Рабочая модель двигателя Стирлинга с бесплатной доставкой по всей России. Узнать больше..

Парадокс как проблема разума

Обсуждение новых математических изысканий.
Правила форума
Научный форум "Математика"

Парадокс как проблема разума

Комментарий теории:#1  Сообщение Валентин Попов » 06 фев 2014, 21:09

Если в математике определяется понятие или какое-либо правило, то при этом ставится цель не выйти за пределы формальной классической логики. В таком случае любое высказывание об этом объекте должно быть либо истинным, либо ложным, что соответствует двузначной формальной организации алгоритмической функции нашего разума. В рамках этого условия любое неразрешимое (не истинное и не ложное) высказывание становится логически некорректным. Отсюда становится понятной функция формальной логики, которой поддерживается математический язык со времен Евклида, главным инструментом которого в доказательстве выступает redutio ad absurdum (метод доказательства от противного). Итак, чтобы в математических построениях не возникало неразрешимых противоречий — парадоксов, логическое противоречие в математике запрещено. В реальности все происходит не так: противоречия в ней существуют, и разрешаются они по определенным законам Природы.

Вот пример корректного математического построения: истинно тогда и только тогда, когда — ложно; и вот пример парадокса: истинно тогда и только тогда, когда — ложно. В качестве А можно понимать и переменную из широко известного парадокса Рассела: и , где знак - какое-то отношение А вот пример формально-логического троллинга: решите систему уравнений:. Решение это, однако, существует, если мы введем логическую операцию отрицания, вторичную относительно определения . А именно: . Имея в виду этот троллинг, скажем так: все парадоксы возникают из соответствующих мыслительных способностей человека, т. е. их придумывает человек, а в отношениях между чисто формальными отношениями (например, в арифметике) и природными системами (в реальности) парадоксов не существует.

Что касается математической логики, то это закон непротиворечия аристотелевской формальной логики, выраженный в наиболее общей форме. В этом смысле основания математики — это применение математической логики или ее обобщения — алгебры Буля для обоснования самой математики, что, как очевидно, есть логический круг. Если же применить математическую логику (например, исчисление предикатов) для построения решателя задач в счетно-решающих устройствах, то это есть выход на уровень вычислительной математики, обслуживающей вычислительную технику, и которая, как очевидно, к чистой (или «отвязанной») математике никакого отношения не имеет.

Возьмем еще один пример, подтверждающий сказанное выше в отношении запрета противоречия в формальной логике и одновременно о возникновении в ней парадоксов. Что есть логическое (или дедуктивное) определение? Это сложное высказывание, содержащее две части: 1) описание родового свойства; 2) описание специфического свойства, присущего только данному виду, входящему в указанный род. В классической логике этот метод определения называется определением через ближайший род и видовое отличие. В более широком плане определением называется раскрытие семантики (логического содержания) того или иного имени. Там, где ближайший род еще не детерминирован (не ограничен), прибегают к различным вспомогательным приемам с целью семантического знакомства с тем или иным видом, а иногда и с конкретным объектом, если отсутствует возможность дать остенсивное определение, т. е. сказать: «Это есть Х» и указать на него пальцем. Не остенсивные и не логические определения называются дескрипциями (описаниями). В абстрактной математике все определения суть дескрипции; они указывают на тот или иной признак имени, а родом у них выступают абстрактные, т. е. полностью отвязанные от реальности, множества. Например, определением точки А может быть следующая дескрипция: точка А лежит на прямой а. При этом точка А — элемент множества «точки», а прямая а — элемент множества «прямые». Как мы видим, никакого сообщения об этих «множествах» нет, они просто обозначаются символами А и а. Не сказано даже, чем «множество точек» отличается от «множества прямых». Иными словами, определение в математике — это формальная посылка и формальное следствие, которые обозначаются связкой: «если…, то …» или просто знаком .

В классических разделах математики, которые еще не порвали связей с логикой и реальностью, встречаются корректные логические определения, например: гипотенуза — это сторона прямоугольника (ближайший род — стороны), которая лежит против прямого угла (специфическое отличие данной стороны от других сторон — катетов). Когда понятие определено логически, а не посредством дескрипции, то в дальнейшем можно пользоваться в рассуждении только его именем, не прибегая всякий раз к повторению определения, и в этом заключается важная когнитивная роль теоретического знания. Логические определения терминов — начала любого теоретического знания и, следовательно, логика — начало любого языка, в частности, математического. Таким образом, обоснование математики сводится к обоснованию ее логики.

Обратимся, например, к парадоксу Рассела: , если . Это, конечно, не логическое определение, а субъективное высказывание, и говорить, следовательно, о какой-то его когнитивной значимости бессмысленно. Рассел был логиком-формалистом и странно, поэтому, что он ввел такого рода «определение». Ведь это очевидное нарушение закона непротиворечивости (закона тождества формальной логики в отрицательной формулировке). По-видимому, поэтому он пошел окольным путем: сначала рассмотрел множество А, которое содержит все так называемые несобственные подмножества и только их, а уже после этого написал: и , т. е. все несобственные множества (множества, которые в качестве своего элемента содержат самое себя) внутренне противоречивы и, значит, невозможны. Однако, что в этом высказывании необычного и почему это элементарное нарушение логики вызвало такой переполох в математическом сообществе, отзвуки которого слышны и по сей день? Потому, что математики признают лишь единственный закон логики — закон непротиворечия, и потому не в состоянии назвать глупостью то, что выходит за рамки этого закона и, следовательно, выходит за рамки формального правила вывода.

Формальное правило вывода состоит из посылок и заключения, и им, как мы уже сказали выше, заменяют в абстрактной математике логическое определение. Правило вывода без посылок называется в математике аксиомой. По формальному правилу вывода, если посылки истинны, то всегда истинно и заключение. Теперь внимание! Если математики договорились об использовании того или иного формального правила вывода из аксиом (которые они вводят сами по собственному произволу) то можно уже не принимать во внимание даже первое начало формальной классической логики — закон тождества, на которое опирались их великие предшественники, которые еще не были отвязанными абстракционистами . Тогда, если из предположения следует, что , то это просто означает, что утверждение является неразрешимым (точнее, бессмысленным), но не противоречивым, так как главный закон формальной логики — это краеугольный камень любого современного формализма и обойти его никак невозможно. Отсюда следует вывод уже реально-логического характера: либо ограничение, задаваемое данным формализмом, при определении множеств, либо сама теория множеств становится пустой игрушкой испорченного разума. Почему, однако, испорченного? Математики ввели в свой обиход две несовместимые вещи — классическую, формальную логику с ее законом непротиворечия и ничем не ограниченную свободу в своих определениях.

Итак, чтобы вернуться на тропу здравого смысла в математике, надо выбирать что-то одно. Если полная свобода «математического творчества», то тогда не следует удивляться возникновению парадоксов в теории множеств, например. Да и в других разделах математики. Если строго следовать формальной логике с ее единственным законом непротиворечия, тогда множеств быть не должно вовсе, а должны быть только отдельные и тождественные себе объекты. Платоновы идеи, например, каждая из которых живет в своем изолированном мире и не может вступать в отношения с другими идеями. Ведь в таком случае любое такое отношение — это противоречие. В связи с этим весьма кстати слова Германа Вейля, сказанные им еще в начале ХХ в.: «Сейчас мы менее, чем когда-либо уверены в первичных основаниях математики и логики. Мы переживаем свой кризис подобно тому, как переживают его все в этом мире…» (Г. Вейль. Математика и логика. М. 1946).

Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
Код: выделить все
<div style="text-align:center;">Обсудить теорию <a href="http://www.newtheory.ru/mathematics/paradoks-kak-problema-razuma-t2786.html">Парадокс как проблема разума</a> Вы можете на форуме "Новая Теория".</div>
Валентин Попов
 
Сообщений: 183
Зарегистрирован: 16 авг 2012, 15:14
Благодарил (а): 0 раз.
Поблагодарили: 21 раз.

Парадокс как проблема разума

Сообщение Рекламкин » 06 фев 2014, 21:09

Двигатель Стирлинга Рабочая модель двигателя Стирлинга с бесплатной доставкой по всей России. Узнать больше..

Рекламкин

 

Re: Парадокс как проблема разума

Комментарий теории:#2  Сообщение rassomahinhgf » 03 ноя 2014, 08:46

Полностью согласен с тем, что теория множеств это раздутая пустышка(если я не ошибся с пониманием данной темы).Но ваша трактовка закона непротиворечия ничем не отличается от традиционной ошибки:Противоречие это ведь не дверь к которой подходят,разворачиваются и уходят,потому что запрещено-надо войти в неё и оставить позади себя.Об этом твердил Гегель,но для математиков Гегель, увы, не указ.
Посты,адресованные лично мне,оставляйте в основной теме "Наука:старая и новая",что позволит своевременно на них отвечать.
Аватар пользователя
rassomahinhgf
 
Сообщений: 33
Зарегистрирован: 25 окт 2014, 15:27
Благодарил (а): 1 раз.
Поблагодарили: 2 раз.

Re: Парадокс как проблема разума

Комментарий теории:#3  Сообщение che » 03 ноя 2014, 09:18

rassomahinhgf писал(а):теория множеств это раздутая пустышка
Ага! И таблица умножения! Ведь всякому, кто сохранил хоть каплю здравого смысла ясно, что из 5 х 5 = 25 и 6 х 6 = 36 логически следует 7 х 7 = 47. Переверните свою тетрадку по арифметике -- что там написано? То-то же -- дурят людей...
che
 
Сообщений: 10069
Зарегистрирован: 25 авг 2010, 18:50
Благодарил (а): 726 раз.
Поблагодарили: 736 раз.

Re: Парадокс как проблема разума

Комментарий теории:#4  Сообщение Валентин Попов » 12 июн 2016, 22:28

rassomahinhgf писал(а):ваша трактовка закона непротиворечия ничем не отличается от традиционной ошибки:Противоречие это ведь не дверь к которой подходят,разворачиваются ...

Закон непротиворечия один из основных законов классической формальной логики. По Аристотелю, запрещается нечто утверждать и одновременно это же отрицать, поскольку такое рассуждение становится бессмысленным. Но на самом деле в таком случае первоначальное утверждение (допустим, "Луна светит собственным светом" и его отрицание "Луна не светит собственным светом") принципиально не содержит в себе парадокса, а лишь дезавуирует (снимает) первичное суждение. Парадокс как проблема разума, т. е. шизофрения в конкретных мозгах, возникает лишь тогда, когда говорящий пытается удержать в голове эти два противоречащих суждения одновременно, и именно такие парадоксы возникают в некоторых формальных теориях. В нормальных мозгах после отрицания утвердительного суждения появляется возможность "войти в правильную дверь", т. е. изречь, например: "Луна светит отраженным светом". Аристотель трактовал свой закон непротиворечия (он был первым, кто его сформулировал) как абсолютный запрет в рассуждении, т. е. как проявление шизофрении, и в этом он, конечно, был прав. Но противоречие допустимо в конструктивном смысле, и тогда отрицательное суждение должно быть всегда вторичным (неодновременным) относительно утвердительного и соответствовать ему по смыслу. Кстати, этот порядок можно заметить в теории чисел: сначала были введены в оборот положительные числа, а лишь спустя тысячелетия (кажется, в только в XVII в.) их формально-логические противоположности - отрицательные числа. А любая пара положительно и отрицательного числа дает 0, т. е. отсутствие первичного утверждения о данном положительном числе.
Валентин Попов
 
Сообщений: 183
Зарегистрирован: 16 авг 2012, 15:14
Благодарил (а): 0 раз.
Поблагодарили: 21 раз.

Re: Парадокс как проблема разума

Комментарий теории:#5  Сообщение bulygin69 » 13 июн 2016, 10:10

Валентин Попов писал(а):все парадоксы возникают из соответствующих мыслительных способностей человека, т. е. их придумывает человек, а в отношениях между чисто формальными отношениями (например, в арифметике) и природными системами (в реальности) парадоксов не существует.

Объясните это (почему она не должна работать в силу запрета противоречия в логике) работающей программе из статьи "Размышления о математике":
http://sci-article.ru/stat.php?i=1420709599, в которой конструкция "А равно не-А" или "А не-равно А" используется.Изображение
Последний раз редактировалось bulygin69 13 июн 2016, 17:33, всего редактировалось 1 раз.
bulygin69
 
Сообщений: 43
Зарегистрирован: 03 ноя 2011, 05:13
Благодарил (а): 0 раз.
Поблагодарили: 1 раз.

Re: Парадокс как проблема разума

Комментарий теории:#6  Сообщение alexandrovod » 13 июн 2016, 10:57

bulygin69 писал(а):"А равно не-А" или "А не-равно А" используется


И в физике А*В=В*А Бозе статистика, А*В=-В*А Ферми.
alexandrovod
 
Сообщений: 2775
Зарегистрирован: 06 май 2014, 17:34
Благодарил (а): 477 раз.
Поблагодарили: 213 раз.

Re: Парадокс как проблема разума

Комментарий теории:#7  Сообщение bulygin69 » 13 июн 2016, 17:49

Трактовка нуля как противоречия (как неравного себе) позволяет конструировать и числа натурального ряда. В самом деле, 1=¬0 преобразуется к 1≠0, что можно прочесть как «то, что различается с нулем, то только единица». Это преобразование есть ничто иное как Y=F(X), где F – внесение различия (отрицания) по отношению к предыдущим числам натурального ряда.Таким образом, если Х –изначально то, что неравно себе, то отрицание неравного себе даст равное себе (единицу). Далее, отрицание по отношению к предыдущим числам даст число, которое, во-первых, равно себе и, во-вторых, отличается от нуля и единицы. Этим следующим числом и будет «равное себе, которое отлично и от нуля и от единицы». Напомню для сравнения, что один – это «равное себе, которое отлично от нуля». И «равное себе, которое отлично и от нуля и от единицы» различается с «равное себе, которое отлично от нуля». Именно так трактует числа программа run_nr_i, алгоритм которой был описан ранее в статье «Размышления о математике»

Ссылка на видео:https://new.vk.com/life_and_thinking?z=video-97027965_171573475%2Fvideos-97027965
Ссылка на текст:https://new.vk.com/doc-97027965_409920017
bulygin69
 
Сообщений: 43
Зарегистрирован: 03 ноя 2011, 05:13
Благодарил (а): 0 раз.
Поблагодарили: 1 раз.

Re: Парадокс как проблема разума

Комментарий теории:#8  Сообщение alexandrovod » 13 июн 2016, 19:17

Мат. шутка e^(i*Pi*(2n+1))=-1, e^(i*Pi*(2n))=1 n==нат. целое число, получается e^(i*Pi*(4))=e^(i*Pi*(6)) Ln( e^(i*Pi*(4))=e^(i*Pi*(6))), получается i*Pi*4 =i*Pi*6, после сокращения 2=3.
alexandrovod
 
Сообщений: 2775
Зарегистрирован: 06 май 2014, 17:34
Благодарил (а): 477 раз.
Поблагодарили: 213 раз.

Re: Парадокс как проблема разума

Комментарий теории:#9  Сообщение Валентин Попов » 13 июн 2016, 19:33

bulygin69 писал(а):Трактовка нуля как противоречия (как неравного себе) позволяет конструировать и числа натурального ряда.

Уважаемый "bulygin69", Вы представили один из возможных алгоритмов (систематических процедур) для построения натурального ряда, включающего 0, и алгоритм этот, на мой взгляд, чрезвычайно громоздкий, (потому что применяет «отрицание с ограничением»), хотя и разрешимый (не содержит в себе парадоксов). Мне, например, больше по душе алгоритм для построения натурального ряда, основанный на исчислении Поста. [см., напр.: Мартин-Лёф. Очерки по конструктивной математике]. Это финитная формальная система (содержит конечный набор правил) и одновременно алгоритм (содержит конечную последовательность команд), что позволяет строить на основе принципа полной индукции любое натуральное число как рекурсивно перечислимое множество элементов — неделимых далее натуральных единиц, а любое отрицание натурального числа – дает 0 (не число).
Дело в том, что любая финитная формализация изначально ограничивает теоретическую арифметику, что делает бессмысленным саму постановку вопроса о существовании трансфинитных (бесконечных) чисел или их бесконечных (не перечислимых) множеств.
Итак, применим каноническую систему Поста и построим с ее помощью ряд натуральных чисел. Пусть исчисление Поста будет введено по такой схеме:
Основной знак 1 (назовем его «единицей»)
Вспомогательный знак N (он выступает именем числа)
Переменная х
Правило вывода Nx/Nx1
Тогда по данному правилу выводимы числа N1, N11, N111, …, и они имеют соответствующие имена: один, два, три, … Наша задача состоит в том, чтобы указать все натуральные числа, истинные в рамках этого правила. Очевидно, если некоторое число m – определенное натуральное число, то m1, m11, m111, …, тоже натуральные числа, которым мы вправе также придать уникальные имена. В формальной записи это правило построения натуральных чисел указывает на то, что имеется вывод любого натурального числа Nm, состоящего из m единиц. Однако в алгоритме этого вывода нет ни одного числа, которое бы удовлетворяло значению 0. Но выход для этого есть: достаточно применить операцию отрицания для любого (задействованного в данный момент) натурального числа, а именно: не-Nm. При этом все натуральные числа остаются равноправными (разрешимыми) относительно принятого закона и отличаются только количеством определяющих их единиц. Другими словами, любое натуральное число – это разрешимое множество, элементами которого выступают единицы, а любое их отрицание эквивалентно не-числу (нулю). Данное индуктивное определение натуральных чисел и их отрицания, которые мы ввели, воспользовавшись исчислением Поста, конечно, не является доказательством существования натуральных чисел, но мы получили подсказку, как организовать эффективную систематическую процедуру, используя «метод Робинзона» (метод зарубок на бревне) , и формально-логический закон противоречия, не позволяющий соединить в единое целое Nm и не-Nm.
Валентин Попов
 
Сообщений: 183
Зарегистрирован: 16 авг 2012, 15:14
Благодарил (а): 0 раз.
Поблагодарили: 21 раз.

Re: Парадокс как проблема разума

Комментарий теории:#10  Сообщение bulygin69 » 13 июн 2016, 20:02

Валентин Попов писал(а): Вы представили один из возможных алгоритмов алгоритмов (систематических процедур) для построения натурального ряда, включающего 0, и алгоритм этот, на мой взгляд, чрезвычайно громоздкий, (потому что применяет «отрицание с ограничением»), хотя и разрешимый (не содержит в себе парадоксов).
.
1) Наоборот, он очень прост, поскольку использует только понятия "равно", "не-равно", из которых числа получаются. Другими словами, в основе чисел - понятия быть и не-быть.
2) Гегель, кстати, науки логики начинал с небытия, которое у него "есть" и "не-есть" одновременно. Такую же логику использует и программа.
3) Поскольку ноль есть неравное себе, то это также означает, что ноль равен себе. ... Повторюсь, здесь используется понятие противоречия в Гегелевском понимании.
bulygin69
 
Сообщений: 43
Зарегистрирован: 03 ноя 2011, 05:13
Благодарил (а): 0 раз.
Поблагодарили: 1 раз.

След.

Вернуться в Математика

 


  • Похожие темы
    Ответов
    Просмотров
    Последнее сообщение

Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1