Замечательной особенностью всех без исключения естественных языков (древнегреческого, латинского, русского, китайского и т. д.) является то, что их синтаксис (свод правил для построения предложений) подчинен универсальной для всех языков закономерности, которую во времена классики и эллинизма обозначали понятием «логос». Это система правил, которая как некая программа «зашита» во все естественные языки, обеспечивает ему смысловую эквивалентность и поэтому все естественные языки переводятся (преобразуются с сохранением смысла конкретного текста) с одного на любой другой. Что касается словарей всех естественных языков, то они также объективно связаны в единое лингвистическое пространство, поскольку обозначают предметы, образы и явления единой для всех людей реальности. Далее, из этих предметов, образов и явлений реального мира по одному и тому же логическому направлению следования (называется индукцией) человеческий разум образует представления и понятия различной степени общности, из которых затем противоположным направлением логического следования (называется дедукцией) из общих понятий выделяются боле содержательные частные понятия. Все понятия, которые образуют единое смысловое пространство, выступающее источником всего общечеловеческого теоретического знания, также отображаются посредством слов или визуальных знаков.
Не является исключением в ряде естественных языков и язык математики. Математика абстрактна не потому, что она отвлекается от свойств предметов (свойства предметов изучают специальные дисциплины), но потому, что она не является наукой о предметах как таковых, она рассматривает только их количественные или пространственные отношения. Так, арифметика имеет дело только с числами, но не с количествами каких-то предметов, из которых эти числа были абстрагированы, а геометрия — с прямыми и плоскостями, но не с расстояниями и поверхностями, т. е. с теми пространственными величинами, из которых эти общие математические понятия были выделены посредством абстрагирования отождествления. При этом процесс абстрагирования происходит с помощью естественного же языка еще до того, как была формулирована та или иная математическая теория и ее специфический язык и в этом смысле язык выступает как отображение мышления. Сам же процесс мышления, с помощью которого человек познает себя и окружающий мир, базируется на трех основных функциях: логической (эта функция мышления ответственна за синтаксис языка — логос), обобщающей (образование конкретных понятий) и абстрагирующей (эта функция мышления ответственна за создание общих понятий, которые принято называть абстрактными понятиями или просто абстракциями), и этот сложный мыслительный процесс отображается в языке. Язык и мышление неразрывно связаны, они не могут существовать один без другого. Всякая же попытка оторвать язык от сложного и, поэтому, противоречивого процесса мышления или упростить его, представив, например, как проявление одной лишь его логической функции, приводит к редукции и языка, т. е. к формализованному языку.
Посмотрим на это явление на примере создания формализованного языка символической логики. Словарь такого языка, согласно А. Чёрчу (см. Чёрч А. Введение в математическую логику. Т. 1. М., 1960. С. 49) задается тем, что выписываются единые (неделимые на буквы) символы, которые называются исходными словами создаваемой формальной системы и выступают словами-константами. Если в первоначальных вариантах математической логики эти символы отображали высказывания, которые ассоциировались с единичными истинными и ложными суждениями, и, следовательно, были переменными логическими величинами, то у Чёрча эти символы замораживаются. Теперь эти символы уже ничего не отображают, они становятся пустыми знаками (знаками без содержания), единственным значением которых становится их внешняя форма (последовательности клякс на бумаге). Составленная из этих символов по схемам математической логики — отрицанию, конъюнкции, дизъюнкции и импликации — последовательности называются формулами, и часть таких формул (тождественно-истинных тавтологий) объявляется аксиомами. После того, как выделены аксиомы, устанавливаются правила вывода, по которым затем из посылок выводятся заключения, и последние объявляются истинными. Истинными, как бы согласно принципу дедукции, но на самом деле дедукцией здесь и не пахнет, потому что реальная дедукция выделяет частное из общего на основании специфического признака, но не на основании формально логической цепочки, как это делается в данном случае.
Поскольку выводные «истины» уже ничего реального в себе не содержат (нет возможности им сопоставить что-то реальное), то вновь на поверхность всплывает проблема их непротиворечивости относительно аксиом исходной теории. Логический круг, таким образом, замыкается и снова необходимо создавать какой-то дополнительный формализм, чтобы доказать непротиворечивость данного способа доказательства непротиворечивости, и это хождение по кругу не имеет завершения. Такого рода формализм (назовем его по имени его инициатора — гильбертовским) необратимо отрывает математику как язык, имеющий дело с абстракциями отождествления и принципом дедукции, от реальности. После этого «только логически формальное составляет предмет математики; все же остальное в математике, не связанное с логически формальным и соответствующее видимым или иным вещам, к математике не относится». Эти слова принадлежат А. Эйнштейну — выдающемуся формалисту XX в., которые написаны в его брошюре «Геометрия и опыт».
Несомненно, формальная логика в математике играет важную роль, но она применима только к конкретным математическим понятиям, которые создаются посредством полной (математической) индукции. Когда же речь идет об абстракциях, которых самих по себе как бы и не существует, то всякое математическое утверждение, оцениваемое с позиции двузначного формализма как «истина» или «ложь», под юрисдикцию формальной логики не подпадают. В силу вступают определения, которые с позиции классической логики являются частными суждениями, дедуцируемые из общих суждений, согласно принципу силлогизма. Как бы ни была на первый взгляд громоздка эта логика, она опирается на реальные отношения и связи, ибо в математике, как и в любой другой теоретической науке, имеют право на существование только те формы, которые абстрагируются из реальности. Например, понятие точной геометрической фигуры, допустим, отрезке прямой, не связано с каким-либо метром или километром, а содержит в себе представление о непрерывном процессе мысленного перехода к данной пространственной форме, выступающей масштабом для единиц длины. Это абстрактное математическое понятие отображает все то общее, что присуще всем протяженным телам данного пространственного рода — протяженных тел одного измерения. Отсюда также следует, что характер математической абстракции не отличается от любых других абстракций отождествления, которые создаются и применяются не только в каждой естественнонаучной теории, но и в гуманитарных науках, а также в искусстве, да и в жизни вообще (например, «справедливость» или «добродетель»). Как и всякое общее понятие, создаваемое в процессе абстрагирования отождествления, математические абстрактные понятия в чистом виде существуют только в сознаниях математиков, но предметы, из которых эти понятия абстрагированы, представляют собой реальные бесконечные (неопределенно численные с точки зрения человеческого разума) множества. Создание научной абстракции возможно только при полном участии мышления, твердо опирающегося на все его интеллектуальные функции и способности, среди которых есть но только формально логическая, но и обобщающая и абстрагирующая.
Таким образом, все аксиомы, понятия и определения, на которые опирается всякое истинно научное доказательство, происходят из опыта или целенаправленного эксперимента, они обусловлены практической деятельностью людей и их жизненными потребностями. Даже такое, казалось бы, полностью абстрактное понятие, как математическая бесконечность, не привнесено в математику чисто умозрительно, или аксиоматически, как это принято считать в современной математике. Этой абстракции в природном мире предшествуют реально существующие неопределенно численные, т. е. не поддающиеся непосредственному пересчету совокупности. Конечный человеческий разум создает абстракцию бесконечности (мы подчеркиваем, создает именно с абстракцию бесконечности, но не подразумевает бесконечность как таковую), например, в таких проявлениях реальности, как бесконечное превращение материи из одного ее вида в другой, бесконечное течение времени, рассматриваемое вне жизни конкретного человека, бесконечные космические пространственные протяженности, оцениваемые с точки зрения земного наблюдателя. В сущности, это субъективные представления нашего ограниченного в пространстве и времени разума, но, в конечном счете, они обусловлены практической деятельностью, и потому объективируются такого рода абстракцией отождествления в качестве альтернативы нашему первородному финитизму. Здесь мы должны согласиться с Энгельсом, а именно: «Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и потому может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя…», [Энгельс Ф. Анти-Дюринг. С. 354]. И ни в коей мере не должны соглашаться с Кантором, который обращался к математической бесконечности как к некоей математической реальности, безуспешно пытаясь отобразить эту реальность с помощью «бесконечных чисел».
Невозможно доказать существование бесконечности и «методом от противного», как это впервые пытался сделать Евклид, «доказывая» существование никогда не завершаемого ряда простых чисел. Понятие «простое число» — это частное математическое понятие, которое образуется в результате логически корректного (через ближайший род и видовое отличие) дедуктивного определения. Например, так: простое число — это целое число, которое делится только на единицу и самое себя. В свою очередь частное понятие, но более высокого уровня «целое число» также определяется через ближайший род и видовое отличие, например, так: целое число — это число, которое соизмеримо с числом один (единицей). Что касается общего понятия «число», то оно уже логически не определимо, это плод абстрагирования отождествления. И в данном «доказательстве» с Евклидом «злую шутку сыграл» двузначный формализм, согласно которому отрицание «истины» есть «ложь» и, напротив, отрицание «лжи» есть «истина». «Ложью» в данном случае выступает совершенно голословное (ничем не подкрепленное) утверждение: «существует самое большое конечное простое число», следовательно, отрицанием этого утверждения становится противоположное ему: «не существует самое большое простое число». Однако из этого вовсе не следует, что существует бесконечный ряд простых чисел, поскольку любой алгоритм — это конкретная реализация принципа полной математической индукции. Другими словами, открытый (или бесконечный) алгоритм — это такая же математико-подобная химера, как и канторовская аксиома бесконечности с ее бесконечными числами. Логическая ошибка «reductio ad absurdum», которая, согласно современному математическому истеблишменту, является «самым эффективным методом доказательства возникает из-за «приверженности нормального (сложного) человеческого мышления «чистому разуму», как много веков спустя эту стратегическую ошибку мышления назовет философ И. Кант.
Критикуя философов нового времени и, в частности, И. Канта за априоризм, русский логик М. И. Каринский писал: «Утверждать, что наличное математическое знание есть умозрительное знание, единственно на том основании, что оно касается построений, данных в созерцании, это значило бы предполагать, что в такого рода построениях возможно единственно только знание умозрительное и вовсе невозможно знание эмпирическое. Но подобная мысль прямо противоречила бы даже очевидным фактам: каждая геометрическая теорема может быть доказана чисто опытным путем, путем измерения, сличений и прочих данных во внешнем опыте пространственных фигур. Едва ли можно сомневаться даже в том, что, по крайней мере, те из геометрических теорем, которые требуют более сложного доказательства, например, так называемая Пифагорова теорема, были первоначально открыты и установлены в качестве вероятных положений таким именно путем» [Каринский М. И. Об истинах самоочевидных. СПб., 1893. С. 19].
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
