Аннотация
История установления законов электродинамики насчитывает уже более 200 лет, но, не смотря на это, физика излучения и распространения электромагнитных волн до настоящего времени так и не выяснена и существуют только феноменологические законы, которыми до сих пор и пользуются. В основу таких законов положено понятие векторного потенциала магнитного поля, который следует из феноменологического закона Ампера, который установлен на основании эмпирических законов о силовом взаимодействии токонесущих систем. В работе предлагается новый феноменологический подход к решению распространения электромагнитных волн в длинных линиях. Этот подход основан на использовании законов самоиндукции.
Ключевые слова: магнитное поле, векторный потенциал, электромагнитная волна, законы самоиндукции, волновое уравнение, телеграфные уравнения, скалярно-векторный потенциал.
1. Уравнения Максвелла и направляемые электромагнитные волны
Основными уравнениями современной классической электродинамики являются уравнения Максвелла [3]. Для вакуума они имеют вид:
где и - напряженность электрического и магнитного поля, и - электрическая и магнитная индукция, и - магнитная и диэлектрическая проницаемость вакуума (магнитная и электрическая постоянная). Из (1.1)-(1.4) следуют волновые уравнения
которые указывают на то, что в вакууме могут распространяться плоские электромагнитные волны (ЭМ) со скоростью света
.
Для материальных сред уравнения Максвелла имеют следующий вид:
,
где и - относительные магнитная и диэлектрическая проницаемость среды, а , и - плотность, величина и скорость зарядов.
Уравнения (1.1) – (1.11) записываются в заданной инерциальной системе отсчёта (ИСО), и в них отсутствуют правила перехода из одной ИСО в другую. Приведенные уравнения также предполагают, что свойства заряда не зависят от их скорости, поскольку в первом слагаемом правой части уравнения (1.9) в качестве заряда берётся его статическое значение. Приведенные уравнения также предполагают, что ток может течь, как в электрически нейтральной среде, где имеется равное количество зарядов обоих знаков, так и представлять обособленный поток заряженных частиц, причем обе ситуации считаются равнозначными.
На практике мы часто имеем дело с распространением ЭМ волн не в свободном пространстве, а в линиях передачи, которыми являются длинные линии, состоящие из проводников или полые волноводы. Такие структуры являются направляющими, поскольку ЭМ волны распространяются в них в заданном направлении.
Направляющей структурой служит и обычная проводящяя плоскость, над которой распространяется ЭМ волна. Расположим оси координат так, чтобы они совпадали с координатной плоскостью yz, где ось z совпадает с направлением распространения волны.
В этом случае волна будет поляризована в плоскости падения и Составляющая вектора Пойтнинга, определяющего мощность волны, распространяющуюся в направлении z , запишется
где и - напряженность электрического и магнитного поля.
Составляющие электрического и магнитного полей в данном случае будут иметь вид:
Где - волновой вектор, - характеристическое сопротивление среды с заданной магнитной и диэлектрической проницаемостью.
При этом волновые уравнения относительно и запишутся:
сводится к
сводится к
Если речь идёт о волнах, направляемых направляющими системами, то при решении уравнений Максвелла следует учитывать все составляющие полей.
Приведём выражения для роторов полей в выбранной системе координат:
Эти уравнения можно решить относительно , , , , выразив их через и
Полные напряженности электрических и магнитных полей между ограничивающими проводящими поверхностями должны удовлетворять также волновому уравнению
Трёхмерный оператор может быть разбит на две части
Последний член этого равенства есть доля, вносимая изменением поля по оси распространения в общую величину .
Тогда в направлении оси распространения имеем
Волновые уравнения, таким образом, могут быть записаны следующим образом:
Представленные уравнения делят электромагнитные волны, распространяющиеся в направляемых структурах на три категории:
1. Волны, не имеющие составляющих ни электрического, ни магнитного полей в напрвлении распространения носят название поперечных (ТЕМ) электромагнитных волн.
2. Волны, имеющие составляющие электрического поля в направлении распространения называются Е волнами, или поперечно-магнитными (сокращённо ТМ).
3. Волны, имеющие составляющие магнитного поля в направлении распространения называются Н волнами, или поперечно-электрическими (сокращённо ТЕ).
Нас интересуют ТЕМ волны, которые распространяются в длинных линиях. Это связано с тем, что в дальнейшем будет найден альтернативный подход к описанию таких волн, не имеющий отношения к уравнениям Максвелла.
Но, прежде, чем перейти к рассмотрению таких подходов, рассмотрим концепцию излучения электромагнитных волн в классической электродинамике.
1. Концепция излучения в классической электродинамике
Любое поле это такое поле, которое можно обнаружить при помощи измерительных приборов. Если имеется заряженный плоский конденсатор ( рис. 1), состоящий из двух плоских пластин, то электрическое поле между ними легко обнаружить, вводя между этими пластинами пробный заряд. По силе, действующей на такой заряд, и обнаруживается электрическое поле. Характерным свойством такого поля является то, что оно представляет непрерывную однородную среду, обладающую удельной энергией, пропорциональной квадрату электрического поля. В этом легко убедится при помощи простого эксперимента. Если начать раздвигать пластины конденсатора, то при этом будет необходимо затратить определённую работу.
Рис. 1. Конденсатор, состоящий из плоскопараллельных заряженных пластин.
Если поверхностная плотность зарядов на его пластинах равна , то напряженность электрического поля между его пластинами равна
Без учёта краевых эффектов электрическая сила, действующая на пластины конденсатора определяется соотношением
Если при этом пластины раздвинуть на расстояние , то при этом будет совершена механическая работа
Но энергия электрических полей тоже будет равна этой же величине. Если же пластины сближаются, то, наоборот, электрическая энергия будет превращаться в механическую. Эти примеры показывает, как механическая энергия может превращаться в электрическую и наоборот.
Хорошо известно, что вблизи проводов, по которым течёт переменный электрический ток, образуются электрические поля индукции, которые могут быть связаны с переменным магнитным полем. Магнитное поле в своё время было введено Ампером феноменологическим путём на основе наблюдения силового взаимодействия между проводниками, по которым течёт ток.
Закон Ампера, выраженный в векторной форме, определяет магнитное поле в точке наблюдения в следующем виде [1]:
где - ток в элементе , - вектор, направленный из в точку наблюдения (рис. 2).
Можно показать, что
и, кроме того, что
Рис. 2. Формирование векторного потенциала элементом проводника , по которому течёт ток .
Но ротор [/formula]d\vec{l}[/formula] равен нулю и поэтому окончательно
где
.
Замечательным свойством этого выражения является то, что зависимость векторного потенциал обратно пропорциональна расстоянию до точки наблюдения. Именно это свойство и позволяет получить законы излучения.
Поскольку , где количество зарядов, приходящееся на единицу длины проводника, из (1.1) получаем:
Если размер элемента , по которому течёт ток, значительно меньше, чем расстояние до точки наблюдения, то это соотношение имеет вид:
Из этого соотношения следует интересный факт. Даже на постоянном токе зависимость векторного потенциала от расстояния соответствует законам излучения. И, казалось бы, что, меняя скачками ток в коротком отрезке проводника, и измеряя векторный потенциал в удалённой точке, можно передавать информацию в эту точку по законам излучения. Но этому мешает то обстоятельство, что цепь постоянного тока всегда замкнута на локальный источник питания и поэтому всегда есть как прямой, так и обратный провод. Эта особенность приводит к тому, что скалярный потенциал в дальней зоне оказывается обратно пропорционален квадрату расстояния до наблюдаемой точки. Это легко показать на примере двух параллельных элементов проводника, расположенных на расстоянии (рис. 3), в которых текут встречные токи.
Рис. 3. Два проводник с встречными токами.
В этом случае векторный потенциал в удалённой зоне определяется как сумма векторных потенциалов, создаваемых в дальней зоне каждым токовым элементом в отдельности. При условии значительно больше, чем получаем:
Избежать этих трудностей можно путём использования переменных токов. Поскольку электрическое поле и векторный потенциал в свободном пространстве связаны соотношением
где - магнитная проницаемость вакуума, то электрическое поле, создаваемое в дальней зоне элементом тока , будет зависеть от ускорения зарядов в этом элементе
где - ускорение зарядов. Из уравнений Максвелла известно, что электрические поля распространяются в свободном пространстве со скоростью
где - диэлектрическая проницаемость вакуума.
Поэтому, если токовые элементы расположить на расстоянии равном половине длины волны и создать в них разнонаправленные токи, то в дальней зоне за счёт запаздывания электрические поля от отдельных токовых элементов сложатся, и суммарное электрическое поле удвоится:
Если в соотношении (1.2) учесть, что поля распространяются с конечной скоростью и учесть запаздывание , то с учётом соотношения (1.3) получим:
В том случае, когда ускорение зарядов меняется по гармоническому закону
соотношение (1.4) принимает вид
В случае, когда размер элемента тока значительно меньше расстояния до точки наблюдения, получаем:
Соотношения (1.4-1.6) показывает, что электрические поля в дальней зоне для рассмотренного случая зависят от ускорения зарядов. Рассматривая электрические поля плоского конденсатора, мы видели, что такие поля обладают удельной энергией, которую и будут они переносить при своём распространении.
Но в таком рассмотрении мет места магнитному полю, которое имеется в электромагнитной волне. Такое поле может быть введено как чисто математическое понятие из второго уравнения Максвелла
Для случая малости элемента тока по сравнению с расстоянием до точки наблюдения имеем:
Из этих соотношений следует, что магнитное поле является пространственной производной электрического поля.
Если имеется одиночный заряд , то соотношения (1.6) и (1.7) перепишутся следующим образом:
где - единичный вектор в направлении движения заряда.
Запишем эти соотношения в декартовой системе координат, считая, что направлением распространения является ось , а вектор направлен по оси (рис. 4).
Рис. 4. Схема формирования магнитного поля.
Из соотношения (1.9) получаем
При интегрировании этого соотношения следует учесть, что при длине волны значительно меньшей, чем расстояние до точки наблюдения, гармоническая производная по координате значительно больше, чем производная от обратного значения координаты. Поэтому координату в числителе правой части соотношения (1.10) можно считать постоянной величиной. При этом условии из соотношения (1.10) получаем
Это значение магнитного поля получено при условии существования компоненты электрического поля
Разделив (1.12) на (1.11) получаем
где - волновое сопротивление вакуума.
Проведенное рассмотрение показало, что в свободном пространстве может распространяться так называемая электромагнитная волна, у которой векторы электрического и магнитного поля синфазны. Подчеркнём ещё раз, что введение вектора магнитного поля является чисто математической формальностью, которая не является необходимой для построения теории излучения.
Таким образом, опираясь на феноменологическую концепцию магнитного поля, получены законы распространения электромагнитных волн. Эти законы исключают необходимость использования уравнений Максвелла, т.к. из них могут быть получены все законы распространения, а уравнения Максвелла по отношению к этим уравнениям являются частным случаем, когда расстояние от излучателя до точки наблюдения велико.
Остаётся только спросить, почему электродинамика не пошла по этому пути сразу же после введения понятия магнитного поля. Ответ кроется в том, что тогда никто не знал о существовании электромагнитных волн и только опыты Герца подтвердили это.
Таким образом, физическая основа такого подхода пока не ясна, т.к. не понятно, что с физической точки зрения представляет векторный потенциал и почему он связан с движением зарядов. В связи с непониманием этих вопросов, а векторный потенциал является ответственным не только за излучение, но и за силовое взаимодействия токонесущих систем, классическая электродинамика и разделена до настоящего времени на две не связанные друг с другом части. Одна её часть это уравнения Максвелла, определяющие волновые процессы в материальных средах. Другая часть, определяющая силовое взаимодействие токонесущих систем, основывается на экспериментальном постулате о силе Лоренца.
Из соотношений (8) и (11) видно, что электрические и магнитные поля электромагнитных волн в такой постановке вопроса зависят только от вторых производных координаты по времени, и в данном случае пока нет ответа по поводу того, могут ли эти поля зависеть от более высоких производных.
Данный вопрос рассмотрен с формальной феноменологической точки зрения путём введения понятия магнитного поля и векторного потенциала, и полученные результаты хорошо согласующиеся с экспериментом. Однако основная проблема на сегодняшний день заключается в том, что пока не известна физическая природа этого потенциала.
2. Дальнейшее развитие феноменологических подходов к вопросам распространения электромагнитных волн.
2.1. Законы самоиндукции
К законам самоиндукции следует отнести те законы, которые описывают реакцию таких элементов радиотехнических цепей, как ёмкость, индуктивность и сопротивление при гальваническом подключении к ним источников тока или напряжения [2-4]. Эти законы являются основой теории электрических цепей. Движение зарядов в какой-либо цепи связано с потреблением энергии от источников питания, которые заставляют их менять своё местоположение или двигаться. Процессы взаимодействия источников питания с такими структурами регулируются законами самоиндукции.
К самоиндукции отнесём также тот случай, когда при наличии подключенного источника питания или накопленной в системе энергии могут меняться ее параметры. Такую самоиндукцию будем называть параметрической. В дальнейшем будем использовать такие понятия: как генератор тока и генератор напряжения. Под идеальным генератором напряжения будем понимать такой источник, который обеспечивает на любой нагрузке заданное напряжение, внутреннее сопротивление у такого генератора равно нулю. Под идеальным генератором тока будем понимать такой источник, который обеспечивает в любой нагрузке заданный ток, внутреннее сопротивление у такого генератора равно бесконечности. Идеальных генераторов тока и напряжения в природе не существует, поскольку и генераторы тока и генераторы напряжения имеют свое внутреннее сопротивление, которое и ограничивает их возможности.
Если к тому или другому элементу цепи подключить генератор тока или напряжения, то ответной реакцией такого элемента является противодействие изменению своего начального состояния и это противодействие всегда равно приложенному действию, что соответствует третьему закону Ньютона.
Если емкость заряжена до разности потенциалов , то заряд , накопленный в емкости, определяется соотношением:
.
Заряд , зависящий от величины ёмкости и от разности потенциалов на ней, будем называть потоком ёмкостной самоиндукции.
Когда речь идет об изменении заряда, определяемого соотношением (2.1.1), то эта величина может изменяться путем изменения разности потенциалов при постоянной емкости, или изменением самой емкости при постоянной разности потенциалов, или и того и другого параметра одновременно.
Если величина емкости или разности потенциалов на ней зависят от времени, то величина тока определяется соотношением:
Это выражение определяет закон ёмкостной самоиндукции. Таким образом, ток в цепи, содержащей ёмкость, можно получить двумя способами: изменяя напряжение на ней при постоянной ёмкости или изменяя саму ёмкость при неизменном напряжении на ней, или производить изменение обоих параметров одновременно.
Для случая, когда емкость постоянна, получаем известное выражение для тока, текущего через емкость:
В том случае, если изменяется емкость, и на ней поддерживается неизменное напряжение , имеем:
.
Этот случай относиться к параметрической ёмкостной самоиндукции поскольку наличие тока связано с изменением такого параметра как ёмкость.
Рассмотрим следствия, вытекающие из соотношения (2.1.2).
Если к емкости подключить генератор постоянного тока , то напряжение на ней будет изменяться по закону:
Таким образом, емкость, подключенная к источнику постоянного тока, представляет для него активное сопротивление
, (2.1.5)
линейно зависящее от времени. Следует отметить, что полученный результат является вполне очевидным, однако такие свойства ёмкости, которую принято считать реактивным элементом, впервые были отмечены в работе [1].
С физической точки зрения это понятно, т.к., чтобы заряжать емкость, источник должен расходовать энергию.
Мощность, отдаваемая источником тока, определяется в данном случае соотношением:
Энергию, накопленную емкостью за время , получим, проинтегрировав соотношение (2.1.6) по времени:
Подставляя сюда значение тока из соотношения (11.4), получаем зависимость величины накопленной в емкости энергии от текущего значения напряжения на ней:
Используя для рассмотренного случая понятие потока электрической индукции, которой является заряд, получаем
и используя соотношение (2.1.2), запишем:
т.е., если к постоянной емкости подключить источник постоянного тока, то величина тока будет равна производной потока ёмкостной индукции по времени или от производной величины заряда по времени.
Теперь будем поддерживать на емкости постоянное напряжение , а изменять саму ёмкость, тогда
Видно, что величина
играет роль активного сопротивления. Этот результат тоже физически понятен, т.к. при увеличении емкости увеличивается накопленная в ней энергия, и таким образом, ёмкость отбирает у источника напряжения энергию, представляя для него активную нагрузку. Мощность, расходуемая при этом источником, определяется соотношением:
Из соотношения (2.1.11) видно, что в зависимости от знака производной расходуемая мощность может иметь разные знаки. Когда производная положительная, расходуемая мощность идёт на совершение внешней работы. Если производная отрицательная, то работу совершает внешний источник.
Опять, вводя понятие поток ёмкостной индукции
получаем
Соотношения (2.1.8) и (2.1.12) указывают на то, что независимо от того, каким способом изменяется поток, его производная по времени всегда равна току.
Рассмотрим еще один процесс, который ранее к законам индукции не относили, однако, он подпадает под наше расширенное определение этого понятия. Из соотношения (2.1.7) видно, что если поток, т.е. заряд, оставить неизменным (будем называть этот режим режимом замороженного ёмкостного потока), то напряжение на емкости можно изменять путем ее изменения. В этом случае будет выполняться соотношение:
где и - текущие значения, а и - начальные значения этих параметров, имеющие место при отключении от емкости источника питания.
Напряжение на емкости и энергия, накопленная в ней, будут при этом определяться соотношениями:
Данный процесс самоиндукции может быть связан только с изменением самой емкости, и поэтому он подпадает под определение параметрической самоиндукции.
Таким образом, имеются три соотношения (2.1.8), (2.1.12) и (2.1.13), которые определяют процессы ёмкостной самоиндукции. Будем называть их правилами ёмкостного потока. Соотношение (2.1.8) определяет ёмкостную самоиндукцию, при которой отсутствуют изменения емкости, и поэтому эта самоиндукция может быть названа просто ёмкостной самоиндукцией. Соотношения (2.1.3) и (2.1.9–2.1.11) предполагают наличие изменения емкости, поэтому процессы, соответствующие этими соотношениями, будем называть ёмкостной параметрической самоиндукцией.
Перейдем теперь к рассмотрению процессов, происходящих в индуктивности. Введем понятие потока индуктивной самоиндукции
Если индуктивность закорочена, и выполнена из материала, не имеющего активного сопротивления, например из сверхпроводника, то
где и - какие-то начальные значения этих параметров, которые имеются в момент короткого замыкания индуктивности при наличии в ней тока.
Этот режим будем называть режимом замороженного потока. При этом выполняется соотношение:
где и - текущие значения соответствующих параметров.
В рассмотренном режиме поток индукции остается неизменным, однако, в связи с тем, что ток в индуктивности может изменяться при ее изменении, такой процесс подпадает под определение параметрической самоиндукции. Энергия, накопленная в индуктивности, при этом будет определяться соотношением
Напряжение на индуктивности, равно производной потока индуктивной индукции по времени:
Рассмотрим случай, когда индуктивность постоянна, тогда
Обозначая , получаем .
Проинтегрировав выражение (2.1.15) по времени, получим:
Таким образом, индуктивность, подключенная к источнику постоянного напряжения, представляет для него активное сопротивление
которое уменьшается обратно пропорционально времени.
Мощность, расходуемая при этом источником, определится соотношением:
Эта мощность линейно зависит от времени. Проинтегрировав соотношение (2.1.18) по времени, получим энергию, накопленную в индуктивности
Подставив в выражение (2.1.19) значение напряжения из соотношения (2.1.16), получаем:
Эта энергия может быть возвращена из индуктивности во внешнюю цепь, если индуктивность отключить от источника питания и подключить к ней активное сопротивление.
Теперь рассмотрим случай, когда ток , протекающий через индуктивность, постоянен, а сама индуктивность может изменяться. В этом случае получаем соотношение
Таким образом, величина
(2.1.21)
играет роль активного сопротивления.
Как и в случае электрического потока, активное сопротивление может быть (в зависимости от знака производной), как положительным, так и отрицательным. Это означает, что индуктивность может, как получать энергию извне, так и отдавать её во внешние цепи.
Вводя обозначение [/formula]{{A}_{L}}=L{{I}_{1}}[/formula] и, учитывая (2.1.20), получаем:
Соотношения (2.1.14), (2.1.19) и (2.1.22) будем называть правилами индуктивной самоиндукции, или правилами потока индуктивной самоиндукции. Из соотношений (2.1.19) и (2.1.22) видно, что, как и в случае с ёмкостным потоком, способ изменения индуктивного потока не влияет на конечный результат, и его производная по времени всегда равна приложенной разности потенциалов. Соотношение (2.1.19) определяет индуктивную самоиндукцию, при которой отсутствуют изменения индуктивности, и поэтому она может быть названа просто индуктивной самоиндукцией. Соотношения (2.1.20–2.1.21) предполагают наличие изменений индуктивности, поэтому процессы, описываемые этими соотношениями, будем называть индуктивной параметрической самоиндукцией.
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
2.2. Новый способ получения волнового уравнения для длинных линий
Процессы, рассмотренные в предыдущем разделе, касаются цепей с сосредоточенными параметрами, когда распределение разностей потенциалов и токов в рассмотренных элементах можно считать однородным. Однако имеются цепи, например длинные линии, в которых разности потенциалов и токи не являются пространственно однородными. Эти процессы описываются волновыми уравнениями, которые могут быть получены из уравнений Максвелла или при помощи телеграфных уравнений, но физика самого явления нам не ясна.
Воспользуемся результатами, полученными в предыдущем разделе для рассмотрения процессов, происходящих в длинных линиях, в которых емкость и индуктивность являются распределенными параметрами [5-7]. Предположим, что погонная (приходящаяся на единицу длины) емкость и индуктивность такой линии составляют соответственно и . Если к такой линии подключить источник постоянного напряжения , то его фронт будет распространяться в линии с какой-то скоростью , и текущая координата этого фронта определится соотношением . При этом суммарная величина заряженной ёмкости и величина суммарной индуктивности, по которой протекает ток, отсчитываемые от начала линии до места нахождения фронта напряжения, будут изменяться по закону:
Источник напряжения будет при этом заряжать увеличивающуюся емкость линии, для чего от источника к заряжаемой линии в соответствии с соотношением (2.1.9) должен течь ток:
Этот ток будет протекать через проводники линии, обладающие индуктивностью. Но, поскольку индуктивность линии в связи с движением фронта напряжения, тоже увеличивается, то в соответствии с соотношением (2.1.20), на ней будет наблюдаться падение напряжения:
Но падение напряжения на проводниках линии по абсолютной величине равно напряжению, приложенному к её входу, поэтому в последнем выражении следует допустить, что . С учетом этого сразу находим, что скорость движения фронта напряжения при заданных погонных параметрах и при наличии на входе линии постоянного напряжения должна составлять
Это выражение соответствует скорости распространения электромагнитных колебаний в самой линии. Следовательно, если к бесконечно длинной линии подключить источник напряжения, то в ней будет иметь место саморасширение и ёмкостного и индуктивного потоков, заполняющих линию энергией, и скорость фронта постоянного напряжения и тока будет равна скорости распространения электромагнитных колебаний в такой линии. Такую волну будем называть электротоковой. Интересно отметить, что полученный результат не зависит от вида функции , т.е. к линии может быть подключен как источник постоянного напряжения, так и источник, напряжение которого меняется по любому закону. Во всех этих случаях величина локального значения напряжения на входе линии будет распространяться вдоль неё со скоростью описываемой соотношением (2.2.2) . Этот результат мог быть до сих пор получен только путём решения волнового уравнения, но в данном случае он указывает на физическую причину такого распространения, и даёт физическую картину самого процесса. Он показывает, что сам процесс распространения связан с энергетическими процессами заполнения линии энергией, запасённой в ёмкости и индуктивности. Этот процесс происходит таким образом, что фронт волны, распространяясь со скоростью , оставляет за собой линию, заряженную до разности потенциалов , что соответствует заполнению линии электростатической энергией электрического поля. На участке же линии от источника напряжения и до фронта волны течет ток , что соответствует заполнению линии на этом участке энергией, которая связана с движением зарядов по проводникам линии, обладающих индуктивностью.
Величину тока в линии можно получить, подставив значения скорости распространения фронта волны, определяемого соотношением (2.2.2), в соотношение (2.2.1). Сделав эту подстановку, получим
где - волновое сопротивление линии.
В данном случае
Так точно
Видно, что правила потока и для индуктивной и для ёмкостной самоиндукции соблюдаются и в этом случае.
Таким образом, процессы распространения разности потенциалов вдоль проводников длинной линии и постоянного тока в ней являются связанными и взаимно дополняющими друг друга, и существовать друг без друга не могут. Такой процесс можно называть ёмкостно-ндуктивной самопроизвольной параметрической самоиндукцией. Такое название связано с тем, что расширение потоков происходят самопроизвольно и характеризуют скорость процесса заполнения линии энергией. Из выше изложенного становится понятной связь между энергетическими процессами и скоростью распространения фронтов волны в длинных линиях. Поскольку при излучении электромагнитных волн свободное пространство тоже является передающей линией, то подобные законы должны характеризовать и распространение в таком пространстве.
Что будет, например, в том случае, если в качестве одного из проводников длинной линии взять спираль, или как это принято называть, длинный соленоид. Очевидно, в этом случае скорость распространения фронта напряжения в такой линии уменьшится, поскольку погонная индуктивность линии увеличится. При этом такому распространению будет сопутствовать процесс распространения не только внешних, по отношению к соленоиду полей и токов, но и процесс распространения магнитного потока внутри самого соленоида и скорость распространения фронта такого потока будет равна скорости распространения электромагнитной волны в самой линии.
Зная ток и напряжение в линии, можно вычислить удельную энергию, заключенную в погонной ёмкости и индуктивности линии. Эти энергии будут определяться соотношениями:
Нетрудно видеть, что .
Теперь обсудим вопрос о длительности фронта электротоковой волны и о том, какое пространство этот фронт будет занимать в самой линии. Ответ на первый вопрос определяется свойствами самого источника напряжения, т.к. локальная производная на входе линии зависит от переходных процессов в самом источнике и в том устройстве, при помощи которого такой источник подключается к линии. Если процесс установления напряжения на входе линии будет длиться какое-то время , то в линии он займет участок длиной . Если к линии приложить напряжение, меняющееся со временем по закону , то это же значение функции будет наблюдаться в любой точке линии на расстоянии от ее начала с запаздыванием . Таким образом, функция
может быть названа функцией распространения, т.к. она устанавливает связь между локальными временными и пространственными значениями функции в линии. Длинная линия является устройством, которое локальные производные напряжения по времени на входе линии превращает в пространственные производные в самой линии. На основании функции распространения (2.2.5) можно установить связь между локальными и пространственными производными в длинной линии. Очевидно, что
Важно отметить, что сам процесс распространения в данном случае обязан естественному саморасширению электрического поля и тока в линии, и он подчиняется правилам параметрической самоиндукции. Во-вторых, для решения волновых уравнений длинных линий
полученных из телеграфных уравнений
требуется знание вторых производных напряжений и токов.
Но как быть, если на вход линии подаётся напряжение, у которого вторая производная равна нулю (случай, когда напряжение источника меняется по линейному закону)? Ответа на этот вопрос уравнения (2.2.6) не дают. Используемый же метод даёт ответ на такой вопрос.
При рассмотрении процессов в длинной линии фигурировали такие понятия как погонная емкость и индуктивность, а также токи и напряжения в линии. Однако в электродинамике, основанной на уравнениях Максвелла, нет таких понятий как емкость и индуктивность, а есть понятия электрической и магнитной проницаемости среды. В проведенном рассмотрении также отсутствовали такие понятия как электрические и магнитные поля. Покажем, как перейти от таких категорий как «погонная индуктивность и ёмкость», и «ток» и «напряжение» в линии к таким понятиям как «диэлектрическая и магнитная проницаемость», а также «электрическое и магнитное поле». Для этого возьмем простейшую конструкцию линии, расположенную в вакууме, как показано на рис. 5.
Рис. 5. Двухпроводная линия, состоящая из двух идеально проводящих плоскостей
Будем считать, что >> и краевые эффекты можно не учитывать. Тогда между погонными параметрами линии и магнитной и диэлектрической проницаемостями будет существовать следующая связь:
,
где и - магнитная и диэлектрическая проницаемость вакуума.
Фазовая скорость в такой линии будет определяться соотношением:
где - скорость распространения света в вакууме.
Волновое сопротивление рассмотренной линии будет равно:
где - волновое сопротивление свободного пространства.
Кроме этого при соблюдении условия получаем равенство
. Это означает, что магнитная проницаемость играет роль продольной удельной индуктивности вакуума. В этом случае соблюдается также равенство . Это означает, что диэлектрическая проницаемость играет роль поперечной удельной ёмкости вакуума. В такой интерпретации и , и приобретают ясный физический смысл и, так же как в длинной линии, обеспечивают процесс распространения электромагнитной волны в свободном пространстве.
Формально рассмотрение электромагнитной волны в длинной линии можно рассматривать как заполнение пространства, находящегося между её проводниками, особым видом материи, которую представляют электрические и магнитные поля. Математически можно считать, что эти поля сами обладают удельной энергией и при их помощи можно передавать энергию по линиям передач. Если же рассматривать процессы, протекающие при излучении электромагнитных волн при помощи какой-либо антенны, то его можно рассматривать также как заполнение свободного пространства этим видом материи. Однако геометрический вид полей и токов в этом случае будет сложнее, поскольку всегда будут присутствовать как поперечные, так и продольные составляющие полей. Такой подход исключает необходимость применения, для описания распространения электромагнитных волн, такой субстанции как эфир.
Если к рассмотренной линии бесконечной длины, или линии нагруженной волновым сопротивлением, подключить источник постоянного напряжения , то напряженность поля в линии составит:
,
а ток, текущий в линию от источника питания, будет определяться соотношением:
Магнитное поле в линии будет равно удельному току, протекающему в линии
Подставляя сюда значение , получаем
.
Такая же связь между электрическим и магнитным полем существует и для случая поперечных электромагнитных волн, распространяющихся в свободном пространстве.
Сравнивая выражения для энергий, нетрудно видеть, что удельные энергии могут быть выражены через электрические и магнитные поля
Это означает, что удельная энергия, накопленная в магнитном и электрическом поле в такой линии одинакова. Если значения этих энергий умножить на объемы, занимаемые полями, то полученные величины совпадают с соотношениями (2.2.3–2.2.4).
Таким образом, в рассмотренной линии распространяются такие же поперечные плоские волны, как и в свободном пространстве. Причем этот вывод получен не путём решения уравнений Максвелла, а путём рассмотрения динамических процессов, которые отнесены к разряду параметрической самоиндукции. Особенностью такой линии будет то, что в ней, в отличие от свободного пространства, могут распространяться постоянные магнитные и электрические поля, а этот случай не может быть рассмотрен путем решения уравнений Максвелла.
Следовательно, условно можно считать, что длинная линия является устройством, которое при подключении к ней источника постоянного напряжения заполняется двумя видами энергии: электрической и магнитной. Удельные плотности этих энергий равны, а поскольку и электрическая и магнитная энергии заполняют одинаковые объемы, то и общая энергия, накопленная в этих полях одинакова. Особенностью данной линии является то, что при протекании в линии постоянного тока распределение электрического и магнитного полей в ней является однородным. Нетрудно показать, что сила, действующая на проводники такой линии, равна нулю. Это следует из соотношения (2.2.11), в котором его правая и левая части представляют удельные силы, приложенные к плоскостям линии. Но электрическая и магнитная силы имеют разные знаки, поэтому они компенсируют друг друга. Этот вывод касается и передающих линий любой другой конфигурации.
Если к линии приложить напряжение, меняющееся со временем по любому закону , то по аналогии с (2.2.5) можно записать
Аналогичное соотношение будет и для магнитных полей.
Очевидно, что произведение представляет мощность , передаваемую через поперечное сечение линии в направлении . Если в этом соотношении ток и напряжение заменить через напряженности магнитного и электрического полей, то получим . Произведение представляет абсолютную величину вектора Пойнтинга, представляющего удельную мощность, передаваемую через поперечное сечение линии единичной площади. Конечно, все это можно записать и в векторной форме.
Таким образом, все выводы, полученные на основании рассмотрения процессов в длинной линии двумя методами, совпадают. Поэтому и в дальнейшем, не рискуя допустить ошибки принципиального характера, можно для описания процессов в длинных линиях с успехом пользоваться такими параметрами, как погонная индуктивность и ёмкость. Конечно, при этом следует понимать, что и это некоторые интегральные характеристики, не учитывающие структуру полей. Следует отметить, что с практической точки зрения, применение параметров и имеет важное значение, т.к. могут быть приближенно решены задачи, которые при помощи уравнений Максвелла решить нельзя. Это, например, случай, когда проводниками передающей линии являются спирали.
Литература
1. С. Рамо, Дж. Уиннери. Поля и волны в современной радиотехнике. ОГИЗ: 1948, - 631 с.
2. Ф. Ф. Менде, А. С. Дубровин. Особые свойства реактивных элементов и потоков заряженных частиц. Инжененрная физика, №11, 2016, с. 13-21.
3. F. F. Mende. Induction and Parametric Properties of Radio-Technical Elements and Lines and Property of Charges and Their Flows, AASCIT Journal of Physics
Vol.1 , No. 3, Publication Date: May 21, 2015, Page: 124-134.
4. F. F. Mende. New Properties of Reactive Elements, Lines of Transmission of Energy and the Relaxation Properties of Electronic Fluxes and Conductors, AASCIT Journal of Physics, Vol.1 , No. 3, Publication Date: June 12, 2015, Page: 190-200.
5. F. F. Mende, New Properties of Reactive Elements and the Problem of Propagation of Electrical Signals in Long Lines, American Journal of Electrical and Electronic Engineering, Vol. 2, No. 5, (2014), 141-145.
6. F. F. Mende. Nominal and Parametric Self-Induction of Reactive Elements and Long Lines, Engineering and Technology, Vol.2 , No. 2, Publication Date: April 3, 2015, Page: 69-73.
7. F. F. Mende, Consideration and the Refinement of Some Laws and Concepts of Classical Electrodynamics and New Ideas in Modern Electrodynamics, International Journal of Physics, 2014, Vol. 2, No. 8, 231-263.
8. F. F. Mende. Dynamic Scalar Potential and the Electrokinetic Electric Field,
AASCIT Journal of Physics, Vol.1 , No. 1, Publication Date: March 28, 2015, Page: 53-57
9. F. F. Mende. Concept of Scalar-Vector Potential and Its Experimental Confirmation. AASCIT Journal of Physics, Vol.1 , No. 3, Publication Date: May 21, 2015, Page: 135-148.
10. F. F. Mende. Physics of Magnetic Field and Vector Potential, AASCIT Journal of Physics, Vol.1 , No. 1, Publication Date: March 28, 2015, Page: 19-27.
11. Ф. Ф. Менде. Непротиворечивая электродинамика. Харьков, НТМТ, 2008, – 153 с. ISBN 978-966-8603-23-5.
12. Ф. Ф. Менде. Существуют ли ошибки в современной физике. Харьков,
Константа, 2003.- 72 с.
13. F. F. Mende. On refinement of certain laws of classical electrodynamics, arXiv, physics/0402084.
14. Ф. Ф. Менде. Великие заблуждения и ошибки физиков XIX-XX столетий. Революция в современной физике.. Харьков, НТМТ, 2010, – 176 с. ISBN 978-617-578-010-7.
15. F. F. Mende. Symmetrization and the Modification of the Equations of Induction and Material Equations of Maxwell , AASCIT Journal of Physics, Vol.1 , No. 3, Publication Date: June 3, 2015, Page: 171-179.
16. Ф. Ф. Менде. К вопросу об уточнении уравнений элетромагнитной индукции. - Харьков, депонирована в ВИНИТИ, №774-В88 Деп., 1988.-32с.
17. F. F. Mende On refinement of certain laws of classical electrodynamics, arXiv, physics/0402084.
18. F. F. Mende. Conception of the scalar-vector potential in contemporary
electrodynamics, arXiv.org/abs/physics/0506083.
19. Ф. Ф. Менде , А.С. Дубровин. Альтернативная идеология электродинамики. Монография. М.: Перо, 2016. – 198 с.
20. F. F. Mende, A. S. Dubrovin. Alternative ideology of electrodynamics. Monograph. M.: Перо, 2016. - 216 p.
21. Р. Фейнман, Р. Лейтон , М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. М: Мир, 1977.
- Код ссылки на тему, для размещения на персональном сайте | Показать
