом непротиворечия, тогда множеств быть не должно вовсе, а должны быть только отдельные и тождественные себе объекты. Платоновы идеи, например, каждая из которых живет в своем изолированном мире и не может вступать в отношения с другими идеями. Ведь в таком случае любое такое отношение — это противоречие. В связи с этим весьма кстати слова Германа Вейля, сказанные им еще в начале ХХ в.: «Сейчас мы менее, чем когда-либо уверены в первичных основаниях математики и логики. Мы переживаем свой кризис подобно тому, как переживают его все в этом мире…» (Г. Вейль. Математика и логика. М. 1946).
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
