Про определение от Альберта Эйнштейна ничего не могу сказать.
В прошлом году размещал ролик про пространство на другом ресурсе. Там даётся определение пространства.
Пространство - это множество с заданной на нём структурой. Отсюда понятно, что пустое множество не имеет структуры и, следовательно, не является пространством. И вообще,
на мой взгляд, структура гораздо более фундаментальное категория, чем пространство, время, материя, энергия, движение и пр.
Предлагаю просмотреть видео. Оно, правда, не такое лёгкое, как видео про гравитацию.
Что такое ПРОСТРАНСТВО? (о пространстве и пространствах)
https://www.youtube.com/watch?v=BdXp-Dz38ToТак как, видео насыщено абстракциями высокого уровня, решил сделать навигатор.
1:34 – определение пространства (множество, с заданной на нём, структурой (понятие структура, математически строго не определено)).
2:50 – Евклидово пространство (R^n).
6:02 – упоминает о «геометрическом диктаторе» (о скалярном произведении).
6:35 – картинка: свойства скалярного произведения (положительная определённость, симметричность, линейность).
7:52 – упоминает, что такое пространство, само по себе, не связано с физическим, а построено лишь на логике и правилах.
8:57 – Гильбертово пространство (Н).
9:59 – опять про «геометрического диктатора» (скалярное произведение).
11:00 – картинка: свойства (операции с векторами: коммутативность, ассоциативность, наличие нуля, противоположные вектора).
11:40 – та же картинка с дополнением (операции со скалярами добавлены).
11:47 – картинка: векторное пространство (V(F)), Гильбертово пространство (H), Евклидово пространство (R^n). Далее рассказывает, как соотносятся эти пространства.
13:00 – о норме вектора (норма, это всё, что удовлетворяет свойствам, необходимым для понятия длины вектора). Норма, это обобщение понятия модуля (обозначают, как двойной модуль).
13:33 – картинка: свойства, взятые за определение нормы (положительная определённость, вынесение скаляра, неравенство треугольника).
14:04 – нормированное векторное пространство. Норма, это более общее понятие, чем скалярное произведение.
14:30 – картинка: векторное пространство (V(F)), нормированное векторное пространство (V(F), ‖•‖), Гильбертово пространство (H), Евклидово пространство (R^n). Потом на картинке добавляется Банахово пространство (и немного рассказывается о нём).
15:06 – изучением Банаховых пространств занимается дисциплина – функциональный анализ.
15:50 – картинка (взаимосвязей пространств): векторное пространство (V(F)), нормированное векторное пространство (V(F), ‖•‖), Банахово пространство, Гильбертово пространство (H) и пространство непрерывных функций (С[a,b]), Евклидово пространство (R^n).
16:28 – определяем наиболее важные свойства расстояния, и затем объявляем, что всякая функция, которая может удовлетворять этим свойствам, тоже может называться расстоянием. Обобщение расстояния называется метрикой.
16:50 – метрическое пространство (X(ρ), где ρ(x,y) – это метрика, а Х – это множество) – пространство, которое задаётся метрикой (ρ(x,y)).
17:58 – картинка: свойства метрики (аксиома тождества, симметрия, неравенство треугольника). Метрика, это более общее понятие, чем норма (и, тем более, чем скалярное произведение).
18:32 – картинка (взаимосвязей пространств): векторное пространство (V(F)) и метрическое пространство (X,ρ(x,y)), нормированное векторное пространство (V(F), ‖•‖), Банахово пространство, Гильбертово пространство (H) и пространство непрерывных функций (С[a,b]), Евклидово пространство (R^n). Метрика удобна для задания понятия предела.
19:56 – про понятие полноты. Если в пространстве критерий Коши работает, то такое пространство полное.
21:02 – задание структуры на множестве, не используя метрику (подмножества открытые и замкнутые).
21:50 – топологическое пространство (Х,Т). Совокупность открытых подмножеств называется топологией.
22:07 – картинка: условия (если они выполняются, то пространство топологическое). Перечисление условий: всё множество и пустое множество – открыты, объединение любого числа открытых подмножеств открыто, пересечение конечного числа открытых подмножеств открыто.
22:50 – картинка (взаимосвязей пространств): топологическое пространство (Х,Т), минуя векторное идёт на метрическое, векторное пространство (V(F)) и метрическое пространство (X,ρ(x,y)), нормированное векторное пространство (V(F), ‖•‖), Банахово пространство, Гильбертово пространство (H) и пространство непрерывных функций (С[a,b]), Евклидово пространство (R^n).
23:20 – пример топологического пространства (связное двоеточие).
23:35 – топологические пространства трудны для понимания не потому, что они слишком сложные, а потому, что они слишком простые (такую абстракцию не сразу поймёшь).
24:00 – топологическое пространство является логической и понятийной основой для построения других, более практичных, пространств.
24:25 – про многообразия (М). Многообразие, это подвид топологического пространства.
24:30 – картинка (взаимосвязей пространств). От топологического пространства идут две стрелки: на многообразие и на метрическое пространство.
24:44 – простые примеры многообразия (любая поверхность: сфера, лента Мёбиуса). Кстати, поверхность любой размерности (типа, гиперповерхности) тоже является многообразием (в 26:54).
25:03 – определяется многообразие, как топологическое пространство с тремя условиями.
Первые два – выполнение второй аксиомы о делимости и второй аксиомы счётности. Далее рассказывает об условиях, о дополнительных пронумерованных списках аксиом, о свойствах, о гомеоморфности и т.д.
27:24 – Римановы многообразия.
27:45 – в многообразиях скалярное произведение задаётся через определённую структуру – метрический тензор (некий набор коэффициентов). В Римановых многообразиях метрический тензор (ɡij) везде не нулевой и положительный, что делает возможным ввести метрику (тем самым, делая Риманово многообразие ещё и метрическим пространством).
28:23 – картинка (взаимосвязей пространств). Добавлены: псевдориманово многообразие (М,ɡij) и пространство-время (у этого псевдориманова многообразия метрический тензор не везде положительный).
Далее упоминает о разных пространствах.
